導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算專(zhuān)題檢測(cè)1.(2020湖南衡陽(yáng)八中月考,5)已知直線y=-x+m是曲線y=x2-3lnx的一條切線,則m的值為 (　　)A.0　　B.2　　C.1　　D.3答案　B　設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),結(jié)合題意可知y'=2x0-=-1,解得x0=1或x0=-(舍去),將其代入曲線y=x2-3lnx得y0=1,所以切點(diǎn)為(1,1),將其代入切線方程可得1=-1+m,解得m=2.故選B.2.(2019河北唐山二模,8)已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則曲線f(x)在x=2處的切線斜率等于 (　　)A.6　　B.-2　　C.-6　　D.-8答案　B　設(shè)x>0,則-x<0,f(-x)=x2-2x,又f(x)為奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=-x2+2x,x>0,則f'(x)=-2x+2,則f'(2)=-2.故選B.一題多解　當(dāng)x≤0時(shí),f'(x)=2x+2,則f'(-2)=-2,由于f(x)為奇函數(shù),所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以f'(2)=f'(-2)=-2,故曲線f(x)在x=2處的切線斜率為-2,故選B.3.(2019福建福州一模,7)已知函數(shù)f(x)=xsinx,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)f'(x)的部分圖象大致為????????????? (　　)答案　A　由題意知f'(x)=sinx+xcosx,為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),排除C,D,設(shè)g(x)=f'(x),則g'(x)=2cosx-xsinx,則g'(0)=2>0,排除B,故選A.4.(2020江西九江十校4月模擬,10)若曲線y=x4-x3+ax(x>0)存在斜率小于1的切線,則a的取值范圍為????????????? (　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　由題意得y'=4x3-3x2+a<1當(dāng)x>0時(shí)有解.設(shè)f(x)=4x3-3x2+a(x>0),∴f'(x)=12x2-6x=6x(2x-1),令f'(x)<0得0<x<,令f'(x)>0得x>,∴f(x)min=f=a-<1,則a<.故選C.5.(2019廣西南寧二中4月月考,7)如圖所示,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y=kx+3是曲線y=f(x)在x=1處的切線,令h(x)=,h'(x)是h(x)的導(dǎo)函數(shù),則h'(1)的值是????????????? (　　)A.2　　B.1　　C.-1　　D.-3答案　D　由圖象可知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),則k+3=2,k=-1,即f'(1)=-1,且f(1)=2.∵h(x)=,∴h'(x)=,則h'(1)=f'(1)-f(1)=-1-2=-3,故選D.6.(2019湖北武漢4月調(diào)研,12)設(shè)曲線C:y=3x4-2x3-9x2+4,在曲線C上一點(diǎn)M(1,-4)處的切線記為l,則切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為????????????? (　　)A.1　　B.2　　C.3　　D.4答案　C　y'=12x3-6x2-18x,則y'|x=1=12×13-6×12-18×1=-12,∴曲線y=3x4-2x3-9x2+4在點(diǎn)M(1,-4)處的切線方程為y+4=-12(x-1),即12x+y-8=0.聯(lián)立解得或或故切線與曲線C還有其他的公共點(diǎn)(-2,32),,∴切線l與曲線C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C.7.(2018陜西西安八校第一次聯(lián)考,12)曲線y=x3上一點(diǎn)B處的切線l交x軸于點(diǎn)A,△OAB(O為原點(diǎn))是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形,則切線l的傾斜角為????????????? (　　)A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.120°答案　C　對(duì)y=x3求導(dǎo)得y'=3x2,設(shè)切點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),則B點(diǎn)處的切線l的斜率為3,∴切線l的方程為y-=3(x-x0),令y=0,得x=x0,則A.∵△OAB是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形,∴|OA|=|AB|,即=,∴=,∴切線l的斜率為3=,∴切線l的傾斜角為60°,故選C.8.(2020河南新鄉(xiāng)一中二模,12)已知函數(shù)f(x)=aex(a>0)與g(x)=2x2-m(m>0)的圖象在第一象限有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍為????????????? (　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　設(shè)切點(diǎn)為A(x0,y0),所以整理得由m=2-4x0>0和x0>0,解得x0>2.由上可知a=,令h(x)=,x>2,則h'(x)=.因?yàn)?/span>x>2,所以h'(x)=<0,h(x)=在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以0<h(x)<,即a∈.故選D.9.(2019河南洛陽(yáng)二模,10)已知a>0,曲線f(x)=3x2-4ax與g(x)=2a2lnx-b有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線相同,則實(shí)數(shù)b的最小值為????????????? (　　)A.0　　B.-　　C.-　　D.-答案　B　設(shè)曲線y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(diǎn)P(x0,y0)處的切線相同,因?yàn)?/span>f'(x)=6x-4a,g'(x)=,由題意得f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),所以3-4ax0=2a2lnx0-b,6x0-4a=,由6x0-4a=得x0=a或x0=-a(舍去),即有b=a2+2a2lna.令h(t)=t2+2t2lnt(t>0),則h'(t)=4t(1+lnt),當(dāng)4t(1+lnt)>0,即t>時(shí),h'(t)>0,當(dāng)4t(1+lnt)<0,即0<t<時(shí),h'(t)<0.故h(t)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),于是h(t)在(0,+∞)上的最小值為h=-,故b的最小值為-.故選B.10.(2019廣東江門(mén)一模,12)若f(x)=lnx與g(x)=x2+ax的圖象有一條與直線y=x平行的公共切線,則a=????????????? (　　)A.1　　B.2　　C.3　　D.3或-1答案　D　由題意可設(shè)公共切線的方程為y=x+t,t≠0,設(shè)切線與f(x)圖象的切點(diǎn)為(x1,y1),與g(x)圖象的切點(diǎn)為(x2,y2),可得f'(x)=,切線斜率為,由=1得x1=1,則y1=0,切線方程為y=x-1.g'(x)=2x+a,切線斜率為2x2+a,由2x2+a=1,+ax2=x2-1,解得a=3,x2=-1,或a=-1,x2=1,故選D.思路分析　由題意可設(shè)公共切線的方程為y=x+t,t≠0,分別求得f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù),得切線的斜率,求得切點(diǎn)坐標(biāo),可得切線方程,解關(guān)于a的方程即可.方法總結(jié)　本題考查公切線問(wèn)題,要區(qū)分是共切點(diǎn)的公切線還是不共切點(diǎn)的公切線,設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)求解.11.(2020陜西第一學(xué)期摸底考試,14)曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸及直線x=a所圍成的三角形面積為,則實(shí)數(shù)a=　　　　. 答案　或1解析　由y=x3,得y'=3x2,所以y'|x=1=3,所以曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2,令y=0,得x=,則由××|3a-2|=,解得a=或1.12.(2018百校聯(lián)盟TOP20三月聯(lián)考,13)函數(shù)g(x)=lnx圖象上一點(diǎn)P到直線y=x的最短距離為　　　　. 答案　解析　設(shè)與直線y=x平行且與曲線g(x)=lnx相切的直線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,lnx0),因?yàn)?/span>g'(x)=(lnx)'=,則1=,∴x0=1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),∴最短距離為(1,0)到直線y=x的距離,即為=,故答案為.13.(2020江西南昌四校聯(lián)考,14)函數(shù)f(x)=x(x-S1)(x-S2)·…·(x-S8),其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若an=,則f'(0)=　　　　. 答案　解析　本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由題意得f'(x)=(x-S1)(x-S2)…(x-S8)+x[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]',Sn=1-=,所以f'(0)=××…×=.14.(2020甘肅會(huì)寧月考,21)已知函數(shù)f(x)=.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m>0)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析　(1)f'(x)=,故切線的斜率為f'(e)=-,又f(e)=,∴切線方程為y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.(2)當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0.故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.故f(x)在x=1處取得極大值.∵f(x)在區(qū)間(m>0)上存在極值,∴0<m<1且m+>1,解得<m<1.15.(2020北京懷柔適應(yīng)性練習(xí),19)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)當(dāng)x>0時(shí),證明:f(x)<x<g(x);(3)判斷曲線f(x)與g(x)是否存在公切線,若存在,說(shuō)明有幾條;若不存在,說(shuō)明理由.解析　本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力,滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)f(x)=lnx的定義域?yàn)?/span>(0,+∞).由f'(x)=?k=f'(1)=1,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x-1.(2)證明:設(shè)h(x)=f(x)-x=lnx-x(x>0),故h'(x)=-1.由h'(x)=0得x=1,h'(x),h(x)隨x的變化情況如下:x(0,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)↗極大值↘∴h(x)max=h(1)=ln1-1=-1<0,∴f(x)<x.設(shè)s(x)=x-g(x)=x-ex,則s'(x)=1-ex.易知s'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,∴s(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴s(x)<s(0)=-1<0?x<g(x).綜上,f(x)<x<g(x).(3)曲線f(x)與g(x)存在公切線,且有2條.由(2)知曲線f(x)與g(x)無(wú)公共點(diǎn),設(shè)l1,l2分別切曲線f(x),g(x)于(x1,lnx1),(x2,),則l1:y=·x+lnx1-1,l2:y=·x+(1-x2),若l1=l2,即曲線f(x)與g(x)有公切線,則?(1-x2)+x2+1=0,令m(x)=ex(1-x)+x+1,當(dāng)且僅當(dāng)m(x)有零點(diǎn)時(shí),曲線f(x)與g(x)有公切線,m'(x)=-xex+1,當(dāng)x≤0時(shí),m'(x)>0,m(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增,當(dāng)x>0時(shí),m″(x)=-(x+1)ex.易知m″(x)<0,則m'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又m'(0)=1>0,m'(1)=1-e<0,∴存在x0∈(0,1),使得m'(x0)=-x0+1=0,x∈(0,x0)時(shí),m'(x)>0,m(x)單調(diào)遞增,x∈(x0,+∞)時(shí),m'(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,∴m(x)max=m(x0)=(1-x0)+x0+1=(1-x0)+x0+1>0,又m(-2)=3e-2-1<0,m(2)=-e2+3<0,∴m(x)在(-2,x0),(x0,2)內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn),故曲線f(x)與g(x)存在2條公切線.  

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