?2020-2021學(xué)年浙江省杭州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一.選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.
1．（5分）設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，M＝{x||x|≥2}，N＝{x|1＜x＜3}，則圖中陰影部分所表示的集合是（　?。?br />
A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜2}
2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi＝1﹣2i（i是虛數(shù)單位），則z＝（　?。?br /> A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝sin2，則（　　）
A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
4．（5分）風(fēng)光秀麗的千島湖盛產(chǎn)鳙魚，記鳙魚在湖中的游速為vm/s，鳙魚在湖中的耗氧量的單位數(shù)為x，已知鳙魚的游速v與log2（x≥100）成正比，當(dāng)鳙魚的耗氧量為200單位時，其游速為m/s．若某條鳙魚的游速提高了1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的（　?。?br /> A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
5．（5分）兩個體積分別為V1，V2的幾何體夾在兩個平行平面之間，任意一個平行于這兩個平面的平面截這兩個幾何體，截得的截面面積分別為S1，S2，則“V1＝V2“是“S1＝S2”的（　?。?br />
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（5分）如圖，一個半徑為2的水輪，圓心O距離水面1米，水輪做勻速圓周運(yùn)動，每分鐘逆時針旋轉(zhuǎn)4圈．水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y（米）與時間x（秒）滿足y＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0），則（　?。?br />
A．ω B．A＝3 C．k＝2 D．φ＝0
7．（5分）如圖是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的．已知圖中正方形ABCD的邊長為1，∠DAE＝θ，則小正方形EFGH的面積為（　?。?br />
A．1﹣sin2θ B．1﹣cos2θ C．1﹣2sinθ D．1﹣2cosθ
8．（5分）設(shè)x0∈R，△x＞0，函數(shù)f（x）滿足，n∈N*，則函數(shù)y＝f（x）可能是（其中a＞0且a≠1）（　?。?br /> A．f（x）＝ax B．f（x）＝xa C．f（x）＝ax D．f（x）＝logax
二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
（多選）9．（5分）已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，則（　?。?br /> A．b＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．c＞0 D．a(chǎn)+b＝0
（多選）10．（5分）已知平面向量，，若||＝3，||，?6，則（　　）
A．
B．向量與向量的夾角為
C．
D．向量與向量的夾角為
（多選）11．（5分）已知某湖泊藍(lán)藻面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）滿足y＝at.若第1個月的藍(lán)藻面積為2m2，則（　　）
A．藍(lán)藻面積每個月的增長率為100%
B．藍(lán)藻每個月增加的面積都相等
C．第6個月時，藍(lán)藻面積就會超過60m2
D．若藍(lán)藻面積到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則t1+t2＝t3
（多選）12．（5分）某演講比賽冠軍獎杯由一個水晶球和一個金屬底座組成（如圖①）．已知球的體積為，金屬底座是由邊長為4的正三角形ABC沿各邊中點(diǎn)的連線向上垂直折疊而圍成的幾何體（如圖 ②），則（　?。?br />
A．A，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面
B．經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的球的截面圓的面積為
C．直線AD與平面DEF所成的角為
D．獎杯整體高度為
三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知lg2＝a，lg3＝b，則log212＝　 ?。ㄓ胊，b表示）．
14．（5分）半正多面體亦稱為“阿基米德多面體“，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，如圖所示．這是一個將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共截去八個三棱，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”花崗巖石凳，已知此石凳的棱長為，則此石積的體積是 　 　cm3．

15．（5分）已知區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)為M，如圖1，將線段AB圍成一個圓（端點(diǎn)A，B重合），如圖2，再將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3，直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），把m與n的函數(shù)關(guān)系記作n＝f（m），則方程f（x）＝﹣1的解是x＝　 　．

16．（5分）已知||＝1，向量滿足||?，當(dāng)向量，夾角最大時，||＝　 　．
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）在①a，②ScosB，③C這三個條件中任選﹣一個，補(bǔ)充在下面問題中，并對其進(jìn)行求解．
問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，bcosA＝acosC+ccosA，b＝1，_____，求c的值．
18．（12分）如圖，在△OAB中，P為邊AB上的一點(diǎn)，且與的夾角為60°．
（1）設(shè)，求x，y的值；
（2）求的值．

19．（12分）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都相等，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．
（1）求證：AA1⊥BD；
（2）求直線A1B與平面AA1D1D所成角的正弦值．

20．（12分）如圖是函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象，f（0）＝f（），f（）＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象向右平移，得函數(shù)g（x），記h（x）＝f（x）+g（x），求h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

21．（12分）將一張長8cm，寬6cm的長方形紙片沿著直線MN折疊，折痕MN將紙片分成兩部分，面積分別為S1cm2，S2cm2．設(shè)MN＝lcm．若S1：S2＝1：2，求l的取值范圍．

22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|+a|x﹣2|（a＞0），方程f（x）＝t有三個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．
（1）當(dāng)a＝2時，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t＝2時，求正數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

2020-2021學(xué)年浙江省杭州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.
1．（5分）設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，M＝{x||x|≥2}，N＝{x|1＜x＜3}，則圖中陰影部分所表示的集合是（　?。?br />
A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜2}
【解答】解：∵M(jìn)＝{x||x|≥2}＝{x|x≥2或x≤﹣2}N＝{x|1＜x＜3}
∵陰影部分表示集合（?UM）∩N，
∴陰影部分表示的集合是（1，2）．
故選：C．
2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi＝1﹣2i（i是虛數(shù)單位），則z＝（　?。?br /> A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足zi＝1﹣2i，
所以．
故選：D．
3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝sin2，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【解答】解：∵，
∴a＜c＜b，
故選：B．
4．（5分）風(fēng)光秀麗的千島湖盛產(chǎn)鳙魚，記鳙魚在湖中的游速為vm/s，鳙魚在湖中的耗氧量的單位數(shù)為x，已知鳙魚的游速v與log2（x≥100）成正比，當(dāng)鳙魚的耗氧量為200單位時，其游速為m/s．若某條鳙魚的游速提高了1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的（　?。?br /> A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
【解答】解：∵鳙魚的游速v與log2（x≥100）成正比，
∴，
∵當(dāng)x＝200時，v，
∴，解得k，
∴，
設(shè)鳙魚開始的速度為v0，耗氧的單位數(shù)為x0，提速后的速度為v1，提速后的耗氧的單位數(shù)為x1，
∵
又∵，
∴x1＝4x0，
故選：B．
5．（5分）兩個體積分別為V1，V2的幾何體夾在兩個平行平面之間，任意一個平行于這兩個平面的平面截這兩個幾何體，截得的截面面積分別為S1，S2，則“V1＝V2“是“S1＝S2”的（　?。?br />
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：根據(jù)祖暅原理，
①由S1＝S2，得到V1＝V2，∴必要性成立，
②由V1＝V2，則只需要底面積和高相等即可，則S1，S2不一定相等，∴充分性不成立，
∴V1＝V2是S1＝S2的必要不充分條件，
故選：B．
6．（5分）如圖，一個半徑為2的水輪，圓心O距離水面1米，水輪做勻速圓周運(yùn)動，每分鐘逆時針旋轉(zhuǎn)4圈．水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y（米）與時間x（秒）滿足y＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0），則（　?。?br />
A．ω B．A＝3 C．k＝2 D．φ＝0
【解答】解：∵水輪的半徑為2，水輪圓心O距離水面1m，由題意可得，
∴解得A＝2，k＝1，可得B，C選項(xiàng)錯誤，
又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，故轉(zhuǎn)一圈需要15秒，
∴T＝15，
∴ω，可得A正確，
又由題意，未指明初始位置φ的值無法確定，故D錯誤．
故選：A．
7．（5分）如圖是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的．已知圖中正方形ABCD的邊長為1，∠DAE＝θ，則小正方形EFGH的面積為（　?。?br />
A．1﹣sin2θ B．1﹣cos2θ C．1﹣2sinθ D．1﹣2cosθ
【解答】解：正方形ABCD中，AD＝1，∠DAE＝θ，
所以DH＝ADsin∠DAE＝sinθ，
AH＝ADcos∠DAE＝cosθ，
又因?yàn)镽t△ADH≌Rt△BAE≌Rt△CBF≌Rt△DCG，
所以GH＝DH﹣AH＝sinθ﹣cosθ，
所以小正方形EFGH的面積為：
S＝GH2＝（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ﹣2sinθcosθ+cos2θ＝1﹣sin2θ．
故選：A．
8．（5分）設(shè)x0∈R，△x＞0，函數(shù)f（x）滿足，n∈N*，則函數(shù)y＝f（x）可能是（其中a＞0且a≠1）（　　）
A．f（x）＝ax B．f（x）＝xa C．f（x）＝ax D．f（x）＝logax
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足，n∈N*，
當(dāng)f（x）＝ax時，a△x．
故選：C．
二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
（多選）9．（5分）已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，則（　?。?br /> A．b＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．c＞0 D．a(chǎn)+b＝0
【解答】解：不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，
所以a＜0且，
解得b＝﹣a，c＝﹣2a；
所以a+b＝0，選項(xiàng)D正確；
設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，且a＜0，
且函數(shù)的零點(diǎn)是﹣1和2，所以f（1）＝a+b+c＞0，選項(xiàng)B正確；
因?yàn)閏＝﹣2a＞0，所以選項(xiàng)C正確；
因?yàn)閎＝﹣a＞0，所以選項(xiàng)A錯誤．
故選：BCD．
（多選）10．（5分）已知平面向量，，若||＝3，||，?6，則（　?。?br /> A．
B．向量與向量的夾角為
C．
D．向量與向量的夾角為
【解答】解：∵||，
∴13，
∵||＝3，?6，
∴，故A選項(xiàng)正確，
，
∴向量與的夾角為，故選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)D正確，
9+12+16＝37，故選項(xiàng)C錯誤，
故正確的選項(xiàng)為AD．
故選：AD．
（多選）11．（5分）已知某湖泊藍(lán)藻面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）滿足y＝at.若第1個月的藍(lán)藻面積為2m2，則（　?。?br /> A．藍(lán)藻面積每個月的增長率為100%
B．藍(lán)藻每個月增加的面積都相等
C．第6個月時，藍(lán)藻面積就會超過60m2
D．若藍(lán)藻面積到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則t1+t2＝t3
【解答】解：由題意可知，函數(shù)y＝at 圖象經(jīng)過（1，2），即a1＝2，
∴a＝2，
∴y＝2t，
∵2t+1﹣2t＝2t，
∴藍(lán)藻每個月的面積時上個月的2倍，
∴每個月的增長率為100%，故A選項(xiàng)正確，
∵2t+1﹣2t＝2t，即每個月增長量為2t，非常數(shù)，故B選項(xiàng)錯誤，
當(dāng)t＝6時，y＝26＝64＞60，故C選項(xiàng)正確，
∵若藍(lán)藻面積到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，
∴，
∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，
∴t1+t2＝log22+log23＝log26＝t3，故D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
（多選）12．（5分）某演講比賽冠軍獎杯由一個水晶球和一個金屬底座組成（如圖①）．已知球的體積為，金屬底座是由邊長為4的正三角形ABC沿各邊中點(diǎn)的連線向上垂直折疊而圍成的幾何體（如圖 ②），則（　?。?br />
A．A，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面
B．經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的球的截面圓的面積為
C．直線AD與平面DEF所成的角為
D．獎杯整體高度為
【解答】解：根據(jù)圖形的形成可知，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在底面DEF上的射影分別是△DEF三邊的中點(diǎn)，如圖所示，
則△ABC與△MNP全等且所在的面平行，
平面ABNM∩平面ABC＝AB，平面ABNM∩平面DEF＝MN，
所以MN∥AB，又MN∥DF，
所以AB∥DF，
故A，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共面，
故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)椤鰽BC與△MNP全等且所在的面平行，所以截面圓就是△ABC的外接圓與△MNP的外接圓相同，
由題意可知，△MNP的邊長為1，其外接圓的半徑為，
則經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的球的截面圓的面積為，
故選項(xiàng)B錯誤；
由平面ADE與平面DEF垂直可知，AE在平面AEF內(nèi)的射影是DE，
所以∠ADE為直線AD與平面DEF所成的角，則∠ADE，
所以直線AD與平面DEF所成的角為，
故選項(xiàng)C正確；
因?yàn)锳B＝BC＝CA＝1，設(shè)O為球心，半徑為R，
則，解得R＝1，
所以O(shè)﹣ABC是正四面體，棱長為1，
設(shè)H為△ABC的外心，則OH⊥平面ABC，
又CH?平面ABC，
所以O(shè)H⊥CH，
又，則，
又AM，
所以獎杯整體高度為，
故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知lg2＝a，lg3＝b，則log212＝　　（用a，b表示）．
【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴l(xiāng)og212．
故答案為：．
14．（5分）半正多面體亦稱為“阿基米德多面體“，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，如圖所示．這是一個將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共截去八個三棱，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”花崗巖石凳，已知此石凳的棱長為，則此石積的體積是 　　cm3．

【解答】解：如圖所示，該石凳是由棱長為40cm的正方體
沿各棱中點(diǎn)截去8個三棱錐所得到的，
∴該石凳的體積為：Vcm3．
故答案為：cm3．

15．（5分）已知區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)為M，如圖1，將線段AB圍成一個圓（端點(diǎn)A，B重合），如圖2，再將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3，直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），把m與n的函數(shù)關(guān)系記作n＝f（m），則方程f（x）＝﹣1的解是x＝　?。?br />
【解答】解：由題意知，N（﹣1，0），A（0，1），
故△NOA為等腰直角三角形，
故∠NAO，故弦AM對應(yīng)的圓心角為，
故是圓周長的，即m，
故方程f（x）＝﹣1的解是x，
故答案為：．
16．（5分）已知||＝1，向量滿足||?，當(dāng)向量，夾角最大時，||＝　?。?br /> 【解答】解：設(shè)（1，0），，
∵||?，
∴，化簡后可得y2＝2x﹣1，，
∴，
，
設(shè)t，即0＜t≤2，則，當(dāng)t＝1，即x＝1，
取得最小值，即向量，夾角最大時，
∴．
故答案為：．
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）在①a，②ScosB，③C這三個條件中任選﹣一個，補(bǔ)充在下面問題中，并對其進(jìn)行求解．
問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，bcosA＝acosC+ccosA，b＝1，_____，求c的值．
【解答】解：在△ABC中，因?yàn)椋?br /> 所以根據(jù)正弦定理得，
所以，
因?yàn)閟inB≠0，
所以，
選擇①，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得，
解得，
選擇②，，
所以
所以，即，
解得，
選擇③，，因?yàn)椋?br /> 所以由，得c33．
18．（12分）如圖，在△OAB中，P為邊AB上的一點(diǎn)，且與的夾角為60°．
（1）設(shè)，求x，y的值；
（2）求的值．

【解答】解：（1）∵2，∴（），
∴（），
∴x，y．
（2）∵36，2＝4，6×2×cos60°＝6，
∴（）?（）242．
19．（12分）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都相等，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．
（1）求證：AA1⊥BD；
（2）求直線A1B與平面AA1D1D所成角的正弦值．

【解答】（1）證明：取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OA1，
因?yàn)锳BCD為菱形，則BD⊥AO，
因?yàn)椤螦1AB＝∠A1AD，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長都相等，
則A1D＝A1B，O為BD的中點(diǎn)，則BD⊥A1O，
又A1O∩AO＝O，A1O，AO?平面A1AO，
所以BD⊥平面A1AO，
又A1A?平面A1AO，
所以BD⊥A1A；
（2）解：由題意可知，B﹣A1AD為正四面體，
在正四面體B﹣A1AD中，設(shè)頂點(diǎn)B在底面正三角形A1AD中的射影為O'，連結(jié)A1O'，
則∠BA1O'即為直線A1B與平面AA1D1D所成的角，
設(shè)A1B＝1，則，則，
在Rt△BA1O'中，sin∠BA1O'，
所以直線A1B與平面AA1D1D所成角的正弦值為．

20．（12分）如圖是函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象，f（0）＝f（），f（）＝0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）的圖象向右平移，得函數(shù)g（x），記h（x）＝f（x）+g（x），求h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

【解答】解：（1）由函數(shù)的圖象頂點(diǎn)可得A＝2，
∵f（0）＝f（），
∴f（x）關(guān)于x稱軸，
那么周期T，
可得T＝π，
則ω，
∴y＝2sin（2x+φ），圖象過點(diǎn)（，﹣2），
可得﹣2＝2sin（φ），
∵|φ|＜π，
∴φ．
故得f（x）的解析式為；f（x）＝2sin（2x）．
（2）f（x）的圖象向右平移，得y＝2sin[2（x）]＝2sin2x．
∴函數(shù)g（x）＝2sin2x，
h（x）＝f（x）+g（x）＝f（x）＝2sin（2x）+2sin2x＝2sin2xcos2cos2xsin2sin2x
cos2x+sin2x
＝2sin（2x）
令2x，k∈Z，
可得x，
∴h（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[，]，k∈Z．
21．（12分）將一張長8cm，寬6cm的長方形紙片沿著直線MN折疊，折痕MN將紙片分成兩部分，面積分別為S1cm2，S2cm2．設(shè)MN＝lcm．若S1：S2＝1：2，求l的取值范圍．

【解答】解：∵長方形的長為8，寬為6，
∴長方形的面積為S＝6×8＝48，
∵S1：S2＝1：2，
∴S1＝16，S2＝32，
當(dāng)折痕為情形①時，設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，
∴，即xy＝32，可得y，
∵0≤x≤8，且，
∴，
由勾股定理可得，，
設(shè)g（x），，
觀察可知g（x）為對勾函數(shù)，
當(dāng) 時，即x，滿足定義域，即g（x）min＝32+32＝64，
當(dāng)x＝8時，g（x）max＝64+16＝80，
∴l(xiāng)的取值范圍為[]，
當(dāng)折痕為情形②時，設(shè)AM＝x，DN＝y(tǒng)，
∴，即，
∵0≤x≤8，且0，
∴，
∵，
當(dāng)x時，l2 為最小值36，
當(dāng)x時，l2 為最大值，
∴l(xiāng)的取值范圍為[]，
當(dāng)折痕是情形③時，設(shè)BN＝x，AM＝y(tǒng)，
，即y＝4﹣x，
∵0≤x≤6，且0≤4﹣x≤6，
∴0≤x≤4，
∵l2＝82+（x﹣y）2＝82+4（x﹣2）2，
當(dāng)x＝2時，l2 為最小值64，
當(dāng)x＝4時，l2 為最大值80，
∴l(xiāng)的取值范圍為[]，
綜上所述，l的取值范圍為[6，]．
22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|+a|x﹣2|（a＞0），方程f（x）＝t有三個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．
（1）當(dāng)a＝2時，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t＝2時，求正數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時，，
如圖所示，

易知f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（2）＜t＜f（0），則0＜t＜4；
（2）①當(dāng)0＜a≤2時，，
如圖所示，

f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（a）＜2＜f（0），則2a﹣a2＜2＜2a，解得1＜a≤2；
②當(dāng)a＞2時，，
如圖所示，

f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（2）＜2＜f（0），則2a﹣4＜2＜2a，解得2＜a＜3；
綜上，正數(shù)a的取值范圍為（1，3）；
（3）由（2）可知，
①當(dāng)1＜a≤2時，f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，2）單調(diào)遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞增，
∵f（2）＝4﹣2a＜2，
∴x1，x2為方程﹣x2+2a＝2的兩根，則x1+x2＝0，x3是方程x2﹣2a＝2的正根，則，
∴，則；
②當(dāng)2＜a＜3時，同理，x1，x2為方程﹣x2+2a＝2的兩根，則x1+x2＝0，
f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，a）單調(diào)遞增，在（a，+∞）單調(diào)遞增，f（a）＝a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1，
（i）當(dāng)f（a）≥2，即時，x3是方程﹣x2+2ax﹣2a＝2的較小根，
在單調(diào)遞減，則，
∴；
（ii）當(dāng)f（a）＜2，即時，x3是方程x2﹣2a＝2的正根，故，
∴，則，
綜上，．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/5/26 10:14:13；用戶：高中數(shù)學(xué)；郵箱：sdgs@xyh.com；學(xué)號：28144983

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