www.ks5u.com西南大學(xué)附屬中學(xué)校高2021級(jí)第四次月考數(shù) 學(xué) 試 題（滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）2021年4月注意事項(xiàng)：1．答卷前考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2．回答選擇題時(shí)用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自己保管好，以備評(píng)講）。 一、 選擇題（本題共8小題．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．   設(shè)集合，，則（     ）A． B． C． D．2．   若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（     ）A． B． C． D． 3．   命題“”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（     ）A.  B.  C.  D. 4．   2020年12月，西南大學(xué)附屬中學(xué)舉辦一年一度的繽紛節(jié)，由于疫情原因?yàn)榱吮苊馊藛T聚集，所以采用云直播的方式將各個(gè)分會(huì)場(chǎng)的情況通過(guò)電視播放給同學(xué)們觀看，學(xué)校安排4名主持人和3名攝像師對(duì)本次繽紛節(jié)實(shí)行直播，其中2名主持人和1名攝像師負(fù)責(zé)“綜藝晚會(huì)”的直播，另2名主持人和2名攝像師分兩組（每組主持人和攝像師各1人），分別負(fù)責(zé)“青春歌會(huì)”和“附中詩(shī)詞大賽”的現(xiàn)場(chǎng)直播。如果所有主持人、攝像師都能承擔(dān)三個(gè)分會(huì)場(chǎng)的相應(yīng)工作，則所有不同的安排方案有（     ）A．144種 B．72種 C．48種 D．36種5．   若函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系為（     ）A.  B.  C.  D. 6．   設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是，令，稱為數(shù)列，，…，的“超越數(shù)”，已知數(shù)列，，…，的“超越數(shù)”為2020，則數(shù)列5，，，…，的“超越數(shù)”為（     ）A．2018 B．2019 C．2020 D．20217．  如圖，已知是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，直線且與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是正三角形且點(diǎn)是的內(nèi)心，則雙曲線的離心率是（     ）A.   B. C.   D. 8．   已知函數(shù)是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)是，若時(shí)，，令，則以下正確的是（     ）A． B． C． D．T的符號(hào)不能確定二、 多選題（本題共4小題．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9．   已知，，，均為實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（     ）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，10．    等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，，則以下正確的是（     ）A． B．C．的最大值為  D．使得的最大整數(shù)11．  如圖，在菱形中，，，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，連接和，為的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（     ）A． B．的長(zhǎng)不為定值 C．與的夾角為D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)， 三棱錐的外接球的表面積是12．  設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，如果存在非零常數(shù)，對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)是“元周期函數(shù)”，非零常數(shù)為函數(shù)的“元周期”現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“元周期函數(shù)”的命題：所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（     ）A．如果“元周期函數(shù)”的“元周期”為，那么它是周期為2的周期函數(shù)；B．函數(shù)是“元周期函數(shù)”C．常數(shù)函數(shù)是“元周期函數(shù)”D．如果函數(shù)是“元周期函數(shù)”，那么“或”三、 填空題（本題共4小題。14題僅對(duì)1個(gè)得3分）13．   已知函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則_____________．14．   二項(xiàng)式的展開(kāi)式的所有項(xiàng)系數(shù)和為_______，展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是      . 15．   如圖，矩形中，，，是矩形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)距離為1，則的最小值為_____________．16．   已知圓錐體積為，高為4，過(guò)頂點(diǎn)作截面，若平面與底面所成的銳二面角的余弦值為，圓錐被平面截得的兩個(gè)幾何體設(shè)為.若的體積為（其中），則_____________．四、 解答題（本題共6小題．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．   在①； ②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．問(wèn)題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，若已知，，_____________，求的值．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一解答計(jì)分．）18．   已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，．(1)    求的通項(xiàng)公式；(2)    若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．   某公司有車牌尾號(hào)為3的汽車和尾號(hào)為5的汽車，兩車分屬于兩個(gè)獨(dú)立業(yè)務(wù)部門(mén).對(duì)一段時(shí)間內(nèi)兩輛汽車的用車記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，在非限行日，車日出車頻率0.6，B車日出車頻率0.6．該地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：車尾號(hào)0和91和82和73和64和5限行日星期一星期二星期三星期四星期五現(xiàn)將汽車日出車頻率理解為日出車概率，且，兩車出車相互獨(dú)立.(1)    求該單位在星期二至少出車一臺(tái)的概率；(2)    設(shè)表示該單位在星期三、星期四和星期五三天的出車臺(tái)數(shù)之和，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.20．   如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面底面，且側(cè)面為菱形，． (1)    求二面角所成角的正弦值．(2)    分別是棱的中點(diǎn)，又.求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面截三棱柱的截面的周長(zhǎng)。     21．   已知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是．(1)    求橢圓的方程；(2)    過(guò)原點(diǎn)的直線與線段AB相交（不含端點(diǎn)）且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.   22．   已知函數(shù)．(1)    求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)    當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．        西南大學(xué)附屬中學(xué)校高2021級(jí)第四次月考數(shù)學(xué)試題參考答案
一、選擇題：本題共8小題。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1—6：B  C  D  B  C  D   7—8   A   A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．AD  10．ABD  11．AC  12．ACD三、填空題：本題共4小題。13．      14．0,         15．     16． 部分解答：7.因?yàn)?/span>是正三角形且是的內(nèi)心，所以也是的重心.設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為H，所以，即又因?yàn)?/span>，所以,即直線，將直線代入雙曲線C解得，在中8. 因?yàn)楫?dāng)，所以設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；又時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，，選A11. A選項(xiàng)：因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，，所以，則為等邊三角形。又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以,又又因?yàn)?/span>所以，即所以，又因?yàn)?/span>所以平面，又平面，所以，所以A正確B選項(xiàng):作的中點(diǎn)，連接因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>,所以,所以又即，所以是定值，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng):與的夾角也就與的夾角，即,又所以，又因?yàn)楫惷嬷本€額夾角范圍為所以，所以C選項(xiàng)正確D選項(xiàng):要使最大，即高最大，則因?yàn)?/span>,所以則,所以在直角三角形中,為斜邊，取斜邊上中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)所以，又平面，所以平面，平面所以，所以為外接球的球心，半徑，又，，所以外接球的表面積為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤。12.解：A選項(xiàng):∵“元周期函數(shù)”的“元周期”為，，，故它是周期為2的周期函數(shù)，故A正確；B選項(xiàng) ：若函數(shù)是“元周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)，使，即恒成立，故成立，但無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng) ：常數(shù)函數(shù)是“元周期函數(shù)”, 則存在非零常數(shù)，使，即恒成立, 時(shí)恒成立，故C正確；D選項(xiàng):若函數(shù)是“元周期函數(shù)”， 則存在非零常數(shù)，則，即恒成立，故恒成立，即恒成立，故，可得或，故或，故D正確．所故選：ACD16. 設(shè)平面與底面的交線為,底面圓心為點(diǎn)，設(shè)底面圓半徑為。由，即于點(diǎn)，則余弦值為，即，又,則。切四次剩下一個(gè)正四棱錐，其高，底邊為的正方形。四、解答題：本題共6小題。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解：若選①：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以所以即所以，因?yàn)?/span>，所以．所以，所以，所以，所以．若選②：因?yàn)?/span>，所以，所以因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以．若選③：因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以．18.（1）由得，．所以為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，．（2）由題意  ,則的前項(xiàng)和為．19.（1）設(shè)車在星期出車的事件為，車在星期出車的事件為，，2，3，4，5.   由已知可得，設(shè)該單位在星期二至少出一臺(tái)車的事件為，因?yàn)?/span>，兩車是否出車相互獨(dú)立，且事件，,互斥，所以該單位在星期二至少出一臺(tái)車的概率為0.84（2）的可能取值為0，1，2，3，4所以的的分布列為X01234P0.02560.15360.34560.34560.1296.20.（1）解：連接，∵側(cè)面為菱形，∴為正三角形∴∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面∴底面∵底面為正三角形，為的中點(diǎn)∴以未坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形∴，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由得，令，得∴又易只為平面ABC的一個(gè)法向量。∴．所以二面角所成角的正弦值為．(2)連接,分別是棱的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面截三棱柱的截面即為平面，其中，在中，因?yàn)?/span>三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面為菱形， ，由余弦定理得，取的中點(diǎn),連接,四邊形為平行四邊形，,又因?yàn)?/span>側(cè)面為菱形，為兩個(gè)全等的等邊三角形，連接又因?yàn)?/span>又因?yàn)?/span>側(cè)面底面，且側(cè)面底面,平面，又平面,又因?yàn)?/span>,,即，所以截面的周長(zhǎng)為：21.（1）直線與x軸交于點(diǎn),所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因?yàn)?/span>到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB（不含端點(diǎn)）相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當(dāng),即時(shí),，因此四邊形面積的最大值為.22（1）由函數(shù)的定義域是，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，且不恒為0．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，方程的兩根依次為，，此時(shí)在區(qū)間，上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，方程的兩根依次為，，此時(shí)在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?/span>，，所以存在使得，即，即．故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，，所以．所以,即,

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