考點(diǎn)規(guī)范練20　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固1.已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)=2sin的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為(　　)A.T=6,φ= B.T=6,φ=C.T=6π,φ= D.T=6π,φ=答案:A解析:最小正周期為T==6;由2sinφ=1,得sinφ=,又|φ|<,所以φ=.2.要得到函數(shù)y=cos(2x+1)的圖象,只要將函數(shù)y=cos 2x的圖象(　　)A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度答案:C解析:∵y=cos(2x+1)=cos2,∴只要將函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.3.如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為(　　)A.5 B.6 C.8 D.10答案:C解析:因?yàn)閟in∈[-1,1],所以函數(shù)y=3sin+k的最小值為k-3,最大值為k+3.由題圖可知函數(shù)最小值為k-3=2,解得k=5.所以y的最大值為k+3=5+3=8,故選C.4.將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位,所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的一個(gè)可能取值為(　　)A. B. C.0 D.-答案:B解析:由題意可知平移后的函數(shù)為y=sin=sin.由平移后的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,可得+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),故選B.5.將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　)A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減答案:A解析:將函數(shù)y=sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin=sin2x,該函數(shù)在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞減,結(jié)合選項(xiàng)可知選A.6.若函數(shù)f(x)=2sin 2x的圖象向右平移φ個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若對(duì)滿足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值為,則φ=(　　)A. B. C. D.答案:C解析:由函數(shù)f(x)=2sin2x的圖象向右平移φ個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=2sin[2(x-φ)]的圖象,可知對(duì)滿足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值為-φ.故-φ=,即φ=.7.(2020全國(guó)Ⅰ,文7)設(shè)函數(shù)f(x)=cos在區(qū)間[-π,π]的圖象大致如下圖,則f(x)的最小正周期為(　　)A. B. C. D.答案:C解析:由題圖知f=cos=0,所以-ω++kπ(k∈Z),化簡(jiǎn)得ω=-(k∈Z).因?yàn)?/span>T<2π<2T,即<2π<,所以1<|ω|<2,解得-<k<-<k<.當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí),1<|ω|<2.所以ω=,最小正周期T=.8.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,把f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g=(　　)A.-1 B.1 C.- D.答案:A解析:根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象,可得A=2,,求得ω=π.根據(jù)五點(diǎn)作圖法可得π·+φ=,2kπ(k∈Z),結(jié)合|φ|<,求得φ=,故f(x)=2sin.把f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)=2sin=2cos的圖象,則g=2cos=2cos=-1,故選A.9.若關(guān)于x的方程2sin=m在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根,則m的取值范圍是(　　)A.(1,) B.[0,2]C.[1,2) D.[1,]答案:C解析:方程2sin=m可化為sin,當(dāng)x∈時(shí),2x+,畫出函數(shù)y=f(x)=sin在區(qū)間上的圖象,如圖所示.由題意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范圍是[1,2),故選C.10.將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變,再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y=sin x的圖象,則f=　　　　　. 答案:解析:函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,得到y=sin(2ωx+φ)的圖象,再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y=sin=sin的圖象.由題意知sin=sinx,所以2ω=1,-+φ=2kπ(k∈Z),又-≤φ≤,所以ω=,φ=,所以f(x)=sin.所以f=sin=sin.11.已知函數(shù)y=g(x)的圖象由f(x)=sin 2x的圖象向右平移φ(0<φ<π)個(gè)單位得到,這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則φ=　　　　　. 答案:解析:函數(shù)f(x)=sin2x的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱軸為2x=,則x=.x=關(guān)于x=對(duì)稱的直線為x=,由圖象可知,通過(guò)向右平移之后,橫坐標(biāo)為x=的點(diǎn)平移到x=,則φ=.12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin,則下列命題:①f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱;②f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③f(x)的最小正周期為π,且在區(qū)間上為增函數(shù);④把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象.其中正確的命題的序號(hào)為　　　　　. 答案:③④解析:對(duì)于①,f=sin=sin,不是最值,因此x=不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸,故該命題錯(cuò)誤;對(duì)于②,f=sin=1≠0,因此點(diǎn)不是函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心,故該命題錯(cuò)誤;對(duì)于③,函數(shù)f(x)的最小正周期為T==π,當(dāng)x∈時(shí),令t=2x+,顯然函數(shù)y=sint在區(qū)間上為增函數(shù),因此函數(shù)f(x)在區(qū)間上為增函數(shù),故該命題正確;對(duì)于④,把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=sin=sin2x,是奇函數(shù),故該命題正確.能力提升13.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正常數(shù))的最小正周期為π,當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)答案:A解析:由周期T==π,得ω=2.當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最小值,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=Asin.所以f(0)=Asin>0,f(2)=AsinAsin4+cos4<0,f(-2)=Asin=-Asin4+cos4.因?yàn)?/span>f(2)-f(-2)=Asin4<0,所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-Asin=-A,因?yàn)?/span>π<4-<π+π,所以sin>sin=-,即sin>0,所以f(-2)<f(0).綜上,f(2)<f(-2)<f(0),故選A.14.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則(　　)A.ω=,φ= B.ω=,φ=-C.ω=,φ=- D.ω=,φ=答案:A解析:由題意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.當(dāng)ω=時(shí),f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因?yàn)?/span>|φ|<π,所以φ=.故選A.15.現(xiàn)將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A. B.C. D.答案:C解析:∵函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,∴g(x)=sin=sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為,k∈Z.又函數(shù)g(x)在區(qū)間上均單調(diào)遞增,∴解得≤a<.16.已知函數(shù)y=3sin.(1)用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象;(2)說(shuō)明此圖象是由y=sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎么樣的變化得到的.解:(1)列表:xππππx-0ππ2π3sin030-30描點(diǎn)、連線,如圖所示:(2)(方法一)“先平移,后伸縮”.先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y=sin的圖象,再把y=sin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y=sin的圖象,最后將y=sin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變),就得到y=3sin的圖象.(方法二)“先伸縮,后平移”先把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y=sinx的圖象,再把y=sinx圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y=sin=sin的圖象,最后將y=sin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變),就得到y=3sin的圖象.高考預(yù)測(cè)17.已知函數(shù)f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求證:當(dāng)x∈時(shí),f(x)≥-.答案:(1)解f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)證明因?yàn)?/span>-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin=-.所以當(dāng)x∈時(shí),f(x)≥-.

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