單元質(zhì)檢八　立體幾何(B)(時間:45分鐘　滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個數(shù)為(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:由三視圖得到空間幾何體,如圖所示,則PA⊥平面ABCD,平面ABCD為直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.又BC⊥AB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD=2,PC=3,CD=,所以△PCD為銳角三角形.所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB,△PAD,△PBC,共3個.2.設(shè)l,m,n表示不同的直線,α,β,γ表示不同的平面,給出下列四個命題:①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,則m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,則α∥γ;④若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α⊥β.則錯誤命題的個數(shù)為(　　)A.4 B.3 C.2 D.1答案:B解析:①若m∥l,且m⊥α,則l⊥α是正確的,垂直于同一個平面的直線互相平行;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,則m⊥n是錯誤的,當(dāng)m和n平行時,也會滿足前面的條件;③若α⊥β,γ⊥β,則α∥γ是錯誤的,垂直于同一個平面的兩個平面可以是相交的;④若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α⊥β是錯誤的,平面β和α可以是任意的夾角.故選B.3.(2020廣西貴港四模)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱B1C1,C1D1的中點,下列說法:①直線BE與直線DF相交;②直線BE與直線DF是異面直線;③BD∥EF;④直線BD與直線EF是異面直線.其中正確的說法的序號為(　　)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④答案:A解析:連接B1D1.∵E,F分別為棱B1C1,C1D1的中點,∴EFB1D1.又B1D1BD,∴EFBD.∴EF與BD確定一個平面,四邊形DBEF為梯形.∴BE與DF共面,且相交.故①③正確.故選A.4.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中提到一種名為“芻甍”的五面體,如圖,四邊形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形,則這個幾何體的體積是(　　)A. B.+2 C. D.答案:C解析:過E作EG⊥平面ABCD,垂足為G,過F作FH⊥平面ABCD,垂足為H,過G作PQ∥AD,交AB于Q,交CD于P,過H作MN∥BC,交AB于N,交CD于M,如圖所示.∵四邊形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形,∴四邊形PMNQ是邊長為2的正方形,EG=,∴這個幾何體的體積V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM=×1×2××2+×2××2=+2.5.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為(　　)A.8π B.4π C.2π D.π答案:D解析:設(shè)PA=PB=PC=2x.∵E,F分別為PA,AB的中點,∴EF∥PB,且EF=PB=x.∵△ABC為邊長為2的等邊三角形,∴CF=.又∠CEF=90°,∴CE=,AE=PA=x.在△AEC中,由余弦定理可知cos∠EAC=.作PD⊥AC于點D,∵PA=PC,∴D為AC的中點,cos∠EAC=.∴.∴2x2+1=2.∴x2=,即x=.∴PA=PB=PC=.又AB=BC=AC=2,∴PA,PB,PC兩兩垂直.則球O的半徑R滿足2R=.∴R=.∴V=πR3=π×π.故選D.6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N是棱BC的中點,點M在四邊形DCC1D1內(nèi)部運動(包括邊界).設(shè)直線A1D1與直線MN所成的角為θ,則當(dāng)MN∥平面BB1D1D時,tan θ的取值范圍為(　　)A.[1,] B.[1,] C.[] D.[]答案:B解析:取DC,D1C1的中點分別為P,Q,連接PQ,PN,QN,易證得平面PQN∥平面BB1D1D,故當(dāng)點M在線段PQ上運動時,MN∥平面BB1D1D.因為A1D1∥BC,所以直線BC與直線MN所成的角即為直線A1D1與直線MN所成的角,所以∠MNC=θ.連接MC,顯然NC⊥MC.令正方體的棱長為2,PM=x,x∈[0,2],則MC=,又CN=1,所以tanθ=,所以tanθ∈[1,].故選B.二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M,則四棱錐M-EFGH的體積為　　　　　. 答案:解析:由題意可知,四棱錐M-EFGH的底面EFGH為正方形且邊長為,其高為,所以V四棱錐M-EFGH=.8.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得,其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為　　　　　. 答案:40解析:在正方體中還原該幾何體,如圖所示.該幾何體的體積V=43-×(2+4)×2×4=40.三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB∥平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.答案:(1)證明如圖,連接BD交AC于點O,連接EO.因為底面ABCD為矩形,所以O為BD的中點.又因為E為PD的中點,所以EO∥PB.因為EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解因為PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點,分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Axyz,則P(0,0,1),D(0,,0),E.設(shè)B(m,0,0)(m>0),則C(m,,0),=(m,,0).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則可取n1=.由題意得n2=(1,0,0)為平面DAE的一個法向量.由題設(shè)|cos<n1,n2>|=,即,解得m=.因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD的體積V=.10.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求證:PD⊥平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由.答案:(1)證明因為平面PAD⊥平面ABCD,且交線為AD,AB⊥AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB.(2)解如圖,取AD的中點O,連接PO,CO.因為PA=PD,所以PO⊥AD.又因為PO?平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,且交線為AD,所以PO⊥平面ABCD.因為CO?平面ABCD,所以PO⊥CO.因為AC=CD,所以CO⊥AD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則令z=2,則x=1,y=-2.所以可取n=(1,-2,2).因為=(1,1,-1),所以cos<n,>==-.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)解設(shè)M是棱PA上一點,則存在λ∈[0,1]使得=λ.因此點M(0,1-λ,λ),=(-1,-λ,λ).因為BM?平面PCD,所以BM∥平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)·n=0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=.所以在棱PA上存在點M使得BM∥平面PCD,此時.11.(15分)如圖,AD∥BC,且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD,且EG=AD,CD∥FG,且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M為CF的中點,N為EG的中點,求證:MN∥平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若點P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60°,求線段DP的長.解:依題意,以D為原點,分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M,N(1,0,2).(1)證明:依題意=(0,2,0),=(2,0,2).設(shè)n0=(x,y,z)為平面CDE的法向量,則不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又,可得·n0=0.又因為直線MN?平面CDE,所以MN∥平面CDE.(2)依題意,可得=(-1,0,0),=(1,-2,2),=(0,-1,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BCE的法向量,則即不妨令z=1,可得n=(0,1,1).設(shè)m=(x,y,z)為平面BCF的法向量,則即不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos<m,n>=,于是sin<m,n>=.所以,二面角E-BC-F的正弦值為.(3)設(shè)線段DP的長為h(h∈[0,2]),則點P的坐標(biāo)為(0,0,h),可得=(-1,-2,h).易知,=(0,2,0)為平面ADGE的一個法向量,故|cos<>|=.由題意,可得=sin60°=,解得h=∈[0,2].所以,線段DP的長為.

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