?2020-2021學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)　　
A． B． C．1 D．
2．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）把顏色分別為紅、黃、白、紫的四個(gè)小球隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得一個(gè)．事件“甲分得紅色球”與事件“乙分得紅色球”是　　
A．對(duì)立事件 B．相互獨(dú)立事件
C．互斥但非對(duì)立事件 D．以上都不對(duì)
3．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）某校高一甲、乙兩個(gè)班分別有男生24名、15名，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從兩班男生中抽取樣本量為13的樣本，對(duì)兩個(gè)班男生的平均身高進(jìn)行評(píng)估．已知甲班、乙班男生身高的樣本平均數(shù)分別為、，以所抽取樣本的平均身高作為兩個(gè)班男生的平均身高，則兩個(gè)班男生的平均身高為　　
A． B． C． D．
4．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形的頂點(diǎn)和是坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為和，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為　　
A． B． C． D．
5．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值是　　

A． B． C． D．
6．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為了對(duì)、兩名運(yùn)動(dòng)員的身體機(jī)能差異進(jìn)行研究，將、兩名運(yùn)動(dòng)員連續(xù)10天完成訓(xùn)練指標(biāo)任務(wù)的綜合得分繪成折線圖，并提出下列四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的結(jié)論是　　

A．第3天至第10天兩名運(yùn)動(dòng)員綜合得分均超過(guò)80分
B．第2天至第7天運(yùn)動(dòng)員的得分逐日提高
C．第2天至第3天運(yùn)動(dòng)員的得分增量大于運(yùn)動(dòng)員的得分增量
D．運(yùn)動(dòng)員第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差
7．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）關(guān)于空間兩條不同直線，和兩個(gè)不同平面，，下列命題正確的是　　
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，，則
8．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）如圖，在中，，，，，，則　　

A． B． C． D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）某圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則下列關(guān)于此圓錐的說(shuō)法正確的是　　
A．圓錐的體積為
B．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為
C．圓錐的側(cè)面積為
D．過(guò)圓錐兩條母線的截面面積最大值為
10．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）給定組數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，則　　
A．中位數(shù)為3 B．標(biāo)準(zhǔn)差為
C．眾數(shù)為2和3 D．第85百分位數(shù)為4.5
11．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為，，．則下列命題正確的是　　
A．若，，，則
B．若，則
C．若，則為鈍角三角形
D．若，，，的面積為3
12．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）下列命題中正確的是　　
A．設(shè)向量，，，則是與垂直的單位向量
B．若，且，則與共線
C．若四邊形滿足，，則該四邊形是菱形
D．若是所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則直線一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則　?。?br /> 14．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知向量，，若，則向量、的夾角為 　　．
15．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）為了普及安全教育，某校組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分．在競(jìng)賽中，甲、乙兩班代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率均為，乙隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率分別為，，，且兩隊(duì)各人回答問(wèn)題正確與否互不影響，則乙隊(duì)總得分為3分的概率是 　　，甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為3分的概率是 　?。?br /> 16．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為 　?。?br /> 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（10分）（2021春?天河區(qū)期末）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組有男生4名（記為，，，，女生2名（記為，，現(xiàn)從中隨機(jī)選出2名學(xué)生去參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）．
（1）求參賽學(xué)生中恰有1名男生的概率；
（2）求參賽學(xué)生中至少有1名女生的概率．
18．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）已知中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若．
（1）求角的大??；
（2）若，，求的值．
19．（12分）（2021?錫林郭勒盟二模）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，．點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．

20．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）某校為了對(duì)學(xué)生的閱讀素養(yǎng)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行閱讀素養(yǎng)評(píng)分．評(píng)分規(guī)則規(guī)定實(shí)行百分制計(jì)分，現(xiàn)將所得的成績(jī)按照，，，，，，，，，，，分成6組，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了如下所示的頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖．由于一些特殊原因，統(tǒng)計(jì)表和直方圖都已殘缺，請(qǐng)對(duì)照?qǐng)D中現(xiàn)有信息按要求還原數(shù)據(jù)．
分組
頻數(shù)
頻率
，
5

，
25

，

0.30
，


，


，


合計(jì)

1
（1）求出表中，及圖中，的值；
（2）估計(jì)該校學(xué)生閱讀素養(yǎng)的成績(jī)中位數(shù)以及平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）．

21．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）直四棱柱中，是等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：面；
（2）求直線與直線所成角的余弦值．

22．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）如圖，某湖有一半徑為1百米的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距2百米的點(diǎn)處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)以及湖中的點(diǎn)處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿足，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”； 的長(zhǎng)為“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”．設(shè)．
（1）若，求“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”的面積；
（2）試確定的值，使得“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”最大．


2020-2021學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，
，即，
，
．
故選：．
2．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）把顏色分別為紅、黃、白、紫的四個(gè)小球隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得一個(gè)．事件“甲分得紅色球”與事件“乙分得紅色球”是　　
A．對(duì)立事件 B．相互獨(dú)立事件
C．互斥但非對(duì)立事件 D．以上都不對(duì)
【解答】解：把顏色分別為紅、黃、白、紫的四個(gè)小球隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得一個(gè)．共有種情況，
事件 “甲分得紅色球”與事件 “乙分得紅色球”是其中的兩種，
，互斥事件，
全體基本事件，不對(duì)立，
所以兩個(gè)事件的關(guān)系是互斥但不對(duì)立事件，
故選：．
3．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）某校高一甲、乙兩個(gè)班分別有男生24名、15名，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從兩班男生中抽取樣本量為13的樣本，對(duì)兩個(gè)班男生的平均身高進(jìn)行評(píng)估．已知甲班、乙班男生身高的樣本平均數(shù)分別為、，以所抽取樣本的平均身高作為兩個(gè)班男生的平均身高，則兩個(gè)班男生的平均身高為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意知，，
故分別從高一甲、乙兩個(gè)班抽取男生8名、5名，
則兩個(gè)班男生的平均身高為，
故選：．
4．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形的頂點(diǎn)和是坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為和，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
故選：．
5．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值是　　

A． B． C． D．
【解答】解：連接，面，就是與平面所成的角．

故選：．

6．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為了對(duì)、兩名運(yùn)動(dòng)員的身體機(jī)能差異進(jìn)行研究，將、兩名運(yùn)動(dòng)員連續(xù)10天完成訓(xùn)練指標(biāo)任務(wù)的綜合得分繪成折線圖，并提出下列四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的結(jié)論是　　

A．第3天至第10天兩名運(yùn)動(dòng)員綜合得分均超過(guò)80分
B．第2天至第7天運(yùn)動(dòng)員的得分逐日提高
C．第2天至第3天運(yùn)動(dòng)員的得分增量大于運(yùn)動(dòng)員的得分增量
D．運(yùn)動(dòng)員第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差
【解答】解：由折線圖可知，第第3天至第10天兩名運(yùn)動(dòng)員綜合得分均超過(guò)80分，故選項(xiàng)正確；
由折線圖可知，第2天至第7天運(yùn)動(dòng)員的得分逐日提高，故選項(xiàng)正確；
第2天至第3天運(yùn)動(dòng)員的得分增量大于2，運(yùn)動(dòng)員的得分增量小于2，故選項(xiàng)正確；
由折線圖可知，在第1天至第3天的得分中，運(yùn)動(dòng)員的最小得分為78分，最高得分為80分，
在第2天至第4天的得分中，最小得分為78分，最高得分高于80分，
所以運(yùn)動(dòng)員第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
7．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）關(guān)于空間兩條不同直線，和兩個(gè)不同平面，，下列命題正確的是　　
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，，則
【解答】解：若，，則或，故錯(cuò)誤；
若，，，則或與相交，故錯(cuò)誤；
若，，則或或與相交，故錯(cuò)誤；
若，，則或，又，，故正確．
故選：．
8．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）如圖，在中，，，，，，則　　

A． B． C． D．
【解答】解：在中，，，，，，
，
，
．
故選：．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）某圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則下列關(guān)于此圓錐的說(shuō)法正確的是　　
A．圓錐的體積為
B．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為
C．圓錐的側(cè)面積為
D．過(guò)圓錐兩條母線的截面面積最大值為
【解答】解：某圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，如圖所示：

對(duì)于，圓錐的高為，圓錐的體積為，選項(xiàng)正確；
對(duì)于，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，圓錐的側(cè)面積為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，圓錐的軸截面是等腰三角形，頂角的余弦值為，所以頂角為鈍角，
所以過(guò)圓錐兩條母線的截面面積最大值為，選項(xiàng)正確．
故選：．
10．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）給定組數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，則　　
A．中位數(shù)為3 B．標(biāo)準(zhǔn)差為
C．眾數(shù)為2和3 D．第85百分位數(shù)為4.5
【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
故中位數(shù)為，眾數(shù)為2，3，
平均數(shù)是，
標(biāo)準(zhǔn)差是，
第85百分位數(shù)為第9個(gè)數(shù)字5，
故選：．
11．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為，，．則下列命題正確的是　　
A．若，，，則
B．若，則
C．若，則為鈍角三角形
D．若，，，的面積為3
【解答】解：中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，
對(duì)于：由于，，，利用正弦定理，解得，由于，所以或，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：當(dāng)時(shí)，所以，根據(jù)正弦定理，整理得，故正確；
對(duì)于：若，整理得，故，結(jié)合余弦定理．整理得，故為鈍角三角形，故正確；
對(duì)于：若，，且，利用余弦定理可得，解得，因?yàn)?，所以無(wú)解，故錯(cuò)誤；
故選：．
12．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）下列命題中正確的是　　
A．設(shè)向量，，，則是與垂直的單位向量
B．若，且，則與共線
C．若四邊形滿足，，則該四邊形是菱形
D．若是所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則直線一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心
【解答】解：對(duì)于，，，
又，不是單位向量，故不正確；
對(duì)于：若，且，則與共線，故正確；
對(duì)于：四邊形中，因?yàn)椋?br /> 所以，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
又，
所以，
所以平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，
所以平行四邊形是菱形，故正確；
對(duì)于：因?yàn)椋?br /> ，分別表示，上的單位向量，，
所以，
所以，
所以，
表示以，為鄰邊的菱形的對(duì)角線上的向量，
又菱形對(duì)角線平分對(duì)角，
因?yàn)榕c共線，
所以在的平分線上，
所以直線一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心，故正確．
故選：．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則　?。?br /> 【解答】解：，
，
．
故答案為：．
14．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知向量，，若，則向量、的夾角為 　?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量、的夾角，
若，則，
則，
又由，則，
故答案為：．
15．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）為了普及安全教育，某校組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分．在競(jìng)賽中，甲、乙兩班代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率均為，乙隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率分別為，，，且兩隊(duì)各人回答問(wèn)題正確與否互不影響，則乙隊(duì)總得分為3分的概率是 　　，甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為3分的概率是 　　．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)“乙隊(duì)總得分為3分”為事件，“甲隊(duì)總得分為2分”為事件，
若乙隊(duì)總得分為3分，即乙隊(duì)三人都回答正確，則（A）；
若甲隊(duì)總得分為2分，即甲隊(duì)三人中有2人回答正確，則（B），
則甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為3分，即事件的概率（A）（B）．
故答案為：；．
16．（5分）（2021春?天河區(qū)期末）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為 　?。?br /> 【解答】解：三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，，，，
如圖所示：

所以，
由于，
所以為等腰直角三角形；
取的中點(diǎn)，
過(guò)的中點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作的垂直平分線交于點(diǎn)，
所以點(diǎn)為三棱錐體的外接球的球心，
所以，
所以球的表面積為．
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（10分）（2021春?天河區(qū)期末）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組有男生4名（記為，，，，女生2名（記為，，現(xiàn)從中隨機(jī)選出2名學(xué)生去參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）．
（1）求參賽學(xué)生中恰有1名男生的概率；
（2）求參賽學(xué)生中至少有1名女生的概率．
【解答】解：（1）從6名學(xué)生中選取2名學(xué)生參賽可能的結(jié)果有：
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，共15種，
用表示事件“參賽學(xué)生中恰有1名男生的概率”，則事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，
，，，，，，共8個(gè)，
故參賽學(xué)生中恰有1名男生的概率為（A）．
（2）用表示事件“參賽學(xué)生中至少有1名女生的概率”，則事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，共9個(gè)，
故參賽學(xué)生中至少有1名女生的概率為（B）．
18．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）已知中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br /> 所以由正弦定理可得，
因?yàn)椋?br /> 所以，可得，
因?yàn)椋?br /> 所以．
（2）因?yàn)?，，?br /> 所以由余弦定理可得，
可得．
19．（12分）（2021?錫林郭勒盟二模）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，．點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．

【解答】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，
，．
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，四邊形是菱形，
，，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，
平面，平面，平面．
（2）解：由（1）可得：平面．
要求點(diǎn)到平面的距離，只要求點(diǎn)到平面的距離即可．
點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，
求出點(diǎn)到平面的距離，則．
取的中點(diǎn)，連接，．
四邊形是菱形，，
是等邊三角形，
，
平面，，
平面，
是點(diǎn)到平面的距離，
，
．

20．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）某校為了對(duì)學(xué)生的閱讀素養(yǎng)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行閱讀素養(yǎng)評(píng)分．評(píng)分規(guī)則規(guī)定實(shí)行百分制計(jì)分，現(xiàn)將所得的成績(jī)按照，，，，，，，，，，，分成6組，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了如下所示的頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖．由于一些特殊原因，統(tǒng)計(jì)表和直方圖都已殘缺，請(qǐng)對(duì)照?qǐng)D中現(xiàn)有信息按要求還原數(shù)據(jù)．
分組
頻數(shù)
頻率
，
5

，
25

，

0.30
，


，


，


合計(jì)

1
（1）求出表中，及圖中，的值；
（2）估計(jì)該校學(xué)生閱讀素養(yǎng)的成績(jī)中位數(shù)以及平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）．

【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得，的頻率為：，
由頻數(shù)分布表得，的頻數(shù)為5，
，
，，
，
解得．
（2），的頻率為：，
，的頻率為：，
估計(jì)該校學(xué)生閱讀素養(yǎng)的成績(jī)中位數(shù)為：
．
估計(jì)該校學(xué)生閱讀素養(yǎng)的成績(jī)平均數(shù)為：
．
21．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）直四棱柱中，是等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證：面；
（2）求直線與直線所成角的余弦值．

【解答】（1）證明：是直四棱柱，
，
，面．
，面．
，
面．
（2）解：連接，是等腰梯形，為的中點(diǎn)，
，可得是直線與直線所成角的平面角，
在△中，，，為的中點(diǎn)．，；
由余弦定理，可得．
故直線與直線所成角的余弦值為．
22．（12分）（2021春?天河區(qū)期末）如圖，某湖有一半徑為1百米的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距2百米的點(diǎn)處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)以及湖中的點(diǎn)處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿足，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”； 的長(zhǎng)為“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”．設(shè)．
（1）若，求“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”的面積；
（2）試確定的值，使得“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”最大．

【解答】解：（1）在中，因?yàn)?，，?br /> 由余弦定理可得，，
所以，
故，
則，
又，
則，
所以“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”的面積為平方百米；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，
設(shè)點(diǎn)，
由題意可知，，即，
解得，
所以，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值（百米），
故當(dāng)時(shí)，使得“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”最大．

聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/13 19:28:55；用戶：13159259195；郵箱：13159259195；學(xué)號(hào)：39016604

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