思維方法
1．解決帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)粒子的速度方向，找出半徑方向，同時(shí)由磁場(chǎng)邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，定好圓心，建立幾何關(guān)系．
2．?dāng)?shù)學(xué)方法和物理方法結(jié)合：如利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值，利用“三角函數(shù)”“不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值．
一、選擇題
1.
如圖所示，水平放置的平行板長(zhǎng)度為L(zhǎng)、兩板間距也為L(zhǎng)，兩板之間存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在兩板正中央P點(diǎn)有一個(gè)不計(jì)重力的電子(質(zhì)量為m、電荷量為－e)，現(xiàn)在給電子一水平向右的瞬時(shí)初速度v0，欲使電子不與平行板相碰撞，則( )
A．v0＞ eq \f(eBL,2m) 或v0＜ eq \f(eBL,4m)
B． eq \f(eBL,4m) ＜v0＜ eq \f(eBL,2m)
C．v0＞ eq \f(eBL,2m)
D．v0＜ eq \f(eBL,4m)
2．如圖所示，半徑R＝10 cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切，磁感強(qiáng)度B＝0.33 T，方向垂直紙面向里．在O處有一放射源S，可沿紙面向各方向射出速率均為v＝3.2×106 m/s的α粒子，已知α粒子的質(zhì)量m＝6.6×10－27 kg，電荷量q＝3.2×10－19 C，則該α粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角為( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3.
如圖所示，在熒光屏MN上方分布了水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.1 T、方向與紙面垂直．距離熒光屏h＝16 cm處有一粒子源S，以速度v＝1×106 m/s不斷地在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射比荷 eq \f(q,m) ＝1×108 C/kg的帶正電粒子，不計(jì)粒子的重力．則粒子打在熒光屏范圍的長(zhǎng)度為( )
A．12 cm B．16 cm
C．20 cm D．24 cm
4．(多選)[2022·湘贛十四校聯(lián)考]如圖所示，在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，AB＝5 eq \r(3) cm，AD＝10 cm，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.2 T．在AD的中點(diǎn)P有一個(gè)發(fā)射正離子的裝置，能夠連續(xù)不斷地向紙面內(nèi)的各個(gè)方向均勻地發(fā)射出速率為v＝1.0×105 m/s的正離子，離子的質(zhì)量m＝2.0×10－12 kg，電荷量q＝1.0×10－5 C，離子的重力不計(jì)，不考慮離子之間的相互作用，則( )
A．從邊界BC邊飛出的離子中，BC中點(diǎn)飛出的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短
B．邊界AP段無(wú)離子飛出
C．從CD、BC邊飛出的離子數(shù)之比為1∶2
D．若離子可從B、C兩點(diǎn)飛出，則從B點(diǎn)和C點(diǎn)飛出的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等
5.
(多選)[2022·廣東廣州二模]如圖，在直角三角形abc區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．直角邊ab上的O點(diǎn)有一粒子發(fā)射源，該發(fā)射源可以沿紙面與ab邊垂直的方向發(fā)射速率不同的帶電粒子．已知所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均相同，粒子的比荷為k，Oa長(zhǎng)為d，Ob長(zhǎng)為3d，θ＝30°，不計(jì)粒子的重力以及粒子間的相互作用，則( )
A．粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 eq \f(π,6kB)
B．帶正電粒子的軌跡半徑最大為 eq \f(d,3)
C．帶負(fù)電粒子的軌跡半徑最大為 eq \f(3d,2)
D．帶負(fù)電粒子運(yùn)動(dòng)的最大速度為kBd
二、非選擇題
6．[2022·江西贛州市期末]如圖所示，在矩形區(qū)域abcO內(nèi)存在一個(gè)垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，Oa邊長(zhǎng)為 eq \r(3) L，ab邊長(zhǎng)為L(zhǎng).現(xiàn)從O點(diǎn)沿著Ob方向垂直磁場(chǎng)射入各種速率的帶正電粒子，已知粒子的質(zhì)量為m、帶電荷量為q(粒子所受重力及粒子間相互作用忽略不計(jì))，求：
(1)垂直ab邊射出磁場(chǎng)的粒子的速率v；
(2)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm.
第74練 帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界極值問題
1．答案：A
解析：電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R＝ eq \f(mv0,eB) ，如圖所示．當(dāng)R1＝ eq \f(L,4) 時(shí)，電子恰好與下板相切；當(dāng)R2＝ eq \f(L,2) 時(shí)，電子恰好從下板邊緣飛出兩平行板（即飛出磁場(chǎng)）.由R1＝ eq \f(mv1,eB) ，解得v1＝ eq \f(eBL,4m) ，由R2＝ eq \f(mv2,eB) ，解得v2＝ eq \f(eBL,2m) ，所以欲使電子不與平行板相碰撞，電子初速度v0應(yīng)滿足v0＞ eq \f(eBL,2m) 或v0＜ eq \f(eBL,4m) ，則A正確，B、C、D錯(cuò)誤．
2．答案：C
解析：放射源發(fā)射的α粒子的速率一定，則它在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的軌道半徑為定值，
即r＝ eq \f(mv,qB) ＝ eq \f(6.6×10－27×3.2×106,3.2×10－19×0.33) m＝0.2 m＝20 cm
α粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)的圓弧長(zhǎng)度越大，其偏轉(zhuǎn)角度也越大，而最長(zhǎng)圓弧是兩端點(diǎn)在圓形磁場(chǎng)區(qū)的直徑上，又r＝2R，則此圓弧所對(duì)的圓心角為60°，也就是α粒子在此圓形磁場(chǎng)區(qū)的最大偏轉(zhuǎn)角為60°.軌跡如圖所示．選項(xiàng)C正確．
3．答案：C
解析：如圖所示，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝ eq \f(mv,qB) ＝10 cm，若粒子打在熒光屏的左側(cè)，當(dāng)弦長(zhǎng)等于直徑時(shí)，打在熒光屏的最左側(cè)，由幾何關(guān)系有x1＝ eq \r(（2R）2－h(huán)2) ＝12 cm；粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與熒光屏右側(cè)相切時(shí)，打在熒光屏的最右側(cè)，由幾何關(guān)系有x2＝ eq \r(R2－（h－R）2) ＝8 cm.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知打在熒光屏上的范圍長(zhǎng)度為x＝x1＋x2＝12 cm＋8 cm＝20 cm，選項(xiàng)C正確．
4．答案：ACD
解析：由于離子的速率一定，所以離子運(yùn)動(dòng)的半徑確定，在離子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角小于π的情況下，弦長(zhǎng)越短，圓心角越小，時(shí)間越短，弦長(zhǎng)相等，時(shí)間相等，所以從BC中點(diǎn)飛出的離子對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最短，所用時(shí)間最短，離子從B、C兩點(diǎn)飛出對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)相等，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，故A、D正確；由洛倫茲力方向可知，離子逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，發(fā)射方向與PA方向夾角較小的離子會(huì)從AP段飛出，故B錯(cuò)誤；由公式R＝ eq \f(mv,qB) 得：R＝0.1 m，通過(guò)圖可知，α∶β＝1∶2，所以從CD、BC邊飛出的離子數(shù)之比為1∶2，故C正確．
5．答案：BD
解析：由于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝ eq \f(2πm,qB) ＝ eq \f(2π,kB) ，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相同，可知粒子均由ab邊出射，運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為周期的一半，則t＝ eq \f(T,2) ＝ eq \f(2πm,qB) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(π,kB) ，故A錯(cuò)誤；正粒子向上偏轉(zhuǎn)，當(dāng)其半徑最大時(shí)與ac邊切于e點(diǎn)，如圖所示，由幾何關(guān)系可知aO1＝2r1，即r1＋2r1＝d，所以正粒子的軌跡最大半徑為d/3，B正確；負(fù)粒子向下偏轉(zhuǎn)，當(dāng)其半徑最大時(shí)與ac邊切于f點(diǎn)，如圖所示，由幾何關(guān)系可知aO2＝2r2，其中aO2＝r2＋d，聯(lián)立以上公式可得負(fù)粒子的軌跡最大半徑為d，C錯(cuò)誤；半徑最大時(shí)對(duì)應(yīng)的速度也最大，則有r2＝ eq \f(mv,qB) ，可得負(fù)粒子運(yùn)動(dòng)的最大速度為v＝ eq \f(r2qB,m) ＝kBd，故D正確．
6．答案：（1） eq \f(2\r(3)BL,m) （2） eq \f(πm,3qB)
解析：（1）粒子垂直ab邊射出磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，由幾何關(guān)系可知：
tan θ＝ eq \f(L,\r(3)L) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
則θ＝ eq \f(π,6) ，
sin θ＝ eq \f(Oa,OO1) ＝ eq \f(\r(3)L,R) ，
故R＝2 eq \r(3) L.
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝m eq \f(v2,R) 解得v＝ eq \f(2\r(3)qBL,m)
（2）由做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知T＝ eq \f(2πR,v) ＝ eq \f(2πm,Bq)
因此粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變，和速度無(wú)關(guān)，由幾何關(guān)系可知最大圓心角α＝2θ＝ eq \f(π,3) 可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間tm＝ eq \f(α,2π) T＝ eq \f(πm,3Bq) .

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