單元質(zhì)檢十二　概率(A)(時間:45分鐘　滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.已知函數(shù)f(x)=2x(x<0),其值域為D,在區(qū)間(-1,2)上隨機取一個數(shù)x,則x∈D的概率是(　　)A. B. C. D.答案:B解析:函數(shù)f(x)=2x(x<0)的值域為(0,1),即D=(0,1),則在區(qū)間(-1,2)內(nèi)隨機取一個數(shù)x,x∈D的概率P=.故選B.2.若ξ~B(n,p)且E(ξ)=6,D(ξ)=3,則P(ξ=1)的值為(　　)A. B. C.2-4 D.2-8答案:B解析:∵E(ξ)=np=6,D(ξ)=np(1-p)=3,∴p=,n=12,∴P(ξ=1)=.3.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是(　　)A. B. C. D.答案:C解析:不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,隨機選取兩個不同的數(shù),共有=45種情況,而和為30的有7+23,11+19,13+17這3種情況,故所求概率為.4.某商場為了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表:月平均氣溫x/℃171382月銷售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程x+中的=-2,氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為6 ℃,據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量約為(　　)A.46件 B.40件 C.38件 D.58件答案:A解析:由題中數(shù)據(jù),得=10,=38,回歸直線x+過點(),且=-2,代入得=58,則回歸方程為=-2x+58,所以當(dāng)x=6時,=46,故選A.5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),則k的值為(　　)A.6 B.7 C.8 D.9答案:B解析:∵正態(tài)曲線的對稱軸為x=5,又P(X>k)=P(X<k-4),∴k+(k-4)=2×5,∴k=7,故選B.6.設(shè)隨機變量X服從二項分布X~B,則函數(shù)f(x)=x2+4x+X存在零點的概率是(　　)A. B. C. D.答案:C解析:∵函數(shù)f(x)=x2+4x+X存在零點,∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵隨機變量X服從二項分布X~B,∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅綠燈,汽車在這三處通行的概率分別為,則汽車在這三處停車一次的概率為　　　　　. 答案:解析:設(shè)汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事件A,B,C,停車為,則P(A)=,P(B)=,P(C)=,停車一次即為事件(BC)∪(AC)∪(AB)發(fā)生,故所求概率為.8.在區(qū)間[0,1]上隨機抽取兩個數(shù)x,y,則事件“xy≥”發(fā)生的概率為　　　　　. 答案:解析:設(shè)P(x,y).∵0≤x≤1,0≤y≤1,∴點P落在正方形OABC內(nèi)部(含邊界),如圖.作曲線y=,交正方形OABC于D,E兩點,則滿足條件xy≥的點P落在區(qū)域BDE內(nèi)(含邊界),如圖陰影部分所示.由于S陰影=×1-dx=ln2.因此“xy≥”發(fā)生的概率為ln2.三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù).(1)求X的分布列;(2)求所選3人中最多有1名女生的概率.解:(1)由題意知本題是一個超幾何分布,隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù),X的可能取值為0,1,2,且P(X=k)=,k=0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,X的分布列為X012P(2)由(1)知所選3人中最多有1名女生的概率為P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.10.(15分)(2020廣東汕尾期末)隨著金融市場的發(fā)展,越來越多人選擇投資“黃金”作為理財?shù)氖侄?下面將A市把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計如圖所示.(1)求圖中a的值;(2)求把黃金作為理財產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)以及平均數(shù);(結(jié)果用小數(shù)表示,小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)(3)以頻率估計概率,現(xiàn)從所有投資者中隨機抽取4人,記年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).解:(1)依題意,0.07+0.18+10a+0.25+0.2=1,解得a=0.03.(2)平均數(shù)為25×0.07+35×0.18+45×0.3+55×0.25+65×0.2=48.30.中位數(shù)為40+≈48.33.(3)依題意,年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的概率為0.007×10+0.018×10=0.25=,以頻率估計概率,則年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的概率為P=,現(xiàn)從所有投資者中隨機抽取4人,年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,4,X~B,故P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列為X01234P故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4×=1.11.(15分)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校大學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付方式支付金額(元)(0,1 000](1 000,2 000]大于2 000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機抽取1人,估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)有變化?說明理由.解:(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.所以從全校學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計為=0.4.(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨立,且P(C)==0.4,P(D)==0.6.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD)=P(C)P()+P()P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P()=P()P()=0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=.答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化.

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