1. 復(fù)數(shù)z=5i2i?1?2i（i為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）
A.2B.3C.?3iD.?3

2. 已知兩個(gè)單位向量a→和b→的夾角為60°，則向量a→?b→在向量a→上的投影向量為( )

A.12a→B.a→C.?12a→D.?a→

3. 一道競賽題，A，B，C三人可解出的概率分別為12，13，14，若三人獨(dú)立解答，則僅有1人解出的概率為( )
A.124B.1124C.1724D.1

4. 已知一組數(shù)據(jù)為7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是( )
A.8B.9C.10D.11

5. 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csA=bc，則該三角形為( )
A.等腰三角形B.等腰直角三角形
C.等邊三角形D.直角三角形

6. 2019年10月1日在慶祝中華人民共和國成立70周年大閱兵的徒步方隊(duì)中，被譽(yù)為“最強(qiáng)大腦”的院?？蒲蟹疥?duì)隊(duì)員分別由軍事科學(xué)院、國防大學(xué)、國防科技大學(xué)三所院校聯(lián)合抽組，已知軍事科學(xué)學(xué)院的甲、乙、丙三名同學(xué)被選上的概率分別為13，14，16，這三名同學(xué)中至少有一名同學(xué)被選上的概率為( )
A.13B.512C.712D.23

7. 為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對(duì)三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查．他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為（ ）

A.s1>s2>s3B.s1>s3>s2C.s3>s2>s1D.s3>s1>s2

8. 如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=AA1=1，BC=2，則異面直線A1C與B1C1所成的角為( )

A.30°B.45°C.60°D.90°
二、多選題

Keep是一款具有社交屬性的健身APP，致力于提供健身教學(xué)、跑步、騎行、交友及健身飲食指導(dǎo)、裝備購買等一站式運(yùn)動(dòng)解決方案．Keep可以讓你隨時(shí)隨地進(jìn)行鍛煉，記錄你每天的訓(xùn)練進(jìn)程.不僅如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計(jì)劃.小明根據(jù)Keep記錄的2019年1月至2019年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)數(shù)據(jù)整理并繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是( )

A.月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)
D.1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小

已知向量a→=(2,1)，b→=(1,?1)，c→=(m?2,?n)，其中m，n均為正數(shù)，且a→?b→//c→，下列說法正確的是( )
A.a→與b→的夾角為鈍角
B.向量a→在b→方向上的投影為55
C.2m+n=4
D.mn的最大值為2

如圖所示，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，、下列結(jié)論正確的是( )

A.AF⊥PBB.EF⊥PBC.AF⊥BCD.AE⊥平面PBC

如圖所示的電路中，5只盒子表示保險(xiǎn)匣，設(shè)5個(gè)盒子分別被斷開為事件A、B，C，D，E．盒中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是( )

A.A，B兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為13
B.D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為130
C.A，B，C三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為56
D.當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為2936
三、填空題

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1:V2=________．


△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b=6，a=2c，B=π3，則△ABC的面積為________.

某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2019年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3, 0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．

(1)直方圖中的a=________；

(2)在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5, 0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________．

已知三棱錐A?BCD中，側(cè)面ABC⊥底面BCD，△ABC是邊長為3的正三角形，△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，則此三棱錐外接球的體積為________.
四、解答題

已知復(fù)數(shù)z=m2?m+m?1i．
(1)若z=0，求m；

(2)當(dāng)m=2時(shí)，求復(fù)數(shù)z的模及其共軛復(fù)數(shù)；

(3)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求m的值；

(4)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求m的取值范圍．


某公司為了了解一年內(nèi)的用水情況，抽取了10天的用水量如下表所示：

(1)在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是多少？

(2)在這10天中，該公司每天用水量的中位數(shù)（中數(shù)）是多少？

(3)你認(rèn)為應(yīng)該用平均數(shù)和中位數(shù)中的哪一個(gè)數(shù)來描述該公司每天的用水量更合適？

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知csB=33，sin(A+B)=69，ac=23，求sinA和c的值．

如圖，三棱臺(tái)DEF?ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)．

(1)求證：BD // 平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH．

某度假酒店為了解會(huì)員對(duì)酒店的滿意度，從中抽取50名會(huì)員進(jìn)行調(diào)查，把會(huì)員對(duì)酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分為五個(gè)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：1分(很不滿意）；2分(不滿意）；3分(一般）；4分(滿意）；5分(很滿意）.其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(住宿滿意度為x，餐飲滿意度為y）.

(1)求“住宿滿意度”分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；

(2)求“住宿滿意度”為3分時(shí)的5個(gè)“餐飲滿意度”人數(shù)的方差；

(3)為提高對(duì)酒店的滿意度，現(xiàn)從2≤x≤3且1≤y≤2的會(huì)員中隨機(jī)抽取2人征求意見，求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率.

如圖所示，平行四邊形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE．

(1)求證：DE⊥平面ABCD；

(2)求二面角C?AE?D的余弦值．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年河北省衡水市高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算
【解析】
無
【解答】
解：z=5i2i?1?2i=5i(2i+1)(2i?1)(2i+1)?2i
=5?2+i?5?2i=2?i?2i=2?3i，
∴ 虛部是?3．
故選D．
2.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
平面向量數(shù)量積
【解析】
利用已知求出a→?b→?a→，再根據(jù)投影向量的公式求解即可．
【解答】
解：由已知可得b→?a→=|b→||a→|cs60°=1×1×12=12，
(a→?b→)?a→=a→2?a→?b→=1?12=12，
則向量a→?b→在向量a→上的投影向量為：
a→?b→?a→|a→|?a→=12a→．
故選A．
3.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
根據(jù)題意，只有一人解出的試題的事件包含A解出而其余兩人沒有解出，B解出而其余兩人沒有解出，C解出而其余兩人沒有解出，三個(gè)互斥的事件，而三人解出答案是相互獨(dú)立的，進(jìn)而計(jì)算可得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意，只有一人解出的試題的事件包含：
A解出而其余兩人沒有解出，B解出而其余兩人沒有解出，
C解出而其余兩人沒有解出，三個(gè)互斥的事件，而三人解出答案是相互獨(dú)立的，
則P（只有一人解出試題）=12×(1?13)×(1?14)+(1?12)×13×(1?14)+(1?12)×(1?13)×14=1124.
故選B.
4.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
【解析】
把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，可計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第5項(xiàng)與第6項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，完成即可．
【解答】
解：把數(shù)據(jù)從小到大排列是：
7，7，8，8，8，8，9，9，10，10，10，
10，11，11，12，12，13，13，14，20，
∵ 20×25%=5，
∴ 第25百分位數(shù)為：8+82=8.
故選A．
5.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
三角形的形狀判斷
余弦定理
【解析】
直接利用余弦定理，得出答案即可.
【解答】
解：由余弦定理得，csA=b2+c2?a22bc=bc，
整理得c2=a2+b2，
故該三角形為直角三角形.
故選D.
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
【解析】
利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式直接求解．
【解答】
解：由題意得，這三名同學(xué)中至少有一名同學(xué)被選上的概率為：
1?(1?13)(1?14)(1?16)=712．
故選C．
7.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
【解析】
根據(jù)題意，分析3個(gè)頻率分布直方圖，結(jié)合數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計(jì)意義，分析可得答案．
【解答】
解：觀察可知；第一組數(shù)據(jù)的兩端數(shù)字較多，絕大部分?jǐn)?shù)字都處在兩端．
數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)遠(yuǎn)，最分散，其標(biāo)準(zhǔn)差最大；
第二組數(shù)據(jù)絕大部分?jǐn)?shù)字都在平均數(shù)左右，數(shù)據(jù)最集中，故其標(biāo)準(zhǔn)差最??；
第三組數(shù)據(jù)是單峰的，每一個(gè)小長方形的高差別比較小，數(shù)字分布均勻，
數(shù)據(jù)不如第一組偏離平均數(shù)遠(yuǎn)，標(biāo)準(zhǔn)差比第一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差小．
綜上可知s1>s3>s2.
故選B.
8.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
【解析】
求出三角形的三個(gè)邊長，然后求解異面直線所成角即可．
【解答】
解：直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC//B1C1，
則直線A1C與BC所成的角就是異面直線A1C與B1C1所成的角．
連結(jié)A1B，
直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC．
若AB=AC=AA1=1，BC=2，
則BA1=AA12+AB2=2，
CA1=AA12+AC2=2，
所以三角形BCA1是等邊三角形，
則∠A1CB=π3，即異面直線A1C與B1C1所成的角為60°．
故選C.
二、多選題
【答案】
A,C,D
【考點(diǎn)】
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
頻率分布折線圖、密度曲線
【解析】
根據(jù)折線圖，依次分析月跑步里程的最小值，中位數(shù)，變化趨勢，波動(dòng)性即得解
【解答】
解：A，由折線圖可知，月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月，故A正確；
B，由折線圖可知，月跑步平均里程不是逐月增加的，故B錯(cuò)誤；
C，月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：
2月，8月，3月，4月，1月，5月，
7月，6月，11月，9月，10月，
故5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；
D，1月到5月的月跑步平均里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確．
故選ACD．
【答案】
C,D
【考點(diǎn)】
向量的投影
基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：A，a→?b→=2×1+1×?1=1>0，
故a→，b→的夾角為銳角，A錯(cuò)誤；
B，向量a→在b→方向上的投影為：
a→?b→|b→|=112+?12=22，B錯(cuò)誤；
C，a→?b→=(1,2)，
由a→?b→//c→，得1×(?n)?2×(m?2)=0，
即2m+n=4，C正確；
D，由基本不等式得4=2m+n≥22mn，即mn≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)2m=n=2時(shí)取等號(hào)，
因此mn的最大值為2，D正確．
故選CD．
【答案】
A,B,C
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
直線與平面垂直的判定
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
【解析】
對(duì)于①②③可根據(jù)直線與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明，對(duì)于④利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，則AF // AE，顯然不成立，從而得到結(jié)論．
【解答】
解：∵ PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面
∴ PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA＝A
∴ BC⊥面PAC，
又∵ AF?面PAC，
∴ AF⊥BC，
而AF⊥PC，PC∩BC＝C
∴ AF⊥面PCB，而BC?面PCB，
∴ AF⊥BC，故C正確；
而PB?面PCB，
∴ AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF＝A
∴ PB⊥面AEF，
而EF?面AEF，AF?面AEF
∴ EF⊥PB，AF⊥PB，故AB正確，
∵ AF⊥面PCB，假設(shè)AE⊥面PBC
∴ AF // AE，顯然不成立，故D不正確．
故選ABC.
【答案】
A,C,D
【考點(diǎn)】
相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
互斥事件與對(duì)立事件
【解析】
根據(jù)互斥與對(duì)立事件的概率計(jì)算、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式逐個(gè)計(jì)算判定．
【解答】
解：由題意知，PA=12，PB=13，PC=14，PD=15，PE=16，
所以D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為1?15×16=1?130=2930，故B錯(cuò)誤；
A，B兩個(gè)盒子暢通的概率為12×23=13，故A正確；
A，B，C三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為1?23×14=1?16=56，故C正確；
根據(jù)上述分析可知，當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率為2930×56=2936，故D正確.
故選ACD．
三、填空題
【答案】
7:5
【考點(diǎn)】
柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算
【解析】
設(shè)AEF面積為s1，ABC和A1B1C1的面積為s，三棱柱高位?；VAEF?A1B1C1=V1；VBCFE?B1C1=V2；總體積為：V，根據(jù)棱臺(tái)體積公式求V1；V2=V?V1以及面積關(guān)系，求出體積之比．
【解答】
解：設(shè)三棱柱的高為?，底面的面積為S，體積為V，
則V=V1+V2=S?．
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
所以S△ABF=14S，
所以V1=13?S+14S+S?S4=712S?，
V2=S??V1=512S?，故V1:V2=7:5.
故答案為：7:5．
【答案】
63
【考點(diǎn)】
三角形的面積公式
解三角形
余弦定理
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：csB=a2+c2?b22ac=12,
即4c2+c2?364c2=12，
解得c=23，a=43，
∴ S△ABC=12acsinB=63.
故答案為：63.
【答案】
3
6000
【考點(diǎn)】
頻率分布直方圖
【解析】
(1)頻率分布直方圖中每一個(gè)矩形的面積表示頻率，先算出頻率，在根據(jù)頻率和為1，算出a的值；
（2）先求出消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5, 0.9]內(nèi)的購物者的頻率，再求頻數(shù)．
(2)先求出消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5, 0.9]內(nèi)的購物者的頻率，再求頻數(shù)．
【解答】
解：(1)(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1，
解得a=3.0．
故答案為：3.0．
(2)消費(fèi)金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的頻率為：
1?0.1×1.5?0.1×2.5=0.6，
則該區(qū)間內(nèi)購物者的人數(shù)為10000×0.6=6000.
故答案為：6000．
【答案】
32π3
【考點(diǎn)】
球內(nèi)接多面體
球的表面積和體積
棱錐的結(jié)構(gòu)特征
【解析】
作出幾何體，找到截面圓圓心及半徑，設(shè)出球心，構(gòu)造方程組，即可得出結(jié)果．
【解答】
解：如圖所示，
因?yàn)槿忮F的底面BCD中，
∠BCD=90°，CD=2，BC=3，
所以BD=32+22=13，
其外接圓的圓心為BD的中點(diǎn)，
設(shè)為O1，設(shè)三棱錐的外接球的球心為O，
則OO1平面BCD，
取BC的中點(diǎn)G，連接O1G，AG，
因?yàn)锽D，O1G?平面BCD，
所以O(shè)O1⊥BD，OO1⊥O1G，
因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，
所以AG⊥BC，
過O作OH⊥AG于H，
則四邊形OHGO1為矩形，
設(shè)OO1=?，球的半徑為R，
因?yàn)镺1G=OH=1 ，AG=332，
有R2=OA2=OH2+AH2=1+332??2,R2=OD2=OO12+O1D2=?2+1322,
解得?=32，R=2，
所以球的體積為43πR3=32π3．
故答案為：32π3．
四、解答題
【答案】
解：(1)由題意可得m2?m=0,m?1=0,
所以m=1.
(2)當(dāng)m=2時(shí)，
z=m2?m+m?1i=2+i，
則|z|=22+12=5，zˉ=2?i.
(3)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m2?m+m?1i為純虛數(shù)，
所以m2?m=0,m?1≠0,
解得m=0.
(4)因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，
需滿足m2?m

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