初三-幾何模型練習冊（一）一、角平分線四大模型【模型1】過角平分線上的點向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B。結(jié)論：PB=PA，△AOP≌△BOP。 【模型專練】1.（1）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么點D到直線AB的距離是     ；（2）如圖，∠1=∠2，∠3=∠4。 求證：AP平分∠BAC。  2．如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。    3．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=      。  4. 如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊上的點，CE=BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等，求證：AD平分∠BAC。  5、如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD。求證：AC平分∠BAD。 6、如圖，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于點C，∠A=∠GBD。求證：AO+BO=2CO。     【模型2】截取構(gòu)造對稱全等 如圖，P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論：△OPB≌△OPA。  【模型專練】1.（1）如圖①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由； （2）如圖②所示， AD是△ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB的大小，并說明理由。  2．已知，在△ABC中，，AD是的平分線，AC=16，AB=8。 求線段BD、CD的長。  3．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。 求證：BC=AB+CD。   4、已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=60o，△ABC的角平分線AD，CE交于點O．求證：AC=AE+CD．   5．如圖所示，在△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至E，DE=AD。求證：BC=AB+CE。  6、如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，求證：AD＋BD＝BC。     7、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求證：。 【模型3】角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形 如圖，P是∠MO的平分線上一點，AP⊥OP于P點，延長AP于點B。結(jié)論：△AOB是等腰三角形；△APO≌△BPO。【模型專練】1. 如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E。求證：BD=2CE。 2．如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D。求證：∠2=∠1+∠C。  3．如圖，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于點E。 求證：。【模型4】角平分線+平行線得等腰三角形如圖，P是∠MO的平分線上一點，過點P作PQ∥ON，交OM于點Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形。【模型專練】1、解答下列問題：（1）如圖①所示，在△ABC中，EF∥BC，點D在EF上，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于點E，交AC于點F，線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由。（3）如圖③所示，BD、CD分別為外角∠CBM、∠BCN的平分線，，DE∥BC交AB延長線于點E，交AC延長線于點F，直接寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？     2、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。  3、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E、F分別在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD。求證：EF=AC。  三、旋轉(zhuǎn)手拉手【模型5】旋轉(zhuǎn)手拉手如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。結(jié)論：△BAD≌△CAE。    【模型專練】1．如圖，△ADC與△EDC都為等腰直角三角形，連接AG、CE，相交于點H，問：（1）AG與CE是否相等？（2）AG與CE之間的夾角為多少度？    2、如圖，△BCE和△ABD是兩個等邊三角形，且A,B,C在同一條直線上。（1）求證：AE=DC；（2）求證：CN=EM；（3）求證：△BNM為等邊三角形；（4）求證：MN∥AB；（5）若CD和AE的交點為H，請在圖中標出點H，并求∠DHA和∠MHN的度數(shù)；（6）若CD和AE的交點為H，連接BH，則BH平分∠CHA嗎？若平分，請給予證明；若不平分，請說明理由；           3、如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(點E不與A，B重合)。（1）求證：△PFA≌△PEB；（2）求證：△PEF是等腰直角三角形；（3）求證：BE+CF=AB；（4）求證：。    4、兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由。     5、已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求證：OE=OF              四、一線三等角01. 一般化的一線三等角如圖，，，則△ADE≌△EBC。  02. 一線三垂直與弦圖如圖，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BCD≌Rt△CAE。正方形內(nèi)弦圖模型三垂直圖形變形如下圖③、圖④，這是由弦圖演變而來的。             1、（長春）感知：如圖①，點E在正方形ABCD的邊BC上，BF⊥AE于點F，DG⊥AE于點G，可知△ADG≌△BAF．（不要求證明）拓展：如圖②，點B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點E、F在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求證：△ABE≌△CAF．應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為9，則△ABE與△CDF的面積之和為　　　　　　．     2．如圖，∠ACB-90°，AC=BC，BE⊥CE于點D，AD=2.5cm，BE=0.8cm。求DE的長。 3、如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于F。（1）求證：△ACD≌△CBF；（2）連接DF，求證：AB垂直平分DF。    4、如圖，在平面直角坐標系中，等腰Rt△ABC有兩個頂點在坐標軸上， 求第三個頂點的坐標。5、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC的中點，AE⊥BD于點N，CM⊥AE交AE的延長線于點M，連接DE，則下列結(jié)論：①AE+DE=BD；②BN－CM=MN；③∠ADB=∠CDE；④∠BDE=45°。其中，正確的是                。6、如圖1，已知Rt△ABC,∠B=90°，以AC邊作正方形ACMD，多點D做AB邊上的高DE，交BA延長線于點E.⑴證明：△ADE≌△ACB⑵若△ABC為銳角三角形，分別以AC、BC為邊做正方形，如圖2，試判斷線段GF、DE、AB之間的關(guān)系，并證明。⑶若△ABC為鈍角三角形，分別以AC、BC為邊做正方形，如圖3，試判斷線段GF、DE、AB之間的關(guān)系，不需要證明。 五、夾半角旋轉(zhuǎn)★120°夾60° ★1、在等邊三角形的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為三角形ABC外一點，且,,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．               ⑴如圖1，當點M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是            ；若AB=AC=6，則△AMN的周長為       ；                                                                                                      ⑵如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想⑴問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明。小明是這樣思考的：延長MB至H，使得BH＝NC，證△MDN≌△MDH即可。請你幫他補全過程。                                                                                    圖1              圖2         ★90°夾45°★2、已知：正方形中，∠MAN=45°，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N． ⑴如圖1，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，有BM+DN=MN．當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到時，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；⑵當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明．                                          ★2α夾α★3、⑴如圖，已知：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若有∠EAF=45°，求證：。⑵如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； ⑶如圖，若將⑵中的條件改為：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。小明根據(jù)⑴、⑵問的作法，發(fā)現(xiàn)AB=AD，延長DF至N，使得DN＝BC，連接AN。先證△ABE≌△AND，再證△AFN≌△AFE，發(fā)現(xiàn)題中結(jié)論是錯誤的，你能幫他寫完證明過程嗎？并寫出正確的結(jié)論嗎？   4、如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且，求證：。  5、如圖，△ABD為等腰直角三角形，AB=AD，，求證：以、、為邊的三角形是直角三角形。  6、如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是線段BC、CD上的點，且BE+FD=EF. 求證：.    7、已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N。（1）當扇形CEF繞點C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖1，求證：MN2 ＝ AM2＋BN2；（2）當扇形GEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，關(guān)系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.        六、截長補短-線段和差關(guān)系證明的基本思路對截長補短的理解：給定三條線段a,,b,c。其中：。以這三條線段為例，闡述截長法和補短法的具體做法。①截長法：示例一：截長法。在線段c上截取，再證：即可。【自己配圖如下】：   ②補短法：       1、如下圖，已知四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。         2、⑴在中，的平分線交于，，，求的大小。  ⑵如圖，在中，，的平分線交于點。求證：。       ⑶已知：在中，，，求證：。         

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