單元質(zhì)檢十二　概率(A)(時(shí)間:45分鐘　滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.(2021貴州遵義模擬)在區(qū)間[-2,2]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a,則關(guān)于x的方程x2-2x+a=0有實(shí)根的概率是(　　)A. B. C. D.2.若ξ~B(n,p)且E(ξ)=6,D(ξ)=3,則P(ξ=1)的值為(　　)A. B. C.2-4 D.2-83.(2021廣西南寧階段檢測(cè))哥尼斯堡“七橋問題”是著名的古典數(shù)學(xué)問題,它描述的是:在哥尼斯堡的一個(gè)公園里,有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€(gè)島及島與河岸連接起來(如圖1所示).問是否可能從這四塊陸地中的任一塊出發(fā),恰好通過每座橋一次,再回到起點(diǎn)?瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1736年研究并解決了此問題,他把該問題歸結(jié)為如圖2所示的“一筆畫”問題,并證明了上述走法是不可能的.假設(shè)在圖2所示七條線中隨機(jī)選取兩條不同的線,則這兩條線都與A直接相連的概率為(　　)A. B. C. D.4.某商場(chǎng)為了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表:月平均氣溫x/℃171382月銷售量y/件24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程x+中的=-2,氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6 ℃,據(jù)此估計(jì)該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣銷售量約為(　　)A.46件 B.40件 C.38件 D.58件5.(2021新高考Ⅱ)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是(　　)A.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等6.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B,則函數(shù)f(x)=x2+4x+X存在零點(diǎn)的概率是(　　)A. B. C. D.二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.(2021四川成都七中高三期中)已知某品牌電子元件的使用壽命X(單位:天)服從正態(tài)分布N(98,64).(1)一個(gè)該品牌電子元件的使用壽命超過100天的概率為　　　　　; (2)由三個(gè)該品牌的電子元件組成的一條電路(如圖所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B中至少有一個(gè)能正常工作,且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立)的概率為　　　　　. (參考公式:若X~N(μ,σ2),則P(μ-0.25σ<X≤μ+0.25σ)=0.2)8.在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)x,y,則事件“xy≥”發(fā)生的概率為　　　　　. 三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)(2021廣西柳州一模)根據(jù)國家工信部關(guān)于全面推行中國特色企業(yè)新型學(xué)徒制,加強(qiáng)技能人才培養(yǎng)的通知,我區(qū)明確面向各類企業(yè)全面推行企業(yè)新型學(xué)徒制培訓(xùn),深化產(chǎn)教融合,校企合作,學(xué)徒培養(yǎng)目標(biāo)以符合企業(yè)崗位需要的中、高級(jí)技術(shù)工人.2020年度某企業(yè)共需要學(xué)徒制培訓(xùn)200人,培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行考核,現(xiàn)對(duì)考核取得相應(yīng)崗位證書進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)情況如下表:崗位證書初級(jí)工中級(jí)工高級(jí)工技師高級(jí)技師人數(shù)2060604020(1)現(xiàn)從這200人中采用分層抽樣的方式選出10人組成學(xué)習(xí)技能經(jīng)驗(yàn)交流團(tuán),求交流團(tuán)中取得技師類(包括技師和高級(jí)技師)崗位證書的人數(shù);(2)再從(1)選出的10人交流團(tuán)中任意抽出3人作為代表發(fā)言,記這3人中技師類的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 10.(15分)隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展,越來越多人選擇投資“黃金”作為理財(cái)?shù)氖侄?下面將A市把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求圖中a的值;(2)求把黃金作為理財(cái)產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)以及平均數(shù);(結(jié)果用小數(shù)表示,小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字)(3)以頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從所有投資者中隨機(jī)抽取4人,記年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X). 11.(15分)為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針,某市為了解全市中小學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”情況,決定通過隨機(jī)抽樣選擇幾個(gè)樣本校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測(cè)試,并規(guī)定測(cè)試成績低于60分為不合格,否則為合格.若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%,則該樣本校體能達(dá)標(biāo)為合格.已知某樣本校共有1 000名學(xué)生,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測(cè)試,首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組,其中甲、乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3∶2,測(cè)試后,兩組各自的成績統(tǒng)計(jì)如下:甲組的平均成績?yōu)?0,方差為16,乙組的平均成績?yōu)?0,方差為36.(1)估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績;(2)求該樣本校40名學(xué)生測(cè)試成績的標(biāo)準(zhǔn)差s;(3)假設(shè)該樣本校體能達(dá)標(biāo)測(cè)試成績服從正態(tài)分布N(μ,σ2),用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值估計(jì)該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測(cè)試是否合格.(注:①本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù);②若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布,則P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997 3) 答案：1.C　解析若方程x2-2x+a=0有實(shí)根,則判別式Δ=4-4a≥0,得a≤1.∵-2≤a≤2,∴-2≤a≤1,對(duì)應(yīng)概率P=.2.B　解析∵E(ξ)=np=6,D(ξ)=np(1-p)=3,∴p=,n=12,∴P(ξ=1)=.3.D　解析由題可知,若從7條線路中選2條,則有=21種方法,若選出的兩條線都與A直接相連,則有=10種方法,則這兩條線都與A直接相連的概率為P=.4.A　解析由題中數(shù)據(jù),得=10,=38,回歸直線x+過點(diǎn)(),且=-2,代入得=58,則回歸方程為=-2x+58,所以當(dāng)x=6時(shí),=46,故選A.5.D　解析對(duì)于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,故A正確;對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確;對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在(9.9,10)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯(cuò)誤.6.C　解析∵函數(shù)f(x)=x2+4x+X存在零點(diǎn),∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B,∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.7.(1)0.4　(2)　解析(1)由題設(shè)知μ=98,σ=8,P(X>100)==0.4.(2)由題意,使電路能正常工作的概率P=.8.　解析設(shè)P(x,y).∵0≤x≤1,0≤y≤1,∴點(diǎn)P落在正方形OABC內(nèi)部(含邊界),如圖.作曲線y=,交正方形OABC于D,E兩點(diǎn),則滿足條件xy≥的點(diǎn)P落在區(qū)域BDE內(nèi)(含邊界),如圖陰影部分所示.由于S陰影=×1-dx=ln2.因此“xy≥”發(fā)生的概率為ln2.9.解(1)從200人中采用分層抽樣的方式選出10人,故抽樣比是,故技師和高級(jí)技師應(yīng)該抽取的人數(shù)是(40+20)×=3.(2)根據(jù)(1)中所求,10人中有3人是技師,7人是非技師.則從10人中抽取3人,技師人數(shù)X可以取:0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列如下所示X0123P則E(X)=0×+1×+2×+3×.故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是.10.解(1)依題意,0.07+0.18+10a+0.25+0.2=1,解得a=0.03.(2)平均數(shù)為25×0.07+35×0.18+45×0.3+55×0.25+65×0.2=48.30.中位數(shù)為40+≈48.33.(3)依題意,年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的概率為0.007×10+0.018×10=0.25=,以頻率估計(jì)概率,則年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的概率為P=,現(xiàn)從所有投資者中隨機(jī)抽取4人,年齡在區(qū)間[20,40)內(nèi)的人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,4,X~B,故P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列為X01234P故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4×=1.11.解(1)由題知,甲、乙兩組學(xué)生數(shù)分別為24和16,則這40名學(xué)生測(cè)試成績的平均分=74.故可估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績?yōu)?4.(2)由s2=(xi-)2變形得s2=-n),設(shè)甲組學(xué)生的測(cè)試成績分別為x1,x2,x3,…,x24,乙組學(xué)生的測(cè)試成績分別為x25,x26,x27,…,x40,則甲組的方差為[(+…+)-24×702]=42,解得+…+=24×(16+702).乙組的方差為[(+…+)-16×802]=62,解得+…+=16×(36+802).這40名學(xué)生的方差為s2=[(+…++…+)-40]=[24×(16+702)+16×(36+802)-40×742]=48,所以s==4≈7.綜上,標(biāo)準(zhǔn)差s=7.(3)由=74,s≈7,得μ的估計(jì)值為=74,σ的估計(jì)值=7,故P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(74-2×7<X<74+2×7)=0.954 5,即P(60<X<88)=0.954 5,所以P(X<60)=P(X≥88)=[1-P(60<X<88)]=(1-0.954 5)=0.022 75.從而,在全校1 000名學(xué)生中,體能達(dá)標(biāo)測(cè)試“不合格”的有1 000×0.022 75=22.75≈23(人).而<5%,故可估計(jì)該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測(cè)試合格.

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