?2020-2021學(xué)年浙江省寧波市慈溪市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）.
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，則A∪B＝（　　）
A．{1} B．{2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，3}
2．＝（　?。?br /> A． B． C． D．
3．已知a，b，c∈R，且a+b+c＞0，則（　?。?br /> A．（a+b）2＞c2
B．a(chǎn)，b，c三數(shù)中至少有一個(gè)大于零
C．a(chǎn)，b，c三數(shù)中至少有兩個(gè)大于零
D．a(chǎn)，b，c三數(shù)均大于零
4．“cosθ＝0”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，若，，則＝（　?。?br />
A． B． C． D．
6．函數(shù)f（x）＝（x+1）ln（|x﹣1|）的大致圖象是（　　）
A． B．
C． D．
7．給出下列四個(gè)關(guān)于函數(shù)的命題：
①f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）與g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函數(shù)；
②f（x）＝是既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；
③若f（x）與g（x）在區(qū)間G上均為遞增函數(shù)，則f（x）?g（x）在區(qū)間G上亦為遞增函數(shù)；
④設(shè)集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→log4（x+2），則能構(gòu)成一個(gè)函數(shù)f：A→B，記作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A．
其中，真命題為（　?。?br /> A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④
8．設(shè)（a，b）∈{（x，y）|x﹣y≥1，且x+3y≤3，y≥0}，則a+b的最大值為（　?。?br /> A．3 B．2 C．1 D．0
9．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝4，前n項(xiàng)和為Sn，則的值（　?。?br /> A．等于4 B．等于2
C．等于 D．不確定，與a1有關(guān)
10．已知函數(shù)f（x）＝|2cosx+1﹣k|+k+2在區(qū)間（﹣∞，+∞）上的最大值是5，則實(shí)數(shù)k的值所組成的集合是（　?。?br /> A．{1} B．{﹣2，0，1} C．{k|k≤1} D．{k|﹣1≤k≤1}
三、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。）
11．已知復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝1﹣i，則z1+z2＝　 　，的共軛復(fù)數(shù)為 　 　．
12．已知函數(shù)則f（﹣1）＝　 　，若f（a）＝3，則a＝　 ?。?br /> 13．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中點(diǎn)，AM＝2，則AC＝　 　；cos∠MAC＝　 　．
14．已知函數(shù)f（x）＝ex+ln（2x+1），e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），則f'（0）＝　 　，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線的方程為 　 　．
15．已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為　 ?。?br /> 16．已知α，β∈R，且滿足α2﹣2sinβ＝1，則4α+sinβ的值域?yàn)?　 ?。?br /> 17．已知正數(shù)a，b滿足：b2（3a2+4ab）＝3，則3a+2b的最小值為 　 ?。?br /> 三、解答題（本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量、滿足：，，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，且a＝2，求b+c的取值范圍．
19．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝5，an+1+an﹣1＝2an（n∈N*，n≥2），數(shù)列{bn}滿足b1＝1，．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn．
20．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC和△BCP均為正三角形．
（Ⅰ）求證：AP⊥BC；
（Ⅱ）若，
（ⅰ）求證：平面ABC⊥平面BCP；
（ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值．

21．已知拋物線C1：y2＝4x與橢圓C2：+＝1（a＞b＞0）有公共的焦點(diǎn)，C2的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C2的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互補(bǔ)，求△F1QR面積S的最大值．

22．已知函數(shù)f（x）＝nsinx+tanx，n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）；
（Ⅱ）當(dāng)n＝1時(shí)，求證：f（x）＞2x在上恒成立；
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在上恒成立，求n的最大值．


參考答案
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）.
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，則A∪B＝（　?。?br /> A．{1} B．{2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，3}
解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}．
故選：C．
2．＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵＝＝，
∴．
故選：D．
3．已知a，b，c∈R，且a+b+c＞0，則（　?。?br /> A．（a+b）2＞c2
B．a(chǎn)，b，c三數(shù)中至少有一個(gè)大于零
C．a(chǎn)，b，c三數(shù)中至少有兩個(gè)大于零
D．a(chǎn)，b，c三數(shù)均大于零
解：A、當(dāng)a+b＝c＝0時(shí)，該不等式不成立，故不符合題意；
B、由a，b，c∈R，且a+b+c＞0知：a，b，c三數(shù)中至少有一個(gè)大于零，故符合題意；
C、當(dāng)a＝4，b＝c＝﹣1時(shí)，a+b+c＞0，即a，b，c三數(shù)中可以只有一個(gè)數(shù)大于零，故不符合題意；
D、結(jié)合選項(xiàng)C的分析，a，b，c三數(shù)可以不都大于零的實(shí)數(shù)，故不符合題意．
故選：B．
4．“cosθ＝0”是“”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解：由cosθ＝0可得：θ＝kπ+，k∈Z．
由，即tan＝1，解得：＝kπ+，即θ＝2kπ+，k∈Z．
∴“cosθ＝0”是“”的必要不充分條件．
故選：B．
5．如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，若，，則＝（　?。?br />
A． B． C． D．
解：由圖可得＝，
因?yàn)锳D＝2BC，BC//AD，
所以，
則＝2（）﹣，
即＝2＝2，
故選：B．
6．函數(shù)f（x）＝（x+1）ln（|x﹣1|）的大致圖象是（　?。?br /> A． B．
C． D．
解：當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，排除A，C，
f（﹣5）＝﹣4ln6＜0，排除C，D，
故選：B．
7．給出下列四個(gè)關(guān)于函數(shù)的命題：
①f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）與g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函數(shù)；
②f（x）＝是既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；
③若f（x）與g（x）在區(qū)間G上均為遞增函數(shù)，則f（x）?g（x）在區(qū)間G上亦為遞增函數(shù)；
④設(shè)集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→log4（x+2），則能構(gòu)成一個(gè)函數(shù)f：A→B，記作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A．
其中，真命題為（　　）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④
解：對(duì)于①，f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）與g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函數(shù)，函數(shù)的關(guān)系式形式相同，定義域相同，故函數(shù)的值域一定相同，故①正確；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）＝（﹣2≤x≤2且x≠0）則是奇函數(shù)，，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若f（x）與g（x）在區(qū)間G上均為遞增函數(shù)，則f（x）+g（x）在區(qū)間G上亦為遞增函數(shù)，但是f（x）?g（x）在區(qū)間G不一定為遞增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，設(shè)集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→log4（x+2），則能構(gòu)成一個(gè)函數(shù)f：A→B，記作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A，符合函數(shù)的定義，故④正確．
故選：B．
8．設(shè)（a，b）∈{（x，y）|x﹣y≥1，且x+3y≤3，y≥0}，則a+b的最大值為（　?。?br /> A．3 B．2 C．1 D．0
解：∵（a，b）∈{（x，y）|x﹣y≥1，且x+3y≤3，y≥0}，
∴，作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖，

令z＝a+b，得b＝﹣a+z，由圖可知，當(dāng)直線b＝﹣a+z過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，
直線在b軸上的截距最大，z有最大值為3．
故選：A．
9．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝4，前n項(xiàng)和為Sn，則的值（　?。?br /> A．等于4 B．等于2
C．等于 D．不確定，與a1有關(guān)
解：由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，得S2021＝（a1+a2021）＝2021a1011；S2020＝（a1+a2020）＝1010（a1010+a1011），
所以＝﹣＝a1011﹣（a1010+a1011）＝（a1011﹣a1010）＝d＝2．
故選：B．
10．已知函數(shù)f（x）＝|2cosx+1﹣k|+k+2在區(qū)間（﹣∞，+∞）上的最大值是5，則實(shí)數(shù)k的值所組成的集合是（　　）
A．{1} B．{﹣2，0，1} C．{k|k≤1} D．{k|﹣1≤k≤1}
解：當(dāng)1﹣k?0，即k?1時(shí)，
此時(shí)當(dāng)cosx＝1時(shí)，f（x）取最大值f（x）max＝5，滿足題意；
當(dāng)1﹣k＜0時(shí)，即k＞1時(shí)，
此時(shí)當(dāng)cosx＝﹣1時(shí)，f（x）取最大值f（x）max＝2k+3＝5?k＝1，又k＞1，所以k無解．
綜上所述，實(shí)數(shù)k的值所組成集合是{k|k?1}．
故選：C．
三、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。）
11．已知復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝1﹣i，則z1+z2＝　3　，的共軛復(fù)數(shù)為 　　．
解：復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝1﹣i，
則z1+z2＝2+i+1﹣i＝3，
＝＝＝＝﹣i的共軛復(fù)數(shù)為+i，
故答案為：3，+i．
12．已知函數(shù)則f（﹣1）＝　1　，若f（a）＝3，則a＝　或﹣7?。?br /> 解：∵函數(shù)則f（﹣1）＝|log22|＝1，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）＝2a2﹣1＝3，求得a＝；
當(dāng)a≤0時(shí)，f（a）＝|log2（﹣a+1）|＝3，∴1﹣a＝8，或1﹣a＝，求得a＝﹣7，
故答案為：1； 或﹣7．
13．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中點(diǎn)，AM＝2，則AC＝　2?。籧os∠MAC＝　?。?br /> 解：在△ABM中：AM2＝BA2+BM2﹣2BA?BMcos60°，∴（2）2＝22+BM2﹣2×2?BM?，∴BM2﹣2BM﹣8＝0，解得：BM＝4或﹣2（舍去）．
∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中：AC2＝22+82﹣2×2×8cos60°＝52，∴AC＝2；
在△AMC中：cos∠MAC＝＝．
故答案為：2；．
14．已知函數(shù)f（x）＝ex+ln（2x+1），e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），則f'（0）＝　3　，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線的方程為 　y＝3x+1?。?br /> 解：∵f（x）＝ex+ln（2x+1），
∴f′（x）＝ex+，則f'（0）＝3；
∴曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線的方程為y＝3x+1．
故答案為：3；y＝3x+1．
15．已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為　?。?br /> 解：雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A（a，0），
以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．
若∠MAN＝60°，可得A到漸近線bx+ay＝0的距離為：bcos30°＝，
可得：＝，即，可得離心率為：e＝．
故答案為：．
16．已知α，β∈R，且滿足α2﹣2sinβ＝1，則4α+sinβ的值域?yàn)?　?。?br /> 解：∵α2﹣2sinβ＝1，
∴，可得，
4α+sinβ＝，，
設(shè)f（α）＝，，
∵f（α）的對(duì)稱軸為α＝﹣4，
∴f（α）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，，
∴4α+sinβ的值域?yàn)? ．
故答案為：．
17．已知正數(shù)a，b滿足：b2（3a2+4ab）＝3，則3a+2b的最小值為 　?。?br /> 解：根據(jù)題意，（3a+2b）2＝9a2+12ab+4b2＝3（3a2+4ab）+4b2≥2×，
當(dāng)且僅當(dāng)3（3a2+4ab）＝4b2時(shí)等號(hào)成立，
又由b2（3a2+4ab）＝3，則（3a+2b）2≥12，
又由a、b＞0，必有3a+2b≥2，
故答案為：2．
三、解答題（本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量、滿足：，，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC是銳角三角形，且a＝2，求b+c的取值范圍．
解：（Ⅰ）因?yàn)椋?br /> 所以，，
由正弦定理得：，
因?yàn)閟inB≠0，
所以，
所以或．
（Ⅱ）因?yàn)閍＝2，
所以由正弦定理得，得：，，
所以＝[sinB+sin（﹣B）]＝＝，
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，
所以，且，可得，
所以，可得，
所以．
19．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝5，an+1+an﹣1＝2an（n∈N*，n≥2），數(shù)列{bn}滿足b1＝1，．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn．
解：（Ⅰ）因?yàn)閍n+1+an﹣1＝2an，所以an+1﹣an＝an﹣an﹣1＝???＝a2﹣a1＝3，所以{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，
所以通項(xiàng)公式為an＝3n﹣1．
（Ⅱ）因?yàn)椋詛bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，則Sn＝a1b1+a2b2+???+anbn＝，
所以②，
所以由①﹣②得：＝，
所以．
20．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC和△BCP均為正三角形．
（Ⅰ）求證：AP⊥BC；
（Ⅱ）若，
（?。┣笞C：平面ABC⊥平面BCP；
（ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，PO，……（1分）
因?yàn)椤鰽BC與△BCP是正三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO＝O，……
所以BC⊥平面PAO，……
又AP在平面PAO內(nèi)，
所以BC⊥AP，即AP⊥BC；…………
（Ⅱ）（ⅰ）證明：設(shè)AB＝a，因?yàn)椤鰽BC與△B1BC是正三角形，
則BP＝AB＝BC＝AC＝PC＝a，，…………
又，由余弦定理可得……
所以在△APO中，有AP2＝AO2+PO2，
所以△APO為直角三角形，得AO⊥PO，…………
顯然AO⊥BC，又PO∩BC＝O，所以AO⊥平面PBC，……
因?yàn)锳O?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCP；…………
（ⅱ）解：由（ⅰ）可以O(shè)A，OB，OP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，……
……
設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量為，
則……
可取，……
又平面BCP的一個(gè)法向量為，
所以二面角A﹣PB﹣C的平面角θ的余弦值為……
21．已知拋物線C1：y2＝4x與橢圓C2：+＝1（a＞b＞0）有公共的焦點(diǎn)，C2的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C2的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互補(bǔ)，求△F1QR面積S的最大值．

解：（I）由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為（1，0），
∴橢圓的半焦距c＝1，又∵橢圓的離心率為，
∴，即a＝2，
∵a2＝b2+c2，∴b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，即b＝，
∴橢圓C2的方程為．
（II）設(shè)Q（x1，y1），R（x2，y2），F(xiàn)（﹣1，0），
∵∠PF1Q與∠PF1R互補(bǔ)，∴，
∴，化簡(jiǎn)整理，可得x1y2+y2+x2y1+y1＝0 ①，
設(shè)直線PQ 為x＝my+n（m≠0），
聯(lián)立直線與橢圓方程，
化簡(jiǎn)整理，可得（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12＝0，
△＝b2﹣4ac＝36m2n2﹣4（3m2+4）（3n2﹣12）＞0，可得n2＜3m2+4 ②，
由韋達(dá)定理，可得③，
將x1＝my1+n，x2＝my2+n 代入①，可得2my1y2+（n+1）（y1+y2）＝0 ④，
再將③代入④，可得，解得n＝﹣4，
∴PQ的方程為x＝my﹣4，
由點(diǎn)F（﹣1，0）到直線PQ的距離d＝，
＝＝，
由②可得，3m2+4＞16，即m2＞4，
設(shè)f（m）＝，令m2﹣4＝t，t＞0，
∴f（t）＝＝，
由均值不等式可知，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即t＝，等號(hào)成立，
當(dāng)取最小值時(shí)，f（t）取最大值，即△F1QR面積S最大，
∴，
∴△F1QR面積S最大值為．
22．已知函數(shù)f（x）＝nsinx+tanx，n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）；
（Ⅱ）當(dāng)n＝1時(shí)，求證：f（x）＞2x在上恒成立；
（Ⅲ）若f（x）＞（n+1）x在上恒成立，求n的最大值．
解：（I）由f（x）＝nsinx+tanx，得；
（II）當(dāng)n＝1時(shí)，令g（x）＝f（x）﹣2x＝sinx+tanx﹣2x，則；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br /> 所以g（x）在上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（0）＝0，
即f（x）＞2x在上恒成立．
（III）由條件知，當(dāng)時(shí)，不等式成立，
即，解得，
所以正整數(shù)n最大為2．
當(dāng)n＝2時(shí)，令h（x）＝f（x）﹣3x，則
＝．
所以h（x）在上單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（0）＝0，
即h（x）＞3x在上恒成立，
所以n的最大值為2．



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2021【KS5U解析】武漢武昌區(qū)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷含解析：

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