第3講　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用一、選擇題(本題共8小題，1～5題為單選，6～8題為多選)1．(2022·重慶八中高三模擬)如圖所示為一款“乒乓球訓(xùn)練器”，整個(gè)裝置由金屬底座、支撐桿、高彈性輕質(zhì)軟桿及固定在軟桿一端的乒乓球構(gòu)成，訓(xùn)練時(shí)底座保持靜止，在某次擊球后，乒乓球以某一初速度從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)經(jīng)最高點(diǎn)B后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。不計(jì)空氣阻力，關(guān)于該過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是(　A　)A．從A到B的過(guò)程中，軟桿對(duì)乒乓球的彈力一直做正功B．運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，乒乓球所受合力為零C．地面對(duì)金屬底座的支持力始終等于整個(gè)裝置的總重力D．地面對(duì)金屬底座的摩擦力始終為零[解析]　軟桿有恢復(fù)形變方向上的彈力，故A到B過(guò)程軟桿對(duì)乒乓球的彈力一直做正功；運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，做變速圓周運(yùn)動(dòng)故合外力不為零，故A正確，B錯(cuò)誤；由于乒乓球在豎直方向上不是勻速運(yùn)動(dòng)，桿對(duì)乒乓球在豎直方向上的力是變化的，因此地面對(duì)底座在豎直方向的支持力也是變化的，故C錯(cuò)誤；由于乒乓球在水平方向做變速運(yùn)動(dòng)，因此桿對(duì)乒乓球在水平方向的力不為零，再對(duì)底座進(jìn)行受力分析可知，地面對(duì)底座的摩擦力也不會(huì)始終為零，故D錯(cuò)誤。2.如圖所示，虛線Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示地球衛(wèi)星的三條軌道，其中軌道Ⅰ為與第一宇宙速度7.9  km/s對(duì)應(yīng)的近地環(huán)繞圓軌道，軌道Ⅱ為橢圓軌道，軌道Ⅲ為與第二宇宙速度11.2  km/s對(duì)應(yīng)的脫離軌道，a、b、c三點(diǎn)分別位于三條軌道上，b點(diǎn)為軌道Ⅱ的遠(yuǎn)地點(diǎn)，b、c點(diǎn)與地心的距離均為軌道Ⅰ半徑的2倍，則(　D　)A．衛(wèi)星在軌道Ⅱ的運(yùn)行周期為軌道Ⅰ的2倍B．衛(wèi)星經(jīng)過(guò)a點(diǎn)的速率為經(jīng)過(guò)b點(diǎn)的倍C．衛(wèi)星在a點(diǎn)的加速度大小為在c點(diǎn)的2倍D．質(zhì)量相同的衛(wèi)星在b點(diǎn)的機(jī)械能小于在c點(diǎn)的機(jī)械能[解析]　由開(kāi)普勒第三定律可得＝，a2＝R1，解得＝，A錯(cuò)誤；由萬(wàn)有引力定律得G＝m，解得v＝，由上式可知，若衛(wèi)星經(jīng)過(guò)b點(diǎn)是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則衛(wèi)星經(jīng)過(guò)a點(diǎn)的速率為衛(wèi)星經(jīng)過(guò)b點(diǎn)的速率的倍，而圖中b點(diǎn)所在的軌道不是勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌道，B錯(cuò)誤；根據(jù)G＝ma，得a＝ ，衛(wèi)星在a點(diǎn)的加速度大小為在c點(diǎn)的4倍，C錯(cuò)誤；設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道交點(diǎn)處的引力勢(shì)能為Ep，在b點(diǎn)的機(jī)械能為Eb，在c點(diǎn)的機(jī)械能為Ec，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得Eb＝Ep＋EkⅡ，Ec＝Ep＋EkⅢ，從軌道Ⅱ變到軌道Ⅲ，在交點(diǎn)處要點(diǎn)火加速，則有EkⅡ<EkⅢ，所以Eb<Ec，所以質(zhì)量相同的衛(wèi)星在b點(diǎn)的機(jī)械能小于在c點(diǎn)的機(jī)械能，D正確。3．(2022·吉林白城一中高三模擬)如圖所示，一輕質(zhì)彈簧一端固定在傾角為30°的光滑固定斜面底端，另一端連有一不計(jì)質(zhì)量的擋板，一滑塊從斜面上到擋板的距離為2.5 m處由靜止釋放，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列說(shuō)法正確的是(　C　)A．滑塊與擋板碰撞前瞬間的速度大小為5 m/sB．滑塊與擋板一起沿斜面向下滑行的過(guò)程中，滑塊的加速度一直增大C．滑塊與擋板一起沿斜面向下滑行的過(guò)程中，滑塊的機(jī)械能一直減小D．滑塊到達(dá)最低點(diǎn)后的反彈過(guò)程中，在離開(kāi)擋板前滑塊的速度一直增大[解析]　根據(jù)題意，由能量守恒可得mgh＝mv2，代入數(shù)據(jù)，解得v＝5 m/s，滑塊與擋板一起沿斜面向下滑行的過(guò)程中，滑塊的加速度先減小后增大，B錯(cuò)誤；滑塊與擋板一起沿斜面向下滑行的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能一直增大，系統(tǒng)的機(jī)械能不變，故滑塊的機(jī)械能一直減小，C正確；滑塊到達(dá)最低點(diǎn)后的反彈過(guò)程中，在離開(kāi)擋板前滑塊的速度先增大后減小，D錯(cuò)誤。4.有一款名叫“跳一跳”的微信小游戲，游戲要求操作者通過(guò)控制棋子(質(zhì)量為m)脫離平臺(tái)時(shí)的速度，使其能從一個(gè)平臺(tái)跳到旁邊的平臺(tái)上。如圖所示的拋物線為棋子在某次跳躍過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡，不計(jì)空氣阻力。則下列說(shuō)法中正確的是(重力加速度為g)(　C　)A．棋子從起跳至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，機(jī)械能增加mghB．棋子離開(kāi)平臺(tái)時(shí)的動(dòng)能為mghC．棋子從離開(kāi)平臺(tái)至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，重力勢(shì)能增加mghD．棋子落到平臺(tái)上的速度大小為[解析]　棋子從起跳至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，因?yàn)樽罡唿c(diǎn)存在水平方向的速度v，所以機(jī)械能增加mgh＋mv2，A錯(cuò)誤；以平臺(tái)為參考面，則根據(jù)機(jī)械能守恒得Ek＝mgh＋mv2，B錯(cuò)誤；棋子從離開(kāi)平臺(tái)至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，重力勢(shì)能增加mgh，C正確；以平臺(tái)為參考面，則根據(jù)機(jī)械能守恒得mv′2＝mgh＋mv2，解得v′＝，D錯(cuò)誤。5．(2021·全國(guó)高三專題練習(xí))一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B。支架的兩直角邊長(zhǎng)度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。開(kāi)始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，重力加速度為g，則(　B　)A．A球的最大速度為2B．A球的速度最大時(shí)，兩小球的總重力勢(shì)能最小C．A球第一次轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直方向的夾角為45°時(shí)，A球的速度大小為D．A、B兩球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1[解析]　根據(jù)題意知無(wú)論何時(shí)兩球的角速度均相同，線速度大小之比均為vA∶vB＝ω·2l∶ωl＝2∶1，D錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒可知，A球的速度最大時(shí)，二者的動(dòng)能最大，此時(shí)兩球總重力勢(shì)能最小，B正確；當(dāng)OA與豎直方向的夾角為θ時(shí)，由機(jī)械能守恒得，mg·2lcos θ－2mg·l(1－sin θ)＝mv＋×2mv，解得，v＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)θ＝45°時(shí)，sin  θ＋cos θ有最大值，最大值為vA＝，A、C錯(cuò)誤。6．如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上，若以地面為參考平面且不計(jì)空氣阻力，則下列說(shuō)法中正確的是(　BCD　)A．物體落到海平面時(shí)的重力勢(shì)能為mghB．物體從拋出到落到海平面的過(guò)程重力對(duì)物體做功為mghC．物體在海平面上的動(dòng)能為mv＋mghD．物體在海平面上的機(jī)械能為mv[解析]　以地面為參考平面，在海平面上的重力勢(shì)能為－mgh，A錯(cuò)誤；從拋出到落到海平面，重力做功為mgh，B正確；根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得－mgh＋mv2＝mv，所以物體在海平面上的動(dòng)能為mv＋mgh，C正確；物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，所以任意一點(diǎn)的機(jī)械能相等，都等于拋出時(shí)的機(jī)械能，物體在地面上的重力勢(shì)能為零，動(dòng)能為mv，故整個(gè)過(guò)程中的機(jī)械能為mv，所以物體在海平面上的機(jī)械能為mv， D正確。7．(2022·遼寧高三月考)如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端固定于O點(diǎn)，彈簧的另一端連接一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，當(dāng)小球位于A處時(shí)，彈簧恰好處于原長(zhǎng)l，彈簧與豎直方向夾角為θ，現(xiàn)由靜止釋放小球，小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v。重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的是(　BC　)A．小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，重力勢(shì)能的減少量為mgl(1－cos θ)B．小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)重力的功率為0C．小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能大于mgl(1－cos θ)－mv2D．從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒[解析]　小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧的長(zhǎng)度要增加，則重力勢(shì)能的減少量大于mgl(1－cos θ)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)豎直速度為零，則重力的功率為PG＝mgvy＝0，選項(xiàng)B正確；小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，重力勢(shì)能減小量等于彈簧的彈性勢(shì)能與動(dòng)能增量之和，因重力勢(shì)能的減少量大于mgl(1－cos θ)，則彈簧的彈性勢(shì)能大于mgl(1－cos θ)－mv2，選項(xiàng)C正確；從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，除重力做功外還有彈簧的彈力做功，則小球的機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。8．(2021·四川成都七中高三月考)如圖所示，在水平地面上固定一個(gè)半徑為R的四分之一圓形軌道AB，軌道右側(cè)固定一個(gè)傾角為30°的斜面，斜面頂端固定一大小可忽略的輕滑輪，輕滑輪與OB在同一水平高度。一輕繩跨過(guò)定滑輪，左端與套在圓形軌道上質(zhì)量為m的小圓環(huán)相連，右端與斜面上質(zhì)量為M的物塊相連。在圓形軌道底端A點(diǎn)靜止釋放小圓環(huán)，小圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到圖中P點(diǎn)時(shí)，輕繩與軌道相切，OP與OB夾角為60°；小圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度恰好為零。忽略一切摩擦阻力，小圓環(huán)和物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，物塊離斜面底端足夠遠(yuǎn)，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是(　AB　)A．小圓環(huán)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的加速度為gB．小圓環(huán)到達(dá)B點(diǎn)后還能再次回到A點(diǎn)C．小圓環(huán)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，小圓環(huán)和物塊的速度之比為2∶D．小圓環(huán)和物塊的質(zhì)量之比滿足＝[解析]　小圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，小環(huán)受到豎直向下的重力，水平向右的拉力和圓環(huán)對(duì)小環(huán)向左的支持力，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，小球的合力為豎直方向的重力，根據(jù)牛頓第二定律可知mg＝ma，解得a＝g，A正確；小環(huán)和物塊組成的系統(tǒng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于忽略一切摩擦力，故只有重力做功，機(jī)械能守恒，當(dāng)小環(huán)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，速度都為零，此后小環(huán)沿圓軌道向下運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能還是守恒，最終小環(huán)和物塊速度都減到零，故圓環(huán)到達(dá)B點(diǎn)后還能再次滑回A點(diǎn)，B正確；小環(huán)在P點(diǎn)時(shí)，小環(huán)的速度方向沿繩的方向，根據(jù)速度的合成與分解可知，此時(shí)小圓環(huán)和物塊的速度之比為1∶1，C錯(cuò)誤；設(shè)輕滑輪的位置為C，由幾何關(guān)系可知OC＝2R ，AC＝R，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)環(huán)和物塊組成的系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知mgR＝MgR(－1)sin 30°，解得＝，D錯(cuò)誤。二、非選擇題9．(2021·全國(guó)高三月考)如圖，一豎直光滑桿AB、四分之一光滑圓弧桿BC和水平粗糙直桿CD連接成一個(gè)軌道，CD直桿右端有一豎直擋板E，光滑桿上套有一輕彈簧，彈簧的原長(zhǎng)與豎直桿AB長(zhǎng)度相等，一端固定在水平地面上，另一端的上面疊放一個(gè)套在桿上的物塊(物塊與彈簧不拴接)，將套在桿上的滑塊向下壓縮彈簧再釋放，物塊上升到光滑圓弧桿的C處時(shí)恰好對(duì)軌道沒(méi)有作用力。已知：物塊的質(zhì)量m＝0.1 kg，四分之一圓弧BC的半徑R＝0.4 m，物塊與水平粗糙直桿CD的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝，重力加速度g＝10 m/s2，彈性勢(shì)能的公式EP＝kx2(x為彈簧的形變量，k為該彈簧的勁度系數(shù)k＝140 N/m)，求：(1)物塊剛要釋放時(shí)輕彈簧的形變量x1的大小；(2)若物塊只與擋板碰撞一次且碰撞沒(méi)有能量損失，水平直桿CD長(zhǎng)度的可能值。[答案]　(1)0.1 m　(2)0.2 m＜L≤0.6 m[解析]　(1)從物塊釋放到C處，根據(jù)能量守恒定律得kx＝mg(R＋x1)＋mv，物塊上升到光滑圓弧桿的C處時(shí)恰好對(duì)軌道沒(méi)有作用力，即在C點(diǎn)FN＝0，則mg＝m，聯(lián)立解得x1＝0.1 m或x1＝－ m(不合題意，舍去)。(2)物塊只與擋板碰撞一次且碰撞沒(méi)有能量損失，設(shè)水平直桿CD的長(zhǎng)度為L，則當(dāng)物塊在水平直桿CD上的路程s1＝3L1，恰好停在擋板前，此時(shí)直桿CD最短；或路程s2＝L2，恰好撞上擋板，此時(shí)直桿CD最長(zhǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理得－μmgs＝0－mv，當(dāng)s＝s1時(shí)，解得L1＝0.2 m，當(dāng)s＝s2時(shí)，解得L2＝0.6 m，故物塊只與擋板碰撞一次且碰撞沒(méi)有能量損失時(shí)，水平直桿CD長(zhǎng)度0.2 m＜L≤0.6 m。10．(2021·河北高三月考)如圖所示，豎直面內(nèi)的圓弧軌道所對(duì)圓心角θ＝60°，半徑R＝0.2 m，圓弧軌道頂端固定一個(gè)小定滑輪，最低點(diǎn)切線水平，與桌面上的水平軌道平滑相連。一彈簧兩端分別連接A、B兩個(gè)物塊，mA＝mB＝0.8 kg。B通過(guò)不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩與質(zhì)量mC＝5.4 kg的小球C相連。初始時(shí)，整個(gè)裝置都處于靜止?fàn)顟B(tài)，A位于地面上，C在外力作用下靜止在圓弧軌道的頂端，細(xì)繩恰好伸直但無(wú)張力?，F(xiàn)撤去外力，當(dāng)C滑至圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，A恰好要離開(kāi)地面，細(xì)線斷裂，B未到達(dá)定滑輪處。不計(jì)彈簧、細(xì)繩和滑輪的質(zhì)量，不計(jì)一切摩擦和能量損失，已知彈簧始終在彈性限度內(nèi)。重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)彈簧的勁度系數(shù)k；(2)細(xì)繩斷裂后瞬間，小球C對(duì)圓弧軌道的壓力FN。[答案]　(1)80 N/m　(2)88.2 N，方向豎直向下[解析]　(1)對(duì)AB受力分析，根據(jù)胡克定律mBg＝kxB，mAg＝kxA，xA＋xB＝R，聯(lián)立解得k＝80 N/m。(2)由能量關(guān)系可知mCgR(1－cos 60°)＝mBg(xA＋xB)＋mBv＋mCv，且vB＝vCsin 60°，FN－mCg＝mC，解得FN＝88.2 N，根椐牛頓第三定律，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?/span>FN＝F′N＝88.2 N。方向豎直向下。

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