一、重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系
1.重力做功的特點(diǎn)
(1)重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)。
(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化。
2.重力勢(shì)能
(1)表達(dá)式：Ep＝mgh。
(2)重力勢(shì)能的特點(diǎn)
重力勢(shì)能是物體和地球所共有的，重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無(wú)關(guān)。
3.重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系
(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減?。恢亓?duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大。
(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
【自測(cè)1】 關(guān)于重力勢(shì)能，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A.物體的位置一旦確定，它的重力勢(shì)能的大小也隨之確定
B.物體與零勢(shì)能面的距離越大，它的重力勢(shì)能也越大
C.一個(gè)物體的重力勢(shì)能從－5 J變化到－3 J，重力勢(shì)能減少了
D.重力勢(shì)能的減少量等于重力對(duì)物體做的功
答案　D
二、彈性勢(shì)能
1.定義：發(fā)生彈性形變的物體的各個(gè)部分之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能。
2.彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系
彈力做正功，彈性勢(shì)能減??；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加。定量表達(dá)式為
W＝－ΔEp。
【自測(cè)2】 (多選)關(guān)于彈性勢(shì)能，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A.任何發(fā)生彈性形變的物體，都具有彈性勢(shì)能
B.任何具有彈性勢(shì)能的物體，一定發(fā)生了彈性形變
C.物體只要發(fā)生形變，就一定具有彈性勢(shì)能
D.彈簧的彈性勢(shì)能只跟彈簧被拉伸或壓縮的長(zhǎng)度有關(guān)
答案　AB
三、機(jī)械能守恒定律
1.內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變。
2.表達(dá)式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。
3.機(jī)械能守恒的條件
(1)系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力。
(2)系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內(nèi)力和外力，但這些力對(duì)系統(tǒng)不做功。
(3)系統(tǒng)內(nèi)除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內(nèi)力和外力做功，但這些力做功的代數(shù)和為零。
(4)系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化。
【自測(cè)3】 下列幾種運(yùn)動(dòng)中，機(jī)械能一定守恒的是(　　)
A.做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體
B.做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體
C.做平拋運(yùn)動(dòng)的物體
D.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體
答案　C

考點(diǎn)一　機(jī)械能守恒的理解和判斷
機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法
(1)利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功(或做功代數(shù)和為0)，則機(jī)械能守恒。
(2)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒(méi)有能量交換，物體或系統(tǒng)也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒。
(3)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，則機(jī)械能守恒。

1.(機(jī)械能守恒的條件)(2021·浙江紹興期末)如圖1所示為阿拉斯加當(dāng)?shù)厝说囊环N娛樂(lè)方式。他們用一塊彈性毯子將小孩豎直拋起，再保持彈性毯子水平，接住小孩。不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

圖1
A.用毯子將小孩上拋，毯子對(duì)小孩做正功，小孩機(jī)械能增加
B.小孩在空中上升時(shí)處于超重狀態(tài)，下落過(guò)程處于失重狀態(tài)
C.小孩由最高點(diǎn)下落，一接觸到彈性毯子就立刻做減速運(yùn)動(dòng)
D.小孩由最高點(diǎn)下落至速度為零的過(guò)程中，小孩機(jī)械能守恒
答案　A
解析　用毯子將小孩上拋，毯子對(duì)小孩做正功，小孩機(jī)械能增加，故A正確；小孩在空中上升時(shí)和下落過(guò)程加速度向下，都處于失重狀態(tài)，故B錯(cuò)誤；小孩由最高點(diǎn)下落，一接觸到彈性毯子在彈力小于重力之前，加速度向下，還是加速運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；小孩由最高點(diǎn)下落至速度為零的過(guò)程中，除重力外，毯子的彈力對(duì)小孩做負(fù)功，小孩機(jī)械能減小，故D錯(cuò)誤。
2.(機(jī)械能守恒的判斷)(2021·山西太原模擬)如圖2所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止在水平面上?，F(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是(　　)

圖2
A.斜劈對(duì)小球的彈力不做功
B.斜劈與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C.斜劈的機(jī)械能守恒
D.小球重力勢(shì)能的減少量等于斜劈動(dòng)能的增加量
答案　B
解析　不計(jì)一切摩擦，小球下滑時(shí)，小球和斜劈組成的系統(tǒng)只有小球的重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，B正確，C、D錯(cuò)誤；斜劈對(duì)小球的彈力與小球位移的夾角大于90°，故彈力做負(fù)功，A錯(cuò)誤。
考點(diǎn)二　單個(gè)物體的機(jī)械能守恒問(wèn)題
1.表達(dá)式


用“守恒形式”時(shí)，需要選取重力勢(shì)能的參考平面。用“轉(zhuǎn)化形式”和“轉(zhuǎn)移形式”時(shí)則不必選取重力勢(shì)能的參考平面，因?yàn)橹亓?shì)能的改變量與參考平面的選取沒(méi)有關(guān)系。
2.一般步驟

【例1】 如圖3，MN為半徑R＝0.4 m、固定于豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平，O為圓心，M、O、P三點(diǎn)在同一水平線上，M的下端與軌道相切處放置豎直向上的彈簧槍，可發(fā)射速度不同但質(zhì)量均為m＝0.01 kg的小鋼珠，小鋼珠每次都在M點(diǎn)離開(kāi)彈簧槍。某次發(fā)射的小鋼珠沿軌道經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)恰好與軌道間無(wú)作用力，水平飛出后落到OP上的Q點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，取g＝10 m/s2。求：

圖3
(1)小鋼珠經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)速度的大小vN；
(2)小鋼珠離開(kāi)彈簧槍時(shí)的動(dòng)能Ek；
(3)小鋼珠的落點(diǎn)Q與圓心O的距離x。
答案　(1)2 m/s　(2)0.06 J　(3) m
解析　(1)小鋼珠沿軌道經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)恰好與軌道間無(wú)作用力，則有mg＝m
解得vN＝2 m/s。
(2)小鋼珠在光滑圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒定律得
mv－Ek＝－mgR
解得Ek＝0.06 J。
(3)小鋼珠從N點(diǎn)水平飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，
R＝gt2，x＝vNt，解得x＝ m。

?應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先對(duì)研究對(duì)象在所研究的過(guò)程中機(jī)械能是否守恒做出判斷。
?如果系統(tǒng)(除地球外)只有一個(gè)物體，用守恒式列方程較簡(jiǎn)便；對(duì)于由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)，用轉(zhuǎn)化式或轉(zhuǎn)移式列方程較簡(jiǎn)便。

3.如圖4，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直。一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)對(duì)應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)(　　)

圖4
A. B. C. D.
答案　B
解析　設(shè)小物塊滑到軌道上端的速度大小為v1，半徑為r，小物塊由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律有2mgr＋mv＝mv2，小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)落地點(diǎn)到軌道下端的距離為x，則有x＝v1t，2r＝gt2，聯(lián)立以上式子解得x＝2，當(dāng)r＝時(shí)，x最大，故選項(xiàng)B正確。
考點(diǎn)三　連接體的機(jī)械能守恒問(wèn)題
1.對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。
2.注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
3.列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA增＝ΔEB減的形式。
角度1　輕繩連接的物體系統(tǒng)
常見(jiàn)情景

三點(diǎn)提醒
(1)分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等
(2)用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系
(3)對(duì)于單個(gè)物體，一般繩上的力要做功，機(jī)械能不守恒；但對(duì)于繩連接的系統(tǒng)，機(jī)械能則可能守恒
【例2】 (2021·黑龍江哈爾濱模擬)如圖5所示，物體A的質(zhì)量為M，圓環(huán)B的質(zhì)量為m，A、B通過(guò)繩子連接在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上，開(kāi)始時(shí)，圓環(huán)與定滑輪之間的繩子處于水平狀態(tài)，長(zhǎng)度l＝4 m，現(xiàn)從靜止開(kāi)始釋放圓環(huán)，不計(jì)定滑輪和空氣的阻力，重力加速度g取10 m/s2，若圓環(huán)下降h＝3 m時(shí)的速度v＝5 m/s，則A和B的質(zhì)量關(guān)系為(　　)

圖5
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
[思路點(diǎn)撥]　通過(guò)圓環(huán)的速度找出物體A的速度，然后對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律即可。

答案　A
解析　圓環(huán)下降3 m時(shí)，速度沿繩方向和垂直繩方向進(jìn)行分解，可得vA＝vcos θ，由幾何關(guān)系可知cos θ＝，解得vA＝3 m/s。物體A上升的高度h′＝－l＝1 m。將A、B看作一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可得mgh－Mgh′＝mv2＋Mv，代入數(shù)據(jù)解得＝，選項(xiàng)A正確。

?本題中物體A和圓環(huán)B的速度大小并不相等，但物體A的速度和圓環(huán)B在沿繩方向上的分速度大小相等，所以在解決此類問(wèn)題時(shí)，一定要弄清楚輕繩連接的兩物體間的速度關(guān)系。
?此題中物體A和圓環(huán)B的位移大小也是不同的，所以一定要找準(zhǔn)兩者之間的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。
?一定要注意是物體A和圓環(huán)B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，單個(gè)的物體A或圓環(huán)B的機(jī)械能不守恒，因?yàn)槔K的拉力要做功，如在本題中，輕繩對(duì)A做正功，對(duì)B則做了負(fù)功。
角度2　輕桿連接的物體系統(tǒng)
常見(jiàn)情景

vAsin θ＝vBcos θ

三大特點(diǎn)
(1)平動(dòng)時(shí)兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩物體角速度相等
(2)桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒
(3)對(duì)于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒(méi)有其他力對(duì)系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒
【例3】 (2021·山東煙臺(tái)模擬)如圖6所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B用一根長(zhǎng)為0.2 m的輕桿相連，兩球質(zhì)量均為1 kg，開(kāi)始時(shí)兩小球置于光滑的水平面上，并給兩小球一個(gè)大小為2 m/s，方向水平向左的初速度，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，兩小球滑上一個(gè)傾角為30°的光滑斜面，不計(jì)球與斜面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，重力加速度g取10 m/s2，在兩小球的速度減小為零的過(guò)程中，下列判斷正確的是(　　)

圖6
A.桿對(duì)小球A做負(fù)功
B.小球A的機(jī)械能守恒
C.桿對(duì)小球B做正功
D.小球B速度為零時(shí)距水平面的高度為0.15 m
[思路點(diǎn)撥]　首先判定兩小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，然后計(jì)算當(dāng)A、B兩小球的速度減為零時(shí)兩球在斜面上上升的高度，最后分別對(duì)兩小球應(yīng)用動(dòng)能定理，判斷桿對(duì)兩小球的做功情況。
答案　D
解析　由于兩小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)兩小球的速度減為零時(shí)，B小球上升的高度為h，則由機(jī)械能守恒定律可得mgh＋mg(h＋Lsin 30°)＝·2mv，其中L為輕桿的長(zhǎng)度，v0為兩小球的初速度，代入數(shù)據(jù)解得h＝0.15 m，選項(xiàng)D正確；在A球沿斜面上升過(guò)程中，設(shè)桿對(duì)A球做的功為W，則由動(dòng)能定理可得－mg(h＋Lsin 30°)＋W＝0－mv，代入數(shù)據(jù)解得W＝0.5 J，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由于兩小球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，系統(tǒng)內(nèi)力做功之和為0，故桿對(duì)小球B做功為W′＝－0.5 J，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

?通過(guò)輕桿連接的物體系統(tǒng)，輕桿對(duì)兩個(gè)物體都施加力的作用，物體各自的機(jī)械能不守恒。
?輕桿對(duì)與其連接的物體的作用力一般情況下屬于變力，該力對(duì)物體做的功一般用動(dòng)能定理進(jìn)行求解。
?要注意用輕桿連接的兩物體的速度大小不一定總是相等，但兩物體沿桿方向的速度大小一定相等，此時(shí)可以利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解尋找兩物體速度之間的關(guān)系。
角度3　輕彈簧連接的物體系統(tǒng)
題型特點(diǎn)
由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能守恒
兩點(diǎn)提醒
(1)對(duì)同一彈簧，彈性勢(shì)能的大小由彈簧的形變量完全決定，無(wú)論彈簧伸長(zhǎng)還是壓縮
(2)物體運(yùn)動(dòng)的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)
【真題示例4】 (多選)(2020·山東卷)如圖7所示，質(zhì)量為M的物塊A放置在光滑水平桌面上，右側(cè)連接一固定于墻面的水平輕繩，左側(cè)通過(guò)一傾斜輕繩跨過(guò)光滑定滑輪與一豎直輕彈簧相連。現(xiàn)將質(zhì)量為m的鉤碼B掛于彈簧下端，當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，將B由靜止釋放，當(dāng)B下降到最低點(diǎn)時(shí)(未著地)，A對(duì)水平桌面的壓力剛好為零。輕繩不可伸長(zhǎng)，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，物塊A始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。以下判斷正確的是(　　)

圖7
A.M

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