?2020-2021學(xué)年廣東省廣州市、深圳市四校（廣雅、華附、省實(shí)、深中）聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．分鐘
1．（5分）已知集合，1，2，3，，，則　　
A．，3， B．， C．， D．，
2．（5分）已知，則“”是“為純虛數(shù)”的　　
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
3．（5分）多項(xiàng)選擇題是新高考數(shù)學(xué)試卷中增加的新題型，四個(gè)選項(xiàng)，，，中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，并規(guī)定：如果選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)就不得分．若某題的正確答案是，某考生隨機(jī)選了兩項(xiàng)，則其能得分的概率為　　
A． B． C． D．
4．（5分）若的展開式中的系數(shù)為20，則　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知四邊形滿足，點(diǎn)滿足，若，則　　
A．3 B． C．2 D．
6．（5分）已知為第四象限角，且，則　　
A． B． C． D．
7．（5分）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，滿足，，，則該鞠的表面積為　　

A． B． C． D．
8．（5分）已知函數(shù)，且，，，則，，的大小為　　
A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是　　

A．的最小正周期為
B．的最大值為2
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．為偶函數(shù)
10．（5分）已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合，，2，，（其中求得的回歸直線方程，記此模型對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)為．觀察殘差圖發(fā)現(xiàn)：除了數(shù)據(jù)點(diǎn)和明顯偏離橫軸，其余各點(diǎn)均密集均勻分布，剔除這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后重新求得的回歸直線方程，記此模型對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)為，則下列結(jié)論中正確的是　　
A．變量與正相關(guān) B．記，則
C． D．
11．（5分）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是　　
A．
B．可能大于0
C．若，則
D．若在拋物線上存在唯一一點(diǎn)（異于，，使得，則
12．（5分）已知函數(shù)，下列關(guān)于的說法中正確的是　　
A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)
B．最多有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．若，則僅有一個(gè)極值點(diǎn)
D．若無極值點(diǎn)，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知，是兩個(gè)不同的平面，，是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：（1）；（2） （3） （4）．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：　?。ù鸢覆晃ㄒ?，寫出一個(gè)即可）．
14．（5分）若直線始終平分圓的周長，則的最小值為
　?。?br /> 15．（5分）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則　?。?br /> 16．（5分）在三棱錐中，側(cè)面，側(cè)面，側(cè)面與底面所成的角均為，若，，且是銳角三角形，則三棱錐體積的取值范圍為 　　．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足_____．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
18．（12分）智能體溫計(jì)由于測溫方便、快捷，已經(jīng)逐漸代替水銀體溫計(jì)應(yīng)用于日常體溫檢測．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，使用水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果與人體的真實(shí)體溫基本一致，而使用智能體溫計(jì)測量體溫可能會產(chǎn)生誤差．對同一人而言，如果用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果相同，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫準(zhǔn)確”；否則，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫失誤”．現(xiàn)在某社區(qū)隨機(jī)抽取了20人用兩種體溫計(jì)進(jìn)行體溫檢測，數(shù)據(jù)如表．用頻率估計(jì)概率，解答下列問題：
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
智能體溫計(jì)測溫
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.5
36.3
水銀體溫計(jì)測溫
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
36.5
36.4
序號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
智能體溫計(jì)測溫
36.3
36.7
36.2
35.4
35.2
35.6
37.2
36.8
36.6
36.7
水銀體溫計(jì)測溫
36.2
36.7
36.2
35.4
35.3
35.6
37
36.8
36.6
36.7
（1）從該社區(qū)中任意抽查3人用智能體溫計(jì)測量體溫，設(shè)隨機(jī)變量為使用智能體溫計(jì)測溫“測溫準(zhǔn)確”的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望值；
（2）醫(yī)學(xué)上通常認(rèn)為，人的體溫不低于且不高于時(shí)處于“低熱”狀態(tài)．該社區(qū)某一天用智能體溫計(jì)測溫的結(jié)果顯示，有3人的體溫都是，能否由上表中的數(shù)據(jù)來認(rèn)定這3個(gè)人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)？說明理由．
19．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且若為的中點(diǎn)，，記．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍．

20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且平面．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

21．（12分）（1）（?。┳C明：，；
（ⅱ）證明：時(shí)，；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值．
22．（12分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是、，且經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離是．不與坐標(biāo)軸平行的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)（異于、，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：在雙曲線上存在定點(diǎn)，使得的面積為定值，并求出該定值．

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市、深圳市四校（廣雅、華附、省實(shí)、深中）聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．分鐘
1．（5分）已知集合，1，2，3，，，則　　
A．，3， B．， C．， D．，
【解答】解：，1，2，3，，，
，．
故選：．
2．（5分）已知，則“”是“為純虛數(shù)”的　　
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【解答】解：①對于復(fù)數(shù)，若，不一定為純虛數(shù)，可以為0，充分性不成立，
②若為純虛數(shù)，設(shè)，，，，必要性成立，
是為純虛數(shù)的必要非充分條件．
故選：．
3．（5分）多項(xiàng)選擇題是新高考數(shù)學(xué)試卷中增加的新題型，四個(gè)選項(xiàng)，，，中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，并規(guī)定：如果選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)就不得分．若某題的正確答案是，某考生隨機(jī)選了兩項(xiàng)，則其能得分的概率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：四個(gè)選項(xiàng)，，，中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，并規(guī)定：如果選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)就不得分．
某題的正確答案是，某考生隨機(jī)選了兩項(xiàng)，
基本事件總數(shù)，
其中其能得分包含的基本事件個(gè)數(shù)，
其能得分的概率為．
故選：．
4．（5分）若的展開式中的系數(shù)為20，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于的展開式中的系數(shù)為，則，
故選：．
5．（5分）已知四邊形滿足，點(diǎn)滿足，若，則　　
A．3 B． C．2 D．
【解答】解：四邊形滿足，點(diǎn)滿足，
，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
．
又，，，
故，
故選：．
6．（5分）已知為第四象限角，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：為第四象限角，且，
，
．
故選：．
7．（5分）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，滿足，，，則該鞠的表面積為　　

A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)椋?，，所以可以把，，，四點(diǎn)放到長方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，
則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑．
設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，，，
“鞠”的半徑為，則．
因?yàn)?，，?br /> 所以，所以．
故選：．
8．（5分）已知函數(shù)，且，，，則，，的大小為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，定義域是，
而，
故是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，
時(shí)，，
令，，
則，
在，遞增，而，
故在，恒成立，
故在，恒成立，
故在，遞增，在遞減，
而，
故，
故，
故選：．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是　　

A．的最小正周期為
B．的最大值為2
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．為偶函數(shù)
【解答】解：由圖象可知，函數(shù)的周期為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
所以，
由“五點(diǎn)法”可得，，解得，
又，所以，
所以，
又的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則有，解得，
所以，
所以的最大值為2，故選項(xiàng)正確；
令，解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br /> 所以為偶函數(shù)，故選項(xiàng)正確．
故選：．
10．（5分）已知由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合，，2，，（其中求得的回歸直線方程，記此模型對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)為．觀察殘差圖發(fā)現(xiàn)：除了數(shù)據(jù)點(diǎn)和明顯偏離橫軸，其余各點(diǎn)均密集均勻分布，剔除這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后重新求得的回歸直線方程，記此模型對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)為，則下列結(jié)論中正確的是　　
A．變量與正相關(guān) B．記，則
C． D．
【解答】解：由回歸直線方程，且可得變量與正相關(guān)，故正確；
，且樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上，，故正確；
當(dāng)剔除兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后其余各點(diǎn)均密集均勻分布，說明用回歸直線方程擬合效果更好，
則殘差平方和變小，相關(guān)指數(shù)變大，有，故錯(cuò)誤；
剔除兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后的樣本點(diǎn)的中心坐標(biāo)沒變，，故正確．
故選：．
11．（5分）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是　　
A．
B．可能大于0
C．若，則
D．若在拋物線上存在唯一一點(diǎn)（異于，，使得，則
【解答】解：選項(xiàng)，，所以直線過焦點(diǎn)，所以，選項(xiàng)說法正確．
設(shè)，，，，聯(lián)立，得，所以，，
所以，
選項(xiàng)，，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤．
選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，從而，選項(xiàng)說法正確．
選項(xiàng)，設(shè)，由，有，即，
代入韋達(dá)定理，整理得，
因?yàn)辄c(diǎn)唯一，且異于、兩點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．
由△，解得，故選項(xiàng)說法正確．
故選：．
12．（5分）已知函數(shù)，下列關(guān)于的說法中正確的是　　
A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)
B．最多有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．若，則僅有一個(gè)極值點(diǎn)
D．若無極值點(diǎn)，則
【解答】解：，
對于，當(dāng)時(shí)，，令，得，
所以當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，
若有唯一零點(diǎn)，則或的根為1，所以或，
令，，
所以在上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
所以（e），所以，
所以若有唯一零點(diǎn)，則或，故錯(cuò)誤；
對于，，，
令，可得且，
，令，可得，，
所以在遞增，在，遞減，在，遞減，在，遞增，
又（1），，所以最多有2個(gè)解，即最多有兩個(gè)極值點(diǎn)，故正確；
對于，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解，即僅有一個(gè)極值點(diǎn)，故正確；
對于，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解，此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤．
故選：．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知，是兩個(gè)不同的平面，，是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：（1）；（2） （3） （4）．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：　，，或，，　（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）．
【解答】解：，，，由面面垂直的性質(zhì)定理得正確；
，，，由面面垂直的判定定理得正確；
，，，這里與相交、平行或，故不正確；
，，，這里與相交、平行或，故不正確．
故答案為：，，或，，．
14．（5分）若直線始終平分圓的周長，則的最小值為
　5?。?br /> 【解答】解：直線始終平分圓的周長，
圓的圓心在直線上，可得，又，，，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
的最小值為5．
故答案為：5．
15．（5分）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則　0　．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
又由，則有，
變形可得，
即，
因?yàn)?，則，
由等差數(shù)列的性質(zhì)得，即，
所以；
故答案為：0．
16．（5分）在三棱錐中，側(cè)面，側(cè)面，側(cè)面與底面所成的角均為，若，，且是銳角三角形，則三棱錐體積的取值范圍為 　，?。?br /> 【解答】解：作平面于，則，
作于，于，于，連接，，，
，、平面，
平面，，
為二面角的平面角，
同理可得，，分別為二面角和二面角的平面角，
，
，
為的內(nèi)心，

連接，，，設(shè)，則，
，，
，
，
點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，
以所在直線為軸，以的中垂線所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
橢圓中的，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

設(shè)，要使，均為銳角，則，，
，
，，，即，解得，
點(diǎn)在橢圓上，，
，，
，，即，，
，．
故答案為：，．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足_____．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
【解答】解：若選擇條件①：
由，得，兩式相減得，
又當(dāng)時(shí)，有，，得，滿足，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；
若選擇條件②：
由，得，
所以；
若選擇條件③：
由，得，兩式相減得，即，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．
（2）根據(jù)題意，；則，
兩式相減得，所以．
18．（12分）智能體溫計(jì)由于測溫方便、快捷，已經(jīng)逐漸代替水銀體溫計(jì)應(yīng)用于日常體溫檢測．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，使用水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果與人體的真實(shí)體溫基本一致，而使用智能體溫計(jì)測量體溫可能會產(chǎn)生誤差．對同一人而言，如果用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果相同，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫準(zhǔn)確”；否則，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測溫失誤”．現(xiàn)在某社區(qū)隨機(jī)抽取了20人用兩種體溫計(jì)進(jìn)行體溫檢測，數(shù)據(jù)如表．用頻率估計(jì)概率，解答下列問題：
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
智能體溫計(jì)測溫
36.6
36.6
36.5
36.5
36.5
36.4
36.2
36.3
36.5
36.3
水銀體溫計(jì)測溫
36.6
36.5
36.7
36.5
36.4
36.4
36.2
36.4
36.5
36.4
序號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
智能體溫計(jì)測溫
36.3
36.7
36.2
35.4
35.2
35.6
37.2
36.8
36.6
36.7
水銀體溫計(jì)測溫
36.2
36.7
36.2
35.4
35.3
35.6
37
36.8
36.6
36.7
（1）從該社區(qū)中任意抽查3人用智能體溫計(jì)測量體溫，設(shè)隨機(jī)變量為使用智能體溫計(jì)測溫“測溫準(zhǔn)確”的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望值；
（2）醫(yī)學(xué)上通常認(rèn)為，人的體溫不低于且不高于時(shí)處于“低熱”狀態(tài)．該社區(qū)某一天用智能體溫計(jì)測溫的結(jié)果顯示，有3人的體溫都是，能否由上表中的數(shù)據(jù)來認(rèn)定這3個(gè)人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)？說明理由．
【解答】解：（1）表中20人的體溫?cái)?shù)據(jù)中，用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測溫結(jié)果相同的序號是，
01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20共有12種情況，
估計(jì)所求的概率為，
隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，用智能體溫計(jì)測量該社區(qū)1人“測溫準(zhǔn)確”的概率為，
，，
，，
故的分布列為：

0
1
2
4





．
（2）設(shè)這三人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)為事件，表中20人的體溫?cái)?shù)據(jù)中，用智能體溫計(jì)的測溫結(jié)果，高于其真實(shí)體溫的序號為02，05，11，17，共計(jì)4種情況，由此估計(jì)從社區(qū)任意抽取1人，用智能體溫計(jì)的測溫結(jié)果高于其真實(shí)體溫的概率為，由此估計(jì)，這3人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)的概率為
，
結(jié)論，接近于1，由此認(rèn)定這三人中至少有人處于“低熱”狀態(tài)，
結(jié)論，有可能這三人都不處于“低熱”狀態(tài)．
19．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且若為的中點(diǎn)，，記．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍．

【解答】解：（1），而，
．，．
在中，，即，故．
（2）中，由可知，
由正弦定理及，可得，
所以，
，
由，可知，，
．
20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且平面．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

【解答】解：（1）證明：平面，，
，，平面，
平面，，
，為中點(diǎn)，
，，
平面．
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，易證平面，
平面，，平面平面，
平面平面，平面平面，
，，
如下圖，以為原點(diǎn)分別以，，平行于向上為軸，軸，軸為正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，0，，，0，，，2，，，0，，
，可得，
，，
設(shè)，，，為平面的一個(gè)法向量，
則，可得，
設(shè)二面角的大小為，則，
，則二面角的正弦值為．
21．（12分）（1）（?。┳C明：，；
（ⅱ）證明：時(shí)，；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值．
【解答】解：（1）令，則，
令可得，令可得，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，即；
令，，
則，
由可知，故，
所以在上單調(diào)遞減，故，
即當(dāng)時(shí)，；
（2）令，
當(dāng)時(shí)，，由（1）知，則恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由（1）可知，與題意不符；
當(dāng)時(shí)，，，
在單調(diào)遞減，
，
，使得，且時(shí)，，
故在單調(diào)遞增，此時(shí)（1），與題意不符．
綜上，．
22．（12分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是、，且經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離是．不與坐標(biāo)軸平行的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)（異于、，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：在雙曲線上存在定點(diǎn)，使得的面積為定值，并求出該定值．
【解答】解：（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，一條漸近線為，
聯(lián)立，
解得，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：設(shè)，，，，，，，，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，
得，，
因?yàn)椤?，所以?br /> 所以，
所以，，
，，
所以，
由題知，，
由，，三點(diǎn)共線可得，即，
由，，三點(diǎn)共線可得，即，
相交可得，
所以，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，解得，
所以點(diǎn)在定直線上，
則使得的面積為定值的點(diǎn)一定為過點(diǎn)且與直線平行的直線與雙曲線的交點(diǎn)，
此時(shí)，且．
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