?2022-2023學年廣東省廣州市天河區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 在某項測試中，測量結果ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)，若P(20)的左、右焦點分別為F1、F2，左、右頂點分別為A1、A2，P為雙曲線右支上的一點，且直線PA1與PA2的斜率之積等于3，則下列說法正確的是(????)
A. 雙曲線C的漸近線方程為y=± 3x
B. 若PF1⊥PF2，且S△PF1F2=6，則a=1
C. 分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個圓內(nèi)切
D. ∠PF2A1=2∠PA1F2
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 橢圓y29+x27=1的離心率為______ ．
14. 有4名同學和2位老師排成一排合影，其中2位老師必須相鄰，則不同的排法有______ 種.(用數(shù)字作答)
15. 要做一個無蓋的長方體箱子，其體積為36m3，底面長方形長與寬的比為2：1，則當它的寬為______ m時，可使其表面積最小，最小表面積為______ m2．
16. 已知等比數(shù)列{an}滿足：a1+a2=20，a2+a3=80.數(shù)列{bn}滿足bn=log2an(n∈N*)，其前n項和為Sn，若bnSn+8≤λ恒成立，則λ的最小值為______ ．
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. (本小題10.0分)
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a∈R,b∈R)，其圖象在點(1,4)處的切線方程為y=4．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[12,4]上的最值．
18. (本小題12.0分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點坐標為F1(?1,0)、F2(1,0)，點A(1, 22)為橢圓C上一點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)經(jīng)過點F2且傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，O為坐標原點，求△OMN的面積．
19. (本小題12.0分)
5月25日是全國大、中學生心理健康日，“5.25”的諧音即為“我愛我”，意在提醒孩子們“珍惜生命、關愛自己”.學校將舉行心理健康知識競賽，第一輪選拔共設有A，B，C三個問題，每位參加者按問題A，B，C順序作答，規(guī)則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C分別加2分、4分、5分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；③當答完三題，若累計分數(shù)大于或等于14分，則答題結束，進入下一輪；否則，答題結束，淘汰出局.假設甲同學對問題A，B，C回答正確的概率依次為34，23，12，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
(1)求甲同學進入下一輪的概率；
(2)用ξ表示甲同學本輪答題結束時答對的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)．
20. (本小題12.0分)
已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an2+an=2Sn(n∈N*).數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且b1=a2．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)數(shù)列{an}，{bn}的所有項按照“當n為奇數(shù)時，bn放在前面；當n為偶數(shù)時，an放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求數(shù)列{cn}的前4n+3項的和T4n+3．
21. (本小題12.0分)
某醫(yī)療團隊為研究M市的一種疾病發(fā)病情況與該市居民的年齡關系，從該市疾控中心得到以下數(shù)據(jù)：
年齡段(歲)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
發(fā)病率(%)
0.09
0.18
0.30
0.40
0.53
(1)若將每個區(qū)間的中點數(shù)據(jù)記為xi，對應的發(fā)病率記為yi(i=1,2,3,4,5)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)可以建立發(fā)病率y(‰)關于年齡x(歲)的經(jīng)驗回歸方程y =b x+a ，求a ；
(2)醫(yī)學研究表明，化驗結果有可能出現(xiàn)誤差.現(xiàn)有M市某一居民年齡在[40,50)，A表示事件“該居民化驗結果呈陽性”，B表示事件“該居民患有這種疾病”.用頻率估計概率，已知P(A|B)=0.9，P(A?|B?)=0.8，求P(A)．
參考公式及數(shù)據(jù)：b =i=1n(xi?x?)(yi?y?)i=1n(xi?x?)2，i=15xi2=11125，i=15xiyi=78.5
22. (本小題12.0分)
已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2，a∈R．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當a=1時，證明：f(x)≤x2+x?1；
(3)求證：對任意的n∈N*且n≥2，都有：(1+122)(1+132)(1+142)???(1+1n2)

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