湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2021年春季高一大聯(lián)考數(shù)  學時量：120分鐘  滿分：150分得分：________一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則“”是“”的（    ）A．充要條件  B．充分不必要條件C．必要不充分條件  D．既不充分也不必要條件2．函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（    ）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）3．已知，則（    ）A． B． C． D．4．已知平面直角坐標系xOy中，原點為O，點，，C（3，0），則向量在向量方向上的投影向量為（    ）A． B． C． D．5．已知，，，則（    ）A． B． C． D．6．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，，，，則球O的表面積為（    ）A． B． C． D．7．我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則（    ）A．  B．C．  D．8．已知函數(shù)，且，則（    ）A．  B．C．  D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．若復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（    ）A．z的虛部為  B．C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．z是第三象限的點10．設(shè)平面向量，，均為非零向量，則下列命題中正確的是（    ）A．若，則B．若，則與共線C．若，則D．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是11．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．在中，若，則B．若，則是等腰三角形C．若，則是直角三角形D．若，則是銳角三角形12．意大利畫家列奧納多·達·芬奇（1452.4—1519.5）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達·芬奇提出固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：，其中a為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其表達式為，相應(yīng)地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為．則下列關(guān)于雙曲正、余弦函數(shù)結(jié)論中正確的是（    ）A．B．C．D．為偶函數(shù)，且存在最小值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個值為________．（寫出一個即可）14．已知向量，，若，則________．15．1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式，這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋” ．根據(jù)此公式，則________；________．（第一空2分，第二空3分）16．在中，為鈍角，，且，函數(shù)的最小值為，則的最小值為________．四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F、G分別在邊AB、AD、BC上，且滿足，，，設(shè)，．（1）用，表示，；（2）若，，求角A的值．18．（本題滿分12分）如圖，四棱臺，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，且，，．（1）求四棱臺，的側(cè)面積；（2）求四棱合，的體積．（臺體體積公式）19．（本題滿分12分）在條件①；②；③中任選一個，補充以下問題并解答：如圖所示，中內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，________，且，D在AC上，．（1）若，求；（2）若，求AC的長．20．（本題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若，，求面積的最大值．21．（本題滿分12分）今年，我國某一企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃在2021年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機．通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬元，每生產(chǎn)x（千部）手機，需另投入成本萬元，且由市場調(diào)研知，海部手機售價0.7萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完．（1）求出2021年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤銷售額成本）；（2）2021年產(chǎn)量為多少（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？22．（本題滿分12分）已如函數(shù)，．（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；（2）在（1）的條件下，判斷函數(shù)與函數(shù)的圖象公共點個數(shù)，并說明理由；（3）當時，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，求實數(shù)的取值范圍． 名校聯(lián)考聯(lián)合體2021年春季高一大聯(lián)考數(shù)學參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號12345678答案CBBAACBA1．C  【解析】，，則，即“”是“”的必要不充分條件．2．B  【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增且連續(xù)，且，；故函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（2，3）．3．B  【解析】由，得，則．4．A  【解析】，，向量在向量方向上的投影向量為．5．A  【解析】∵，，，∴．6．C  【解析】由題意，三棱柱為直三棱柱，底面ABC為直角三角形，把直三棱柱補成回棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，所以外接球半徑為，則三棱柱外接球的表面積是．7．B  【解析】法一：過F作于G，不坊設(shè)，，則，，所以，，，所以，，所以．法二：，即，解得，即．法三：建立直角坐標系用坐標解決．8．A  【解析】令，則，是奇函數(shù)，且易知在R上遞增，則在R上遞增，又，故，故，．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．題號9101112答案BCBCACACD9．BC  【解析】∵，∴，虛部為，，共軛復(fù)數(shù)為，z是第四象限的點．10．BC  【解析】當，在方向上的投影相同時，顯然不一定成立，A錯誤；若，則向量夾角或，與同向或反向，共線，B正確；若，兩邊平方得，，即，C正確；若與的夾角為銳角，則，且，所以D不正確．11．AC  【解析】在中，若，根據(jù)大邊對大角，所以，利用正弦定理，所以，則，故選項A正確；對于選項B，∵，∴或，，即或，為等腰或直角三角形，即選項B錯誤；對于選項C，由余弦定理知，，化簡整理得，∴為直角三角形，即選項C正確，（也可以化邊為角）；對于選項D，只能說明C為銳角，而角A和B不確定，即選項D錯誤．12．ACD  【解析】對于A．，故A正確；對于B．，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D．，故函數(shù)為偶函數(shù)，由于，故（當且僅當時，等號成立），故D正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（答案不唯一）  【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，，故可取．14．  【解析】因為向量，，且，所以，即，所以．5．0；  【解析】，，因此，．16．  【解析】法一：由向量減法模的幾何意義和函數(shù)的最小值為知，且O點在直線AB上，當時，最小，為．法二：在中，為鈍角，，函數(shù)的最小值為．∴函數(shù)，化為恒成立．當且僅當時等號成立，代入得到，∴．∴，當且僅當時，取得最小值，∴的最小值為．四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．【解析】（1），．4分（2）若，則，即，∴，6分又，∴，8分∴，即，∴．10分18．【解析】（1）∵側(cè)面是全等的等腰梯形，，，，∴斜高為，3分則四棱臺的側(cè)面積為；6分（2）∵側(cè)面是全等的等腰梯形，，，，∴四棱臺的高為，9分四棱臺的體積為．12分19．【解析】選①，由正弦定理得，，整理得，，由余弦定理得：，由A為三角形內(nèi)角得，；3分選②，由得，因為，所以，即，由于，所以，即，故；選③，所以，整理得，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，由A為三角形內(nèi)角得，；（1）因為，，且，所以為等邊三角形，所以，，，中，由正弦定理得，，即，所以，6分（2）設(shè)，則，，中，由余弦定理得，，故，．12分20．【解析】（1）函數(shù)，令，求得，，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．6分（2）在中，若，∴，∴．∴面積為．∵，根據(jù)余弦定理可得，∴，∴面積為，故面積的最大值為．21．【解析】（1）當時，，2分當時，，4分∴5分（2）若，，當時，萬元，7分若，，9分當且僅當時，即時，萬元，11分∴2021年產(chǎn)量為100（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元．12分22．【解析】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，所以對于定義域內(nèi)任意x，都有，即，∴，顯然，由于奇函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，所以必有．上面等式左右兩邊同時乘以得，化簡得，上式對定義域內(nèi)任意x恒成立，所以必有，解得；3分（2）由（1）如，所以，即，由，得或，所以函數(shù)定義域，由題意，要求方程解的個數(shù)，即求方程在定義域D上的解的個數(shù)．令，顯然在區(qū)間和均單調(diào)遞增，又，．且，，所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，即方程在定義域D上有2個解，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個公共點；7分（3）要使時，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象的上方，必須使在上恒成立，令，則，上式整理得在恒成立．因為在恒成立，即．又，所以得在恒成立，令，則，且，所以，由基本不等式可知（當且僅當時，等號成立）即，所以，所以a的取值范圍是．12分  

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