一、靜電力做功和電勢能
1.靜電力做功
(1)特點(diǎn)：靜電力做功與路徑無關(guān)，只與電荷量和電荷移動過程始、末位置間的電勢差有關(guān)。
(2)W＝qEd，只適用于勻強(qiáng)電場，其中d為帶電體在沿電場方向的位移。
(3)WAB＝qUAB，適用于任何電場。
2.電勢能
(1)定義：電荷在電場中具有的勢能，稱為電勢能。
(2)說明：電勢能具有相對性，通常把無窮遠(yuǎn)處或大地的電勢能規(guī)定為零。
3.靜電力做功與電勢能變化的關(guān)系
(1)靜電力做的功等于電荷電勢能的減少量，即WAB＝EpA－EpB。
(2)通過WAB＝EpA－EpB可知：靜電力對電荷做多少正功，電荷的電勢能就減少多少；電荷克服靜電力做多少功，電荷的電勢能就增加多少。
(3)電勢能的大?。河蒞AB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，則EpA＝WAB，即一個電荷在電場中某點(diǎn)具有的電勢能，數(shù)值上等于將其從該點(diǎn)移到零電勢能位置過程中靜電力所做的功。
【自測1】 (多選)如圖1所示，固定在Q點(diǎn)的正點(diǎn)電荷的電場中有M、N兩點(diǎn)，已知FN，EpM>EpN
C.FM0)的點(diǎn)電荷固定在P點(diǎn)。下列說法正確的是(　　)

圖5
A.沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電場強(qiáng)度的大小逐漸增大
B.沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電勢先增大后減小
C.正電荷在M點(diǎn)的電勢能比其在N點(diǎn)的電勢能大
D.將正電荷從M點(diǎn)移動到N點(diǎn)，電場力所做的總功為負(fù)
答案　BC
解析　如圖所示，找出Q點(diǎn)，使Q點(diǎn)與P點(diǎn)的距離等于M點(diǎn)與P點(diǎn)的距離，L點(diǎn)為MN上到P點(diǎn)距離最短的點(diǎn)，根據(jù)三角形邊角關(guān)系、點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度公式E＝k和正點(diǎn)電荷形成電場中的電勢特點(diǎn)可知，沿著MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，到P點(diǎn)的距離r先減小后增大，電場強(qiáng)度先增大后減小，電勢也先增大后減小，選項(xiàng)B正確，A錯誤；根據(jù)電勢能與電勢的關(guān)系Ep＝qφ可知，正電荷在M點(diǎn)的電勢能比在N點(diǎn)的電勢能大，故將正電荷從M點(diǎn)移動到N點(diǎn)，電場力所做的總功為正，選項(xiàng)C正確，D錯誤。
考點(diǎn)二　電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系
1.公式E＝的三點(diǎn)注意
(1)只適用于勻強(qiáng)電場。
(2)d為某兩點(diǎn)沿電場強(qiáng)度方向上的距離，或兩點(diǎn)所在等勢面之間的距離。
(3)電場強(qiáng)度的方向是電勢降低最快的方向。
2.兩個推論

3.E＝在非勻強(qiáng)電場中的“兩點(diǎn)”妙用
(1)解釋等差等勢面的疏密與電場強(qiáng)度大小的關(guān)系：當(dāng)電勢差U一定時(shí)，電場強(qiáng)度E越大，則沿電場強(qiáng)度方向的距離d越小，即電場強(qiáng)度越大，等差等勢面越密。
(2)定性判斷非勻強(qiáng)電場中兩點(diǎn)間電勢差的大小關(guān)系：距離相等的兩點(diǎn)間平均電場強(qiáng)度E越大，則電勢差U越大，如圖6甲所示，AB＝BC，則有UAB＞UBC；平均電場強(qiáng)度E越小，則電勢差U越小，如圖乙所示，AB＝BC，則有UAB＜UBC。

圖6
【例3】 如圖7所示，邊長為1 cm的正三角形ABC處于勻強(qiáng)電場中，電場方向平行于三角形所在平面。將電子由A點(diǎn)移動到B點(diǎn)，電場力做功4 eV；將電子由A點(diǎn)移動到C點(diǎn)，電場力做功2 eV。電場強(qiáng)度大小為(　　)

圖7
A.200 V/m B.300 V/m
C.200 V/m D.400 V/m
答案　D
解析　電子由A點(diǎn)移動到B點(diǎn)，電場力做功4 eV，則UAB＝＝＝－4 V；電子由A點(diǎn)移動到C點(diǎn)，電場力做功2 eV，UAC＝＝＝－2 V；設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則C、D兩點(diǎn)電勢相等，C、D為等勢線，電場方向沿BA方向，則E＝＝ V/m＝400 V/m，選項(xiàng)D正確。

2.如圖是勻強(qiáng)電場遇到空腔導(dǎo)體后的部分電場線分布圖，電場線的方向如圖8所示，M、N、Q是以直電場線上一點(diǎn)O為圓心的同一圓周上的三點(diǎn)，OQ連線垂直于MN，以下說法正確的是(　　)

圖8
A.O點(diǎn)電勢與Q點(diǎn)電勢相等
B.將一正電荷由M點(diǎn)移到Q點(diǎn)，電荷的電勢能減少
C.MO間的電勢差等于ON間的電勢差
D.在Q點(diǎn)釋放一個正電荷，正電荷所受電場力將沿與OQ垂直的方向豎直向上
答案　B
解析　過O點(diǎn)和Q點(diǎn)作電場的等勢面，如圖所示。由圖可知，O、Q兩點(diǎn)的電勢不相等，故A錯誤；將一正電荷由M點(diǎn)移到Q點(diǎn)，電場力對電荷做正功，故電荷的電勢能減少，故B正確；MO與ON相等，但由于電場不是勻強(qiáng)電場，且MO間的平均電場強(qiáng)度大于ON間的平均電場強(qiáng)度，因此由U＝Ed可推得，MO間的電勢差大于ON間的電勢差，故C錯誤；在Q點(diǎn)釋放一個正電荷，正電荷所受電場力將沿Q點(diǎn)電場線的切線方向斜向上，故D錯誤。
考點(diǎn)三　靜電場中的三類圖像
角度1　E－x圖像
(1)E－x圖像反映了電場強(qiáng)度隨位移變化的規(guī)律。
(2)E－x圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點(diǎn)的電勢高低根據(jù)電場方向判定。
【例4】 (2021·廣東深圳調(diào)研)真空中，在x軸上x＝0 m處和x＝8 m處分別固定電性相同的點(diǎn)電荷Q1和Q2，電荷間連接線上的電場強(qiáng)度E隨x變化的圖像如圖9所示(以＋x方向?yàn)殡妶鰪?qiáng)度正方向)，其中x＝6 m處E＝0。將一個正試探電荷在x＝2 m處由靜止釋放(重力不計(jì)，取無窮遠(yuǎn)處電勢為零)，則(　　)

圖9
A.Q1、Q2均為負(fù)電荷
B.Q1、Q2帶電荷量之比為9∶1
C.在x＝6 m處電勢為0
D.該試探電荷向x軸正方向運(yùn)動時(shí)，電勢能一直減小
答案　B
解析　由圖像可知，x＝0 m處電場強(qiáng)度為正，x＝8 m處電場強(qiáng)度為負(fù)，故Q1、Q2均為正電荷，A錯誤；根據(jù)題意可知，在x＝6 m處，Q1、Q2產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大小相等，即k＝k，解得＝＝，B正確；由于無窮遠(yuǎn)處電勢為零，故在x＝6 m處電勢大于0，C錯誤；該試探電荷向x軸正方向運(yùn)動時(shí)，電場力先做正功，再做負(fù)功，因此電勢能先減小后增大，D錯誤。
角度2　φ－x圖像
(1)電場強(qiáng)度的大小等于φ－x圖線切線的斜率大小，電場強(qiáng)度為零處，φ－x圖線存在極值，其切線的斜率為零。
(2)在φ－x圖像中可以直接判斷各點(diǎn)電勢的高低，并可根據(jù)電勢高低關(guān)系確定電場強(qiáng)度的方向。
(3)在φ－x圖像中分析電荷移動時(shí)電勢能的變化，可用WAB＝qUAB，進(jìn)而分析WAB的正負(fù)，然后作出判斷。
【例5】 (多選)在x軸上有兩個點(diǎn)電荷q1、q2，其靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖10所示。下列說法正確的有(　　)

圖10
A.q1和q2帶有異種電荷
B.x1處的電場強(qiáng)度為零
C.負(fù)電荷從x1移到x2，電勢能減小
D.負(fù)電荷從x1移到x2，受到的電場力增大
答案　AC
解析　從圖中看到，中間電勢高，兩邊電勢低，且圖形左右不對稱，判斷q1和q2帶有異種不等量電荷，A正確；從圖線斜率看，x1處的電場強(qiáng)度不為零，B錯誤；負(fù)電荷從x1移到x2，即由低電勢到高電勢，由Ep＝qφ知，電勢能減小，C正確；負(fù)電荷從x1移到x2，曲線斜率減小，電場強(qiáng)度減小，由F＝qE知，負(fù)電荷受到的電場力減小，D錯誤。
角度3　Ep－x圖像
【例6】 一帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運(yùn)動。取該直線為x軸，起始點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其電勢能Ep與位移x的關(guān)系如圖11所示。下列圖像中合理的是(　　)

圖11

答案　D
解析　由于粒子只受電場力作用，因此由F電＝可知，Ep－x圖像的斜率大小即為粒子所受電場力大小，從題圖可知，圖像的斜率隨位移的增大而越來越小，因此粒子運(yùn)動后所受的電場力隨位移的增大而越來越小，因此電場強(qiáng)度越來越小，加速度也越來越小，A錯誤，D正確；由于粒子只受電場力作用，因此動能與電勢能的和是定值，但從B項(xiàng)和題圖可以看出，不同位置的電勢能與動能的和不是定值，B錯誤；粒子做加速度減小的加速運(yùn)動，C錯誤。

帶電粒子在電場中運(yùn)動軌跡問題
1.判斷速度方向：帶電粒子運(yùn)動軌跡上某點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)處的速度方向。選用軌跡和電場線(等勢線)的交點(diǎn)更方便。
2.判斷電場力的方向：僅受電場力作用時(shí)，因軌跡始終夾在速度方向和帶電粒子所受電場力方向之間，而且向合外力一側(cè)彎曲，結(jié)合速度方向，可以判斷電場力方向。
若已知電場線和軌跡，所受電場力的方向與電場線(或切線)共線；
若已知等勢線和軌跡，所受電場力的方向與等勢線垂直。
3.判斷電場力做功的正負(fù)及電勢能的增減：若電場力方向與速度方向成銳角，則電場力做正功，電勢能減少；若電場力方向與速度方向成鈍角，則電場力做負(fù)功，電勢能增加。
【示例1】 (2021·八省聯(lián)考廣東卷)如圖1所示，在某靜電除塵器產(chǎn)生的電場中，帶等量負(fù)電荷的兩顆微粒只受電場力作用，分別從p點(diǎn)沿虛線pm、pn運(yùn)動，被吸附到金屬圓筒上。下列說法正確的是(　　)

圖1
A.p點(diǎn)的電勢高于n點(diǎn)的電勢
B.微粒在p點(diǎn)的電勢能小于在m點(diǎn)的電勢能
C.微粒從p到n的動能變化量大于從p到m的動能變化量
D.微粒從p到n的電勢能變化量等于從p到m的電勢能變化量
答案　D
解析　沿著電場線方向，電勢逐漸降低，則φn>φp，故A錯誤；負(fù)電荷從p運(yùn)動到m的過程中，電場力做正功，電勢能減小，則Epp>Epm，故B錯誤；兩微粒從p到n和從p到m的過程中，均只受電場力且其做正功，由動能定理有qU＝ΔEk，因Upn＝Upm，電荷量q相等，所以兩微粒的動能變化量相等，故C錯誤；由于W＝ΔEp，電場力做正功相等，所以微粒從p到n和從p到m電勢能的變化量相等，故D正確。
【示例2】 (2021·河南鄭州質(zhì)檢)如圖2所示，一帶正電的點(diǎn)電荷固定于O點(diǎn)，兩虛線圓均以O(shè)為圓心，兩實(shí)線分別為帶電粒子M和N先后在電場中運(yùn)動的軌跡，a、b、c、d、e為軌跡和虛線圓的交點(diǎn)。不計(jì)重力，下列說法錯誤的是(　　)

圖2
A.M帶負(fù)電荷，N帶正電荷
B.M在b點(diǎn)的動能小于它在a點(diǎn)的動能
C.N在d點(diǎn)的電勢能等于它在e點(diǎn)的電勢能
D.N在從c點(diǎn)運(yùn)動到d點(diǎn)的過程中克服電場力做功
答案　D
解析　由粒子運(yùn)動軌跡可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M帶負(fù)電荷，N帶正電荷，故A正確；M從a點(diǎn)到b點(diǎn)，庫侖力做負(fù)功，根據(jù)動能定理知，動能減小，則M在b點(diǎn)的動能小于在a點(diǎn)的動能，故B正確；d點(diǎn)和e點(diǎn)在同一等勢面上，電勢相等，則N在d點(diǎn)的電勢能等于在e點(diǎn)的電勢能，故C正確；N從c點(diǎn)運(yùn)動到d點(diǎn)，電場力做正功，故D錯誤。


考點(diǎn)一　電場能的性質(zhì)的理解
1.如圖1所示，實(shí)線表示某電場的電場線，虛線表示一帶正電的粒子只在電場力作用下的運(yùn)動軌跡，設(shè)A和B點(diǎn)的電勢分別為φA和φB，粒子在A、B兩點(diǎn)加速度大小分別為aA和aB，速度大小為vA和vB，電勢能分別為EpA和EpB，下列判斷正確的是(　　)

圖1
A.vAaB，選項(xiàng)B錯誤；根據(jù)沿著電場線方向，電勢逐漸降低，可知φAφb，所以電場強(qiáng)度的方向?yàn)榇怪庇赼c線，指向b點(diǎn)，A錯誤，C正確；負(fù)電荷在電勢低的地方電勢能大，即電子在d點(diǎn)的電勢能小于在b點(diǎn)的電勢能，D錯誤。
考點(diǎn)三　靜電場中的三類圖像
6.(多選)空間內(nèi)有一沿x軸分布的電場，其電場強(qiáng)度E隨x變化的圖像如圖6所示。－x1、x1、x2、x3是x軸上的四個點(diǎn)，圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O中心對稱，下列說法中正確的是(　　)

圖6
A.－x1處的電勢比x1處的電勢高
B.將正電荷由－x1移到x2，電勢能先增大后減小
C.將一負(fù)電荷由－x1處由靜止釋放，若只受電場力作用，它將在－x1和x1之間往復(fù)運(yùn)動
D.負(fù)電荷在4個點(diǎn)中位于x2處電勢能最大
答案　BC
解析　根據(jù)題意，電場關(guān)于x軸對稱分布，沿電場線方向電勢降低，則O點(diǎn)電勢最高，電場強(qiáng)度關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則x軸上關(guān)于O點(diǎn)對稱位置的電勢相等，則－x1處的電勢與x1處的電勢相等，A錯誤；將正電荷由－x1移到x2，電勢能先增大后減小，B正確；－x1和x1之間的電場是對稱的，將一負(fù)電荷由－x1處由靜止釋放，若只受電場力作用，負(fù)電荷先向右做加速運(yùn)動，經(jīng)過O點(diǎn)之后做減速運(yùn)動，到x1處速度減為零，則它將在－x1和x1之間往復(fù)運(yùn)動，C正確；4個點(diǎn)中，x3點(diǎn)的電勢最低，則負(fù)電荷在4個點(diǎn)中位于x3處電勢能最大，D錯誤。
7.(多選)(2021·湖南長沙月考)兩電荷量分別為q1和q2的點(diǎn)電荷固定在x軸上的A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)電荷連線上各點(diǎn)電勢φ隨坐標(biāo)x變化的關(guān)系圖像如圖7所示，其中P點(diǎn)電勢最高，且xAP

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