www.ks5u.com玉溪一中2020-2021學年下學期高二年級期中考數(shù)學學科試卷（理）                              命題人：劉劍濤    審題人：姚艷萍 吳志華考試時間：120分鐘  試卷滿分：150分注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2.作答時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、     選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知 為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．2．等于A．1    B．-1    C．   D． 3. 如圖所示的?ABC 中，點 D 是線段 BC 上靠近 B 的三等分點，則A.               B. C.               D. 4. 2020年新型冠狀病毒肺炎疫情對消費飲食行業(yè)造成了很大影響，為了解A，B兩家大型餐飲店受影響的程度，現(xiàn)統(tǒng)計了2020年2月到7月A，B兩店每月營業(yè)額，得到如圖所示的折線圖，根據(jù)營業(yè)額折線圖可知，下列說法不正確的是A. A店營業(yè)額的平均值超過B店營業(yè)額的平均值B. A店營業(yè)額在6月份達到最大值C. A店營業(yè)額的極差比B店營業(yè)額的極差小D. A店5月份的營業(yè)額比B店5月份的營業(yè)額小5．若,則下列不等式中正確的是A．  B． C．   D． 6．已知，且，則 A．       B．        C．        D．7. 函數(shù)的大致圖象為8. 設  是兩條不同的直線，?是平面，不在內(nèi)，下列結論中錯誤的是A． m ??， n//?，則 m ? n B． m ? n ， n//?，則 m ??C． m ??， m ? n ，則 n//? D． m ??， n ??，則 m//n9. 關于函數(shù)有下述三個結論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的一條對稱軸為；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中，所有正確結論的序號是A. ①② B. ①③  C. ②③              D. ①②③10．已知函數(shù)有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是A. －1＜a＜2      B. －3＜a＜6      C. a＜－3或a＞6      D. a＜－1或a＞211. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，且，過橢圓的右焦點做傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則可以取 8              5                7                412. 棱長為1的正方體中，為正方體表面上的一個動點，且總有，則動點的軌跡所圍成圖形的面積為 A．       B．      C．   D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在中，若，則這個三角形的形狀是________．14．“” 為假命題,則實數(shù)的最大值為________．15. 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長度為________．16.年月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明史得到國際社會認可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史．考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>________；經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來的至，據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：共70分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17．（10分） 已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，實數(shù)滿足，求的最值.18．（12分）已知點（n∈N*）在函數(shù)的圖像上，。（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）設,記…，求。     19．（12分）如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.       20． （12分）為了讓學生更多的了解“數(shù)學史”知識，某中學高二年級舉辦了一次“追尋先哲的足跡，傾聽數(shù)學的聲音”的數(shù)學史知識競賽活動，共有800名學生參加了這次競賽，為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果見下表．請你根據(jù)頻率分布表解答下列問題：(1)填充頻率分布表中的空格；(2)規(guī)定成績不低于85分的同學能獲獎，請估計在參加的800名學生中大概有多少名同學獲獎？(3)在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中有一項計算見算法流程圖，求輸出的S的值．       21. （12 分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值；（2）對，如果函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，則稱函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．求證：函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．        22（12分）已知平面內(nèi)的兩個定點，，，平面內(nèi)的動點滿足.記的軌跡為曲線.（1）請建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，?/span>的方程；（2）過做直線交曲線于，兩點，若點是線段的中點，點滿足，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.        數(shù)學答案（理）一、選擇題BDCDD  AABAC  AC 4.【答案】 D．【解析】【分析】根據(jù)營業(yè)額折線圖可得解【詳解】A店的2-7月的營業(yè)額故A正確,根據(jù)營業(yè)額折線圖可知B正確；A店營業(yè)額的極差，B店營業(yè)額的極差故C正確，A店5月份的營業(yè)額45比B店5月份的營業(yè)額35大，故D錯誤，故選：ABC【點睛】本題考查根據(jù)折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎題. 10.【答案】C【解析】【分析】易得有兩個不相等的實數(shù)根,再根據(jù)二次函數(shù)的判別式求解即可.【詳解】由題有兩個不相等的實數(shù)根,故,解得或.故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)極值點的個數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎題.12.【答案】 C．【解析】連接，，，則可證平面，故點軌跡圍成圖形為，又，，故選C．二、填空題13. 【答案】等腰三角形【解析】【分析】利用公式，利用兩角和差的正弦公式，化簡，并判斷三角形的形狀.【詳解】，，代入條件可得，即，即，所以三角形是等腰三角形.故答案為：等腰三角形 15. 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長度為________．【答案】    由三視圖還原幾何體得到三棱錐，根據(jù)三棱錐體積公式可求得體積；利用勾股定理可求得最長棱.【詳解】由三視圖還原幾何體，可知幾何體為如下圖所示的三棱錐則，平面，最長棱故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求解幾何體體積和棱長的問題，關鍵是能夠準確的通過三視圖還原幾何體，屬于?？碱}型.16.年月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄，標志著中華五千年文明史得到國際社會認可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史．考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律．已知樣本中碳的質(zhì)量隨時間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳原有的質(zhì)量），則經(jīng)過年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>________；經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來的至，據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在________年到年之間．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】    (1).     (2). （1）根據(jù)衰變規(guī)律，令，代入求得；（2）令，解方程求得即可.【詳解】當時，    經(jīng)過年后，碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>令，則        良渚古城存在的時期距今約在年到年之間故答案為：；【點睛】本題考查根據(jù)給定函數(shù)模型求解實際問題，考查對于函數(shù)模型中變量的理解，屬于基礎題.三、解答題17. 已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，正實數(shù)滿足，求的最值.（1）①當時，，所以無解②當時，，所以③當時，，所以無解綜上，不等式的解集為···································5分（2）因為，所以，所以，故·······················10分（或者·······················10分18. 已知點（n∈N*）在函數(shù)的圖像上，。（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）設,記…，求。【答案】解：（1） ∵點在函數(shù)的圖像上，∴=，并且
即 ， 整理得 ，∵，∴∴ 數(shù)列{}是以1為首項、1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，∴ ，∵，   ∴，       ,
∴ ==   19. 如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由線面垂直得線線垂直.，再由線面垂直的判定定理得證線面垂直；（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【詳解】解：（1）由已知得，平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由題設知≌，所以，故，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量為，則即所以可取得.設平面的法向量為，則即所以可取，得.于是.所以，二面角的正弦值為.【點睛】本題考查證明線面垂直，考查用空間向量法求二面角，解題關鍵是建立空間直角坐標系，求出二面角的兩個面的法向量，由法向量夾角求得二面角．20.為了讓學生更多的了解“數(shù)學史”知識，某中學高二年級舉辦了一次“追尋先哲的足跡，傾聽數(shù)學的聲音”的數(shù)學史知識競賽活動，共有800名學生參加了這次競賽，為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果見下表．請你根據(jù)頻率分布表解答下列問題：(1)填充頻率分布表中的空格；(2)規(guī)定成績不低于85分的同學能獲獎，請估計在參加的800名學生中大概有多少名同學獲獎？(3)在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中有一項計算見算法流程圖，求輸出的S的值．【答案】解　(1)①為6，②為0.4，③為12，④為12，⑤為0.24；(2)(×0.24＋0.24)×800＝288，即在參加的800名學生中大概有288名同學獲獎．(3)由流程圖得S＝G1F1＋G2F2＋G3F3＋G4F4＝65×0.12＋75×0.4＋85×0.24＋95×0.24＝81，即輸出S的值為81. 21. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值；（2）對，如果函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，則稱函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．求證：函數(shù)在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．【答案】（1）；；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的最值；（2）利用導數(shù)證明函數(shù)恒成立，即證明.【詳解】（1）當時，，                      ······················2分∴在遞增  ·                       ·····················3分                               ·····················4分（2）令        ······················6分                                 ······················7分                              ·····················9分∵，∴∴在上遞增                              ······················10分∴的圖像在的上方，∴在區(qū)間上被函數(shù)覆蓋．             ······················12分【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等主要方法有兩個，1、比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；2、綜合的不等式證明，要觀察不等式特點，結合已解答的問題把要證的不等式變形，并運用已證結論先行放縮，然后再化簡或者進一步利用導數(shù)證明. 22（12分）已知平面內(nèi)的兩個定點，，，平面內(nèi)的動點滿足.記的軌跡為曲線.（1）請建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，?/span>的方程；（2）過做直線交曲線于，兩點，若點是線段的中點，點滿足，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.（1）··················································3分 （2），設直線，，，，代入得：由于恒成立則有，································5分 ········6分點到直線的距離·····································7分 則············10分當且僅當：，即時取等號，又由于，知，此時.··12分   

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