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矩形的兩條對角線的夾角為，較短的邊長為，則對角線長為______．如圖，為坐標原點，四邊形為矩形，，，點是的中點，點在上運動，當是以為腰的等腰三角形時，則點的坐標為______．
如圖，有一個長為，寬為，高為的長方體木箱，一根長的木棍______放入填“能”或“不能”．
觀察下列各式：請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數的代數式表達出來______． 三、解答題（本大題共7小題，共72分）計算：
；
．正方形的邊長為，它的面積與長為、寬為的長方形的面積相等，求的值．如圖，、是平行四邊形的對角線上的兩點，求證：四邊形是平行四邊形．如圖，已知，，，，，求圖中陰影部分的面積．
如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點，且．
求菱形的周長；
若，求的長．
已知點，，，分別是正方形各邊上的中點，四邊形是什么四邊形？請說明理由．
以四邊形的邊、為邊分別向外側作等邊三角形和，連接、，交點為．
當四邊形為正方形時如圖，和的數量關系是______；
當四邊形為矩形時如圖，和具有怎樣的數量關系？請加以證明；
四邊形由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，是否發(fā)生變化？如果改變，請說明理由；如果不變，請在圖中求出的度數．
答案和解析 1.【答案】【解析】解：根據題意，得
，
解得．
故選：．
根據二次根式有意義，被開方數大于等于，列不等式求解．
本題主要考查二次根式有意義的條件的知識點，代數式的意義一般從三個方面考慮：當代數式是整式時，字母可取全體實數；當代數式是分式時，分式的分母不能為；當代數式是二次根式時，被開方數為非負數．
2.【答案】【解析】解：、是最簡二次根式；
B、，可化簡；
C、，可化簡；
D、，可化簡；
故選：．
判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則不是．
最簡二次根式是本節(jié)的一個重要概念，也是中考的常考點．最簡二次根式應該是：根式里沒分母或小數，分母里沒根式．被開方數中不含開得盡方的因數或因式．被開方數是多項式時，還需將被開方數進行因式分解，然后再觀察判斷．
3.【答案】【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，
它的周長為：，
故選：．
根據平行四邊形的性質可得，，進而可得周長．
此題主要考查了平行四邊形的性質，關鍵是掌握平行四邊形的性質：邊：平行四邊形的對邊相等．角：平行四邊形的對角相等．對角線：平行四邊形的對角線互相平分．
4.【答案】【解析】解：矩形，菱形，正方形都具有的性質：對角線互相平分．故選C．
矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形具有的性質就是矩形，菱形，正方形都具有的性質．
本題主要考查的是對矩形，矩形，菱形，正方形的性質的理解．
5.【答案】【解析】解：、與不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；
B、，故本選項錯誤；
C、，故本選項正確；
D、，故本選項錯誤．
故選：．
根據二次根式的加減法對各選項進行逐一分析即可．
本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合并，合并方法為系數相加減，根式不變是解答此題的關鍵．
6.【答案】【解析】解：由勾股定理的逆定理分析得，只有中有，故選C．
根據勾股定理的逆定理進行分析，從而得到答案．
本題考查了直角三角形的判定．
7.【答案】【解析】 【分析】
本題考查平行四邊形的判定，需注意一組對邊相等，另一組對邊相互平行的四邊形不一定是平行四邊形，等腰梯形也滿足該條件．根據平行四邊形的判定定理進行判斷．
【解答】
解： “ ， ”是四邊形 的一組對邊平行，另一組對邊相等，該四邊形可以是等腰梯形，不可以判定四邊形 是平行四邊形．故本選項符合題意；
B. 根據“ ， ”可以判定 ，由“兩組對邊相互平行的四邊形為平行四邊形”可以判定四邊形 為平行四邊形．故本選項不符合題意；
C. “ ， ”是四邊形 的一組對邊平行且相等，可以判定四邊形 是平行四邊形．故本選項不符合題意；
D. “ ， ”是四邊形 的兩組對角相等，可以判定四邊形 是平行四邊形；故本選項不合題意；
故選 A ． 8.【答案】【解析】解：連接，如圖所示：
四邊形是平行四邊形，
，，，，，，
，
，
點為中點，
，故正確；
、、分別是、、的中點，
，，
，，
，
，故正確；
，，
四邊形是平行四邊形，
，
即，故正確；
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正確；
故選：．
由平行四邊形性質和等腰三角形“三線合一”即可得，根據三角形中位線定理可得；由直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半可得，即可得；連接，可證四邊形是平行四邊形，即可得；由三角形中位線定理可證得，進而可得，證出得得出，即可得出結論．
本題考查了平行四邊形性質和判定，三角形中位線定理，三角形面積，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形性質等知識；熟練運用三角形中位線定理、等腰三角形的性質是解題關鍵．
9.【答案】【解析】解：，
又，
．
故答案為：．
先把化成，再進行比較即可．
此題主要考查了實數大小比較的方法，要熟練掌握，把化成是解題的關鍵．
10.【答案】 【解析】解：由題意得，，，
解得，，，
故答案為：，．
根據非負數的性質分別求出、即可．
本題考查的是非負數的性質，掌握非負數之和等于時，各項都等于是解題的關鍵．
11.【答案】；【解析】解：最簡二次根式與是同類二次根式，
，解得．
根據同類二次根式的概念列出方程組求解即可．
此題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式．
12.【答案】兩個角相等三角形是等腰三角形；真【解析】解：因為原命題的題設是：“一個三角形是等腰三角形”，結論是“這個三角形兩底角相等”，
所以命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“兩個角相等三角形是等腰三角形”，是真命題．
故答案為：兩個角相等三角形是等腰三角形，真．
先找到原命題的題設和結論，再將題設和結論互換，即可而得到原命題的逆命題，繼而也能判斷出真假．
本題考查逆命題的知識，屬于基礎題，根據逆命題的概念來回答：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題．
13.【答案】或【解析】解：，
四邊形為平行四邊形
故答案為：，即為要增加的條件，任選一個．
要使，需使四邊形為平行四邊形，已有，再加，或都可使其為平行四邊形．
主要考查平行四邊形的判定：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
14.【答案】【解析】解：，，，
原式
．
故答案為：．
由數軸可得到，，，根據和絕對值的性質即可得到答案．
本題考查了二次根式的性質與化簡：也考查了絕對值的性質．
15.【答案】【解析】解：如圖，點、分別是、的中點
．
同理可得：
，，
．
則三條中位線構成的三角形的周長為．
故答案為：．
根據三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．即可求得結果．
本題考查了三角形中位線定理，解決本題的關鍵是掌握三角形中位線定理．
16.【答案】【解析】解：該紙條是折疊的，
的同位角的補角；
矩形的上下對邊是平行的，
的同位角．
根據平行線的性質，折疊變換的性質及鄰補角的定義可直接解答．
本題主要考查平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；鄰補角的定義；折疊變換的性質．
17.【答案】【解析】解：如圖：，．
四邊形是矩形，，是對角線．
．
在中，，．
，．
故答案為：．
根據矩形對角線相等且互相平分性質和題中條件易得為等邊三角形，即可得到矩形對角線一半長，進而求解即可．
矩形的兩對角線所夾的角為，那么對角線的一邊和兩條對角線的一半組成等邊三角形．本題比較簡單，根據矩形的性質解答即可．
18.【答案】或或【解析】解：四邊形為矩形，，，
，，
點是的中點，
，
若點是等腰頂角頂點時，點就是以點為圓心，以為半徑的弧與的交點，
在中，，
則的坐標是．
若是等腰頂角頂點時，點就是以點為圓心，以為半徑的弧與的交點，
過作于點，
在中，，
當在的左邊時，，則的坐標是；
當在的右側時，，則的坐標是．
綜上所述，的坐標為：或或．
故答案為：或或．
分兩種情況：若點是等腰頂角頂點時，由勾股定理求出求出，若是等腰頂角頂點時，由勾股定理求出；分別得出在的左邊和在的右側時點的坐標即可．
此題考查了矩形的性質、坐標與圖形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質，進行分類討論是解決問題的關鍵．
19.【答案】能【解析】解：可設放入長方體盒子中的最大長度是，
根據題意，得，
，
因為，所以能放進去．
故答案是：能．
在長方體的盒子中，一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大，根據木箱的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進行比較．
本題考查了勾股定理的應用．解題的關鍵是求出木箱內木棒的最大長度．
20.【答案】【解析】解：；
；
．
故答案為：．
觀察分析可得：；；則將此題規(guī)律用含自然數的等式表示出來
本題考查學生通過觀察、歸納、抽象出數列的規(guī)律的能力，要求學生首先分析題意，找到規(guī)律，并進行推導得出答案．本題的關鍵是根據數據的規(guī)律得到．
21.【答案】解：
；
．【解析】先算除法，負整數指數冪，再算加減，即可解答．
先算乘法，再算加減，即可解答．
本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，負整數指數冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
22.【答案】解：長方形的面積，
正方形的面積為，
，
．【解析】長方形的面積為，正方形的面積為，故，即可求．
本題考查了算術平方根，關鍵是根據題意列出．
23.【答案】證明：連接，交于點，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
即，
四邊形是平行四邊形．【解析】首先連接，交于點，由四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分，即可求得，，又由，可得，然后根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
此題考查了平行四邊形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．
24.【答案】解：在中，，，，
，
取正值．
在中，，，
，
為直角三角形；
．
故圖中陰影部分的面積是．【解析】先根據勾股定理求出的長，再根據勾股定理的逆定理即可證明為直角三角形；根據，利用三角形的面積公式計算即可求解．
本題考查的是勾股定理的運用和勾股定理的逆定理運用，解題的關鍵是根據勾股定理求出的長，再根據勾股定理的逆定理判斷出為直角三角形．
25.【答案】解：四邊形是菱形，，
菱形的周長；
四邊形是菱形，，
，，
，
【解析】由菱形的四邊相等即可求出其周長；
利用勾股定理可求出的長，進而解答即可．
本題主要考查菱形的性質，能夠利用勾股定理求出的長是解題關鍵．
26.【答案】解：四邊形是正方形，理由如下：
連接、，如圖所示：
四邊形是正方形，
，，
點，，，分別是正方形各邊上的中點，
是的中位線，
，，
同理：，，
，，
，，
，
四邊形是菱形，
又，
，
四邊形正方形．【解析】本題考查了正方形的判定與性質、三角形中位線定理等知識；熟練掌握正方形的判定和三角形中位線定理是解題的關鍵．
由三角形中位線定理和正方形的性質得出，，即可得出四邊形正方形．
27.【答案】解：
．
證：為等邊三角形
，
為等邊三角形，
，
，
即
≌
；
解：
同易證：≌，
，
設為，則也為
于是有為，為，
．【解析】，
理由如下：
四邊形為正方形，
，
以四邊形的邊、為邊分別向外側作等邊三角形和，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
．
證：為等邊三角形
，
為等邊三角形，
，
，
即
≌
；
解：
同易證：≌，
，
設為，則也為
于是有為，為，
．
，利用正方形的性質、等邊三角形的性質和全等三角形的證明方法可證明≌，由全等三角形的性質即可得到；
當四邊形為矩形時，和仍舊相等，證明的思路同；
四邊形由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，不發(fā)生變化，是一定值，為．
本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質以及矩形的性質，題目的綜合性很強，難度也不小，解題的關鍵是對特殊幾何圖形的性質要準確掌握．
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