03填空題知識點(diǎn)分類-天津市五年（2018-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編一．合并同類項(xiàng)（共2小題）1．（2021?天津）計算4a+2a﹣a的結(jié)果等于 　   　．2．（2020?天津）計算x+7x﹣5x的結(jié)果等于 　   　．二．同底數(shù)冪的乘法（共2小題）3．（2022?天津）計算m?m7的結(jié)果等于 　   　．4．（2019?天津）計算x5?x的結(jié)果等于　   　．三．單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式（共1小題）5．（2018?天津）計算2x4?x3的結(jié)果等于　   　．四．二次根式的混合運(yùn)算（共5小題）6．（2022?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于 　   　．7．（2021?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于 　   　．8．（2020?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于　   　．9．（2019?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于　   　．10．（2018?天津）計算（+）（﹣）的結(jié)果等于　   　．五．一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）11．（2022?天津）若一次函數(shù)y＝x+b（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的值可以是 　   　（寫出一個即可）．六．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）12．（2019?天津）直線y＝2x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為　   　．七．一次函數(shù)圖象與幾何變換（共3小題）13．（2021?天津）將直線y＝﹣6x向下平移2個單位長度，平移后直線的解析式為 　   　．14．（2020?天津）將直線y＝﹣2x向上平移1個單位長度，平移后直線的解析式為 　   　．15．（2018?天津）將直線y＝x向上平移2個單位長度，平移后直線的解析式為　   　．八．含30度角的直角三角形（共1小題）16．（2018?天津）如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長為　   　．九．平行四邊形的性質(zhì)（共1小題）17．（2020?天津）如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，則CG的長為 　   　．一十．菱形的性質(zhì)（共1小題）18．（2022?天津）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝60°，E為AB的中點(diǎn)，F為CE的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，則GF的長等于 　   　．一十一．正方形的性質(zhì)（共1小題）19．（2021?天津）如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F分別在BC，CD的延長線上，且CE＝2，DF＝1，G為EF的中點(diǎn)，連接OE，交CD于點(diǎn)H，連接GH，則GH的長為 　   　．一十二．圓周角定理（共1小題）20．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上．（Ⅰ）線段AC的長等于 　   　；（Ⅱ）以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點(diǎn)P，滿足AP＝AC．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明） 　   　．一十三．作圖—復(fù)雜作圖（共3小題）21．（2022?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A，B，C及∠DPF的一邊上的點(diǎn)E，F均在格點(diǎn)上．（Ⅰ）線段EF的長等于 　   　；（Ⅱ）若點(diǎn)M，N分別在射線PD，PF上，滿足∠MBN＝90°且BM＝BN．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M，N，并簡要說明點(diǎn)M，N的位置是如何找到的（不要求證明） 　   　．22．（2020?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，且AB＝．（Ⅰ）線段AC的長等于　   　．（Ⅱ）以BC為直徑的半圓與邊AC相交于點(diǎn)D，若P，Q分別為邊AC，BC上的動點(diǎn)，當(dāng)BP+PQ取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，Q，并簡要說明點(diǎn)P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）　   　．23．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，經(jīng)過點(diǎn)A，B的圓的圓心在邊AC上．（Ⅰ）線段AB的長等于　   　；（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個點(diǎn)P，使其滿足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）　   　．一十四．翻折變換（折疊問題）（共1小題）24．（2019?天津）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE、折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上，若DE＝5，則GE的長為　   　．一十五．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）25．（2018?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，（Ⅰ）∠ACB的大小為　   　（度）；（Ⅱ）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)CP′最短時，請用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)P′，并簡要說明點(diǎn)P′的位置是如何找到的（不要求證明）　   　．一十六．概率公式（共5小題）26．（2022?天津）不透明袋子中裝有9個球，其中有7個綠球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是綠球的概率是 　   　．27．（2021?天津）不透明袋子中裝有7個球，其中有3個紅球、4個綠球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是紅球的概率是 　   　．28．（2020?天津）不透明袋子中裝有8個球，其中有3個紅球、5個黑球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是紅球的概率是　   　．29．（2019?天津）不透明袋子中裝有7個球，其中有2個紅球、3個綠球和2個藍(lán)球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是綠球的概率是 　   　．30．（2018?天津）不透明袋子中裝有11個球，其中有6個紅球，3個黃球，2個綠球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是紅球的概率是　   　．
參考答案與試題解析一．合并同類項(xiàng)（共2小題）1．（2021?天津）計算4a+2a﹣a的結(jié)果等于 　5a　．【解答】解：4a+2a﹣a＝（4+2﹣1）a＝5a．故答案為：5a．2．（2020?天津）計算x+7x﹣5x的結(jié)果等于 　3x　．【解答】解：x+7x﹣5x＝（1+7﹣5）x＝3x．故答案為：3x．二．同底數(shù)冪的乘法（共2小題）3．（2022?天津）計算m?m7的結(jié)果等于 　m8　．【解答】解：m?m7＝m8．故答案為：m8．4．（2019?天津）計算x5?x的結(jié)果等于　x6　．【解答】解：x5?x＝x6．故答案為：x6三．單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式（共1小題）5．（2018?天津）計算2x4?x3的結(jié)果等于　2x7　．【解答】解：2x4?x3＝2x7．故答案為：2x7．四．二次根式的混合運(yùn)算（共5小題）6．（2022?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于 　18　．【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案為：18．7．（2021?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于 　9　．【解答】解：原式＝（）2﹣1＝10﹣1＝9．故答案為9．8．（2020?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于　6　．【解答】解：原式＝（）2﹣12＝7﹣1＝6．故答案是：6．9．（2019?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于　2　．【解答】解：原式＝3﹣1＝2．故答案為2．10．（2018?天津）計算（+）（﹣）的結(jié)果等于　3　．【解答】解：（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝6﹣3＝3，故答案為：3．五．一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）11．（2022?天津）若一次函數(shù)y＝x+b（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的值可以是 　1　（寫出一個即可）．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝x+b（b是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，∴b＞0，可取b＝1，故答案為：1．六．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）12．（2019?天津）直線y＝2x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為　（，0）　．【解答】解：根據(jù)題意，知，當(dāng)直線y＝2x﹣1與x軸相交時，y＝0，∴2x﹣1＝0，解得，x＝；∴直線y＝2x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）；故答案是：（，0）．七．一次函數(shù)圖象與幾何變換（共3小題）13．（2021?天津）將直線y＝﹣6x向下平移2個單位長度，平移后直線的解析式為 　y＝﹣6x﹣2　．【解答】解：將直線y＝﹣6x向下平移2個單位長度，平移后直線的解析式為y＝﹣6x﹣2，故答案為：y＝﹣6x﹣2．14．（2020?天津）將直線y＝﹣2x向上平移1個單位長度，平移后直線的解析式為 　y＝﹣2x+1　．【解答】解：將直線y＝﹣2x向上平移1個單位，得到的直線的解析式為y＝﹣2x+1．故答案為y＝﹣2x+1．15．（2018?天津）將直線y＝x向上平移2個單位長度，平移后直線的解析式為　y＝x+2　．【解答】解：將直線y＝x向上平移2個單位長度，平移后直線的解析式為y＝x+2．故答案為：y＝x+2．八．含30度角的直角三角形（共1小題）16．（2018?天津）如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長為　　．【解答】解：連接DE，∵在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于點(diǎn)F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，∵G為EF的中點(diǎn)，∴EG＝，∴DG＝＝．故答案為：．九．平行四邊形的性質(zhì)（共1小題）17．（2020?天津）如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，則CG的長為 　　．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC+CF＝5，∵△BEF是等邊三角形，G為DE的中點(diǎn)，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，延長CG交BE于點(diǎn)H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，∴△CBH是等邊三角形，∴CH＝BC＝3，∴CG＝CH＝，故答案為：．一十．菱形的性質(zhì)（共1小題）18．（2022?天津）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB＝60°，E為AB的中點(diǎn)，F為CE的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，則GF的長等于 　　．【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FH∥CD，交DE于H，過點(diǎn)C作CM⊥AB，交AB的延長線于M，連接FB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中點(diǎn)，FH∥CD，∴H是DE的中點(diǎn)，∴FH是△CDE的中位線，∴FH＝CD＝1，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠DAB＝60°，Rt△CBM中，∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝1，CM＝＝，∴BE＝BM，∵F是CE的中點(diǎn)，∴FB是△CEM的中位線，∴BF＝CM＝，FB∥CM，∴∠EBF＝∠M＝90°，Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝＝＝，∴GF＝AF＝．故答案為：．一十一．正方形的性質(zhì)（共1小題）19．（2021?天津）如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F分別在BC，CD的延長線上，且CE＝2，DF＝1，G為EF的中點(diǎn)，連接OE，交CD于點(diǎn)H，連接GH，則GH的長為 　　．【解答】解：以O為原點(diǎn)，垂直AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：∵正方形ABCD的邊長為4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G為EF的中點(diǎn)，∴G（3，），設(shè)直線OE解析式為y＝kx，將E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直線OE解析式為y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下圖，連接OF，過點(diǎn)O作OM⊥CD交CD于M，∵O為正方形對角線AC和BD的交點(diǎn)，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易證△OHM≌△EHC，∴點(diǎn)H、點(diǎn)G分別為OE、FE的中點(diǎn)，∴GH為△OEF的中位線，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案為：．一十二．圓周角定理（共1小題）20．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上．（Ⅰ）線段AC的長等于 　　；（Ⅱ）以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點(diǎn)P，滿足AP＝AC．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明） 　取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D，連接OD延長OD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)G，連接BE，延長AC交BE的延長線于F，連接FG延長FG交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求　．【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．故答案為：．（Ⅱ）如圖，點(diǎn)P即為所求．故答案為：如圖，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D，則點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，連接OD并延長OD交⊙O于點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)G，連接BE，延長AC交BE的延長線于F，則OE為△BFA的中位線，則AB＝AF，連接FG延長FG交AB于點(diǎn)P，則BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，則點(diǎn)P即為所求．一十三．作圖—復(fù)雜作圖（共3小題）21．（2022?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A，B，C及∠DPF的一邊上的點(diǎn)E，F均在格點(diǎn)上．（Ⅰ）線段EF的長等于 　　；（Ⅱ）若點(diǎn)M，N分別在射線PD，PF上，滿足∠MBN＝90°且BM＝BN．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M，N，并簡要說明點(diǎn)M，N的位置是如何找到的（不要求證明） 　連接AC，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)O，取格點(diǎn)Q，連接EQ交PD于點(diǎn)M，連接BM交⊙O于點(diǎn)G，連接GO，延長GO交⊙O于點(diǎn)H，連接BH，延長BH交PF于點(diǎn)N，則點(diǎn)M，N即為所求　．【解答】解：（Ⅰ）EF＝＝．故答案為：； （Ⅱ）如圖，點(diǎn)M，N即為所求．步驟：連接AC，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)O，取格點(diǎn)Q，連接EQ交PD于點(diǎn)M，連接BM交⊙O于點(diǎn)G，連接GO，延長GO交⊙O于點(diǎn)H，連接BH，延長BH交PF于點(diǎn)N，則點(diǎn)M，N即為所求．故答案為：連接AC，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)O，取格點(diǎn)Q，連接EQ交PD于點(diǎn)M，連接BM交⊙O于點(diǎn)G，連接GO，延長GO交⊙O于點(diǎn)H，連接BH，延長BH交PF于點(diǎn)N，則點(diǎn)M，N即為所求22．（2020?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，且AB＝．（Ⅰ）線段AC的長等于　　．（Ⅱ）以BC為直徑的半圓與邊AC相交于點(diǎn)D，若P，Q分別為邊AC，BC上的動點(diǎn)，當(dāng)BP+PQ取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，Q，并簡要說明點(diǎn)P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）　取格點(diǎn)M，N，連接MN，連接BD并延長，與MN相交于點(diǎn)B′，連接B′C，與半圓相交于點(diǎn)E，連接BE，與AC相交于點(diǎn)P，連接B′P并延長，與BC相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P，Q即為所求　．【解答】解：（Ⅰ）線段AC的長等于＝；（Ⅱ）如圖，∵點(diǎn)A，C是2×3網(wǎng)格的格點(diǎn)，∴取2×3網(wǎng)格的格點(diǎn)M，N，M′，N′，連接MN，M′N′，即將AC平移至MN和M′N′，′∴MN∥AC∥M′N′，連接BD并延長，與MN相交于點(diǎn)B′，連接B′C，與半圓相交于點(diǎn)E，連接BE，與AC相交于點(diǎn)P，連接B′P并延長，與BC相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P，Q即為所求．∵BC是直徑，∴∠BDC＝90°，∵MN∥AC∥M′N，∴BD⊥MN，BD⊥M′N′，∴BD＝B′D，∴點(diǎn)B、點(diǎn)B′關(guān)于AC對稱，∴BP＝B′P，∴BP+PQ＝B′P+PQ＝B′Q最短．23．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，經(jīng)過點(diǎn)A，B的圓的圓心在邊AC上．（Ⅰ）線段AB的長等于　　；（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個點(diǎn)P，使其滿足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）　取圓與網(wǎng)格的交點(diǎn)E，F，連接EF與AC交于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)是圓心O，AB與網(wǎng)格線相交于D，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)Q，連接QC并延長，與B，O的連線相交于點(diǎn)P，連接AP，則點(diǎn)P滿足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB　．【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，故答案為：；（Ⅱ）如圖，取圓與網(wǎng)格的交點(diǎn)E，F，連接EF與AC交于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)是圓心O，AB與網(wǎng)格線相交于D，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)Q，連接QC并延長，與B，O的連線相交于點(diǎn)P，連接AP，則點(diǎn)P滿足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，故答案為：取圓與網(wǎng)格的交點(diǎn)E，F，連接EF與AC交于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)是圓心O，AB與網(wǎng)格線相交于D，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)Q，連接QC并延長，與B，O的連線相交于點(diǎn)P，連接AP，則點(diǎn)P滿足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．一十四．翻折變換（折疊問題）（共1小題）24．（2019?天津）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE、折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上，若DE＝5，則GE的長為　　．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S△ABF＝AB?AF＝BF?AH，∴12×5＝13AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，故答案為：．一十五．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（共1小題）25．（2018?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，（Ⅰ）∠ACB的大小為　90　（度）；（Ⅱ）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn)，以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)CP′最短時，請用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)P′，并簡要說明點(diǎn)P′的位置是如何找到的（不要求證明）　如圖，取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求　．【解答】解：（1）由網(wǎng)格圖可知，AC＝，BC＝，AB＝，∵AC2+BC2＝AB2，∴由勾股定理逆定理，△ABC為直角三角形．∴∠ACB＝90°，故答案為：90°．（Ⅱ）作圖過程如下：取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求．證明：連CF．∵AC，CF為正方形網(wǎng)格對角線，∴A、C、F共線，∴AF＝5＝AB，由圖形可知：GC＝，CF＝2，∵AC＝，BC＝，∴△ACB∽△GCF，∴∠GFC＝∠B，∵AF＝5＝AB，∴當(dāng)BC邊繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)∠CAB時，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C在射線FG上．由作圖可知T為AB中點(diǎn)，∴∠TCA＝∠TAC，∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°，∴CP′⊥GF，此時，CP′最短，故答案為：如圖，取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長線于點(diǎn)G：取格點(diǎn)F，連接FG交TC延長線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求．一十六．概率公式（共5小題）26．（2022?天津）不透明袋子中裝有9個球，其中有7個綠球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是綠球的概率是 　　．【解答】解：∵不透明袋子中裝有9個球，其中有7個綠球、2個白球，∴從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是綠球的概率是 ，故答案為：．27．（2021?天津）不透明袋子中裝有7個球，其中有3個紅球、4個綠球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是紅球的概率是 　　．【解答】解：∵袋子中共有7個球，其中紅球有3個，∴從袋子中隨機(jī)取出1個球，它是紅球的概率是，故答案為：．28．（2020?天津）不透明袋子中裝有8個球，其中有3個紅球、5個黑球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是紅球的概率是　　．【解答】解：∵袋子中裝有8個小球，其中紅球有3個，∴從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是紅球的概率是．故答案為：．29．（2019?天津）不透明袋子中裝有7個球，其中有2個紅球、3個綠球和2個藍(lán)球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是綠球的概率是 　　．【解答】解：從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是綠球的概率＝．故答案為．30．（2018?天津）不透明袋子中裝有11個球，其中有6個紅球，3個黃球，2個綠球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出1個球，則它是紅球的概率是　　．【解答】解：∵袋子中共有11個小球，其中紅球有6個，∴摸出一個球是紅球的概率是，故答案為：．

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