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2022學(xué)年北京十三中七年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）以下每個(gè)小題中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.
1．已知a＜b，則下列四個(gè)不等式中，不正確的是（　?。?br /> 　 A． a﹣2＜b﹣2 B． ﹣2a＜﹣2b C． 2a＜2b D． a+2＜b+2
　
2．在下列各數(shù)：0.51525354…、0、0.、3π、、6.101001、3、中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
　
3．利用數(shù)軸確定不等式組的解集，正確的是（　?。?br /> 　 A． B． C． D．
　
4．如圖所示的圖案分別是大眾、奧迪、奔馳、三菱汽車的車標(biāo)，其中，可以看作由“基本圖案”經(jīng)過平移得到的是（　?。?br /> 　 A． B． C． D．
　
5．如圖，AB∥CD∥EF，AF∥CG，則圖中與∠A（不包括∠A）相等的角有（　　）

　 A． 5個(gè) B． 4個(gè) C． 3個(gè) D． 2個(gè)
　
6．下列說法正確的是（　?。?br /> 　 A． 同位角相等
　 B． 在同一平面內(nèi)，如果a⊥b，b⊥c，則a⊥c
　 C． 相等的角是對(duì)頂角
　 D． 在同一平面內(nèi)，如果a∥b，b∥c，則a∥c
　
7．如圖，把一塊含有45°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果∠1=20°，那么∠2的度數(shù)是（　?。?br />
　 A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
　
8．如圖，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，則α=（　?。?br />
　 A． 10° B． 15° C． 20° D． 30°
　
9．若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是（　?。?br /> 　 A． m≤3 B． m＞3 C． m＜3 D． m=3
　
10．關(guān)于x的不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（　?。?br /> 　 A． 3＜a＜ B． 3≤a＜ C． 3＜a≤ D． 3≤a≤
　
　
二、細(xì)心填一填（本題共20分，每小題2分）
11．如圖，直線a，b被直線c所截．若a∥b，∠1=30°，則∠2=　　　　　　°．

　
12．比較大小：﹣2　　　　　　﹣3（填“＜”或“=”或“＞”）
　
13．的平方根是　　　　　?。?br /> 　
14．關(guān)于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如圖所示，則a的值是　　　　　?。?br />
　
15．若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是　　　　　?。?br /> 　
16．若不等式組的解集是　　　　　?。?br /> 　
17．如圖，已知，AB∥CD，B是∠AOC的角平分線OE的反向延長(zhǎng)線與直線AB的交點(diǎn)，若∠A+∠C=90°，∠ABE=15°，則∠C=　　　　　　°．

　
18．幼兒園把新購(gòu)進(jìn)的一批玩具分給小朋友，若每人3件，那么還剩余59件；若每人5件，那么最后一個(gè)小朋友能分到玩具，但不足4件，共有小朋友　　　　　　人，這批玩具共有　　　　　　件．
　
19．如圖，把一個(gè)三角形紙片ABC頂角向內(nèi)折疊3次之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)和是　　　　　　．

　
20．如圖，對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長(zhǎng)A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△AnBnCn，記其面積為Sn．則S1=　　　　　　，Sn=　　　　　　．

　
　
三．計(jì)算題：（每題5分，共25分）
21．計(jì)算：+．
　
22．解不等式：﹣1．
　
23．解不等式組 把解集在數(shù)軸上表示，并求不等式組的整數(shù)解．
　
24．完成下面的證明：
已知：如圖，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，求證：∠EGF=90°．
證明：∵HG∥AB，HG∥CD （已知）；
∴∠1=∠3
∴∠2=∠4　　　　　?。?br /> ∵AB∥CD（已知）；
∴∠BEF+　　　　　　=180°　　　　　?。?br /> 又∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD（已知）
∴∠1=∠　　　　　　
∠2=∠　　　　　?。?br /> ∴∠1+∠2=（　　　　　　+　　　　　?。?br /> ∴∠1+∠2=90°；
∴∠3+∠4=90°，即∠EGF=90°．

　
25．如圖所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度數(shù)．

　
　
四．解答題：（每題6分，共18分）
26．為了更好治理流溪河水質(zhì)，保護(hù)環(huán)境，市治污公司決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備．現(xiàn)有A，B兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格，月處理污水量如表：
A型 B型
價(jià)格（萬(wàn)元/臺(tái)） a b
處理污水量（噸/月） 240 200
經(jīng)調(diào)查：購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多2萬(wàn)元，購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少6萬(wàn)元．
（1）求a，b的值．
（2）經(jīng)預(yù)算：市治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過105萬(wàn)元，你認(rèn)為該公司有哪幾種購(gòu)買方案．
（3）在（2）問的條件下，若每月要求處理流溪河兩岸的污水量不低于2040噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)你為治污公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案．
　
27．已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，且∠1=∠2．
（1）求證：EF∥AC；
（2）若CA平分∠BCD，∠B=50°，∠D=120°，求∠BFE的度數(shù)．

　
28．已知關(guān)于x，y的方程組的解是非負(fù)數(shù)，求整數(shù)m的值．
　
　
五、解答題（本題共7分，第29題3分，第30題4分）
29．閱讀材料：學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動(dòng)：估算的近似值．
小明的方法：
∵＜＜，設(shè)=3+k（0＜k＜1），
∴（）2=（3+k）2，
∴13=9+6k+k2，
∴13≈9+6k，解得k≈，
∴≈3+≈3.67．
（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，下面可參考使用）問題：
（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算 ≈　　　　　?。ńY(jié)果保留兩位小數(shù)）；
（2）請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算的公式：已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若a＜＜a+1，且m=a2+b，則≈　　　　　?。ㄓ煤琣、b的代數(shù)式表示）．
　
30．如圖，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別交于A、B兩點(diǎn)，l4與l1，l2分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上，且在l4的右側(cè)．
（1）如圖，試猜想：∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系；
（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？（只說結(jié)論，不要求證明）
（3）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系．
（點(diǎn)P和A、B不重合），并加以證明．

　
　
六．附加題（1題7分，2題6分，3題7分，共20分）說明：本附加題共20分，請(qǐng)實(shí)驗(yàn)班和普通班有能力的同學(xué)在完成好100分試卷的前提下，完成以下題目．
31．如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B落在A1處．剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，點(diǎn)B1落在A2處．剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．
（1）情形二中，∠B與∠C的等量關(guān)系　　　　　?。?br /> （2）若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C的等量關(guān)系　　　　　?。?br /> （3）如果一個(gè)三角形的最小角是4°，直接寫出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．
答：　　　　　?。?br />
　
32．我們把由“四舍五入”法對(duì)非負(fù)有理數(shù)x精確到個(gè)位的值記為＜x＞．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜2.5＞=＜3.12＞=3，…
解決下列問題：
（1）填空：①若＜x＞=6，則x的取值范圍是　　　　　??；
②若＜x＞=，則x的值是　　　　　??；
（2）若m為正整數(shù)，試說明：＜x+m＞=＜x＞+m恒成立．
　
33．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)E在線段BC上，射線ED⊥AB于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)F在線段DE上，過F作MN∥BC，M分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．
①試判斷DG與NG有怎樣的位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論；
②求證：∠1=∠2；
（2）如圖2，點(diǎn)F在線段ED的延長(zhǎng)線上，過F作FN∥BC，M分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．試探究DG與NG的位置關(guān)系，并說明理由．

　
　

2022學(xué)年北京十三中七年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）以下每個(gè)小題中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.
1．已知a＜b，則下列四個(gè)不等式中，不正確的是（　?。?br /> 　 A． a﹣2＜b﹣2 B． ﹣2a＜﹣2b C． 2a＜2b D． a+2＜b+2

考點(diǎn)： 不等式的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)不等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變可對(duì)A、D進(jìn)行判斷；根據(jù)不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變對(duì)C進(jìn)行判斷．
解答： 解：A、若a＜b，則a﹣2＜b﹣2，故A選項(xiàng)正確；
B、若a＜b，則﹣2a＞﹣2b，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、若a＜b，則2a＜2b，故C選項(xiàng)正確；
D、若a＜b，則a+2＜b+2，故D選項(xiàng)正確．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．
　
2．在下列各數(shù)：0.51525354…、0、0.、3π、、6.101001、3、中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考點(diǎn)： 無(wú)理數(shù)．
分析： 無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)，由此可得出無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)．
解答： 解：在下列各數(shù)：0.51525354…、0、0.、3π、、6.101001、3、中，無(wú)理數(shù)是在下列各數(shù)：0.51525354…、3π、，
故選C
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
　
3．利用數(shù)軸確定不等式組的解集，正確的是（　?。?br /> 　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組．
分析： 先解不等式組，求出不等式組的解集，即可解答．
解答： 解：
解得：，
∴不等式組的解集為：﹣1≤x＜2．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，解決本題的關(guān)鍵是解不等式組．
　
4．如圖所示的圖案分別是大眾、奧迪、奔馳、三菱汽車的車標(biāo)，其中，可以看作由“基本圖案”經(jīng)過平移得到的是（　　）
　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 利用平移設(shè)計(jì)圖案．
分析： 根據(jù)平移不改變圖形的形狀和大小，將題中所示的圖案通過平移后可以得到的圖案是B．
解答： 解：觀察圖形可知，圖案B可以看作由“基本圖案”經(jīng)過平移得到．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圖形的平移，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，學(xué)生易混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)，而誤選A、C、D．
　
5．如圖，AB∥CD∥EF，AF∥CG，則圖中與∠A（不包括∠A）相等的角有（　　）

　 A． 5個(gè) B． 4個(gè) C． 3個(gè) D． 2個(gè)

考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)．
分析： 由平行線的性質(zhì)，可知與∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD．
解答： 解：∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC；
∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE；
∵AF∥CG，∴∠EGC=∠AFE=∠A；
∵CD∥EF，∴∠EGC=∠DCG=∠A；
所以與∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四個(gè)，故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，找到相等關(guān)系的角是解題的關(guān)鍵．
　
6．下列說法正確的是（　　）
　 A． 同位角相等
　 B． 在同一平面內(nèi)，如果a⊥b，b⊥c，則a⊥c
　 C． 相等的角是對(duì)頂角
　 D． 在同一平面內(nèi)，如果a∥b，b∥c，則a∥c

考點(diǎn)： 平行公理及推論；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；平行線的判定．
分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定以及對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷．
解答： 解：A、只有在兩直線平行這一前提下，同位角才相等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、在同一平面內(nèi)，如果a⊥b，b⊥c，則a∥c，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、相等的角不一定是對(duì)頂角，因?yàn)閷?duì)頂角還有位置限制，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由平行公理的推論知，故D選項(xiàng)正確．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)、判定，對(duì)頂角的性質(zhì)，注意對(duì)頂角一定相等，但相等的角不一定是對(duì)頂角．
　
7．如圖，把一塊含有45°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果∠1=20°，那么∠2的度數(shù)是（　?。?br />
　 A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°

考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)．
分析： 本題主要利用兩直線平行，同位角相等作答．
解答： 解：根據(jù)題意可知，兩直線平行，同位角相等，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°
∵∠1=20°，
∴∠2=25°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，需要注意隱含條件，直尺的對(duì)邊平行，等腰直角三角板的銳角是45°的利用．
　
8．如圖，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，則α=（　?。?br />
　 A． 10° B． 15° C． 20° D． 30°

考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 過點(diǎn)P作一條直線平行于AB，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得：∠APC=∠BAP+∠PCD，得到關(guān)于α的方程，解即可．
解答： 解：過點(diǎn)P作PM∥AB，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，
∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，
∴45°+α=（60°﹣α）+（30°﹣α），
解得α=15°．
故選B．

點(diǎn)評(píng)： 注意此類題要常作的輔助線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)探求角之間的關(guān)系．
　
9．若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是（　?。?br /> 　 A． m≤3 B． m＞3 C． m＜3 D． m=3

考點(diǎn)： 解一元一次不等式組．
專題： 計(jì)算題．
分析： 先解不等式組，然然后根據(jù)不等式的解集，得出m的取值范圍即可．
解答： 解：，
解①得，x＞3；
解②得，x＞m，
∵不等式組的解集是x＞3，
則m≤3．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)的法則是：大大取大，小小取小，大小小大中間找，大大小小找不到．
　
10．關(guān)于x的不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（　?。?br /> 　 A． 3＜a＜ B． 3≤a＜ C． 3＜a≤ D． 3≤a≤

考點(diǎn)： 一元一次不等式組的整數(shù)解．
分析： 先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解，然后根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定a的取值范圍即可．
解答： 解：，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x≥3﹣2a，
所以，不等式組的解集是3﹣2a≤x＜2，
∵不等式組有5個(gè)整數(shù)解，
∴整數(shù)解為1、0、﹣1、﹣2、﹣3，
∴﹣4＜3﹣2a≤﹣3，
解得3≤a＜．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）．
　
二、細(xì)心填一填（本題共20分，每小題2分）
11．如圖，直線a，b被直線c所截．若a∥b，∠1=30°，則∠2=　150　°．


考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)．
分析： 先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠3，再利用兩直線平行，同位角相等解答即可．
解答： 解：∵∠1=30°，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣30°=150°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=150°．
故答案為：150．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
　
12．比較大小：﹣2?。尽々?（填“＜”或“=”或“＞”）

考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)大小比較；絕對(duì)值；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．
專題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)根式的性質(zhì)把根號(hào)外得因式移到根號(hào)內(nèi)，根據(jù)絕對(duì)值的大小判斷即可．
解答： 解：2==，3=，
∵＜，
∴﹣2＞﹣3，
故答案為：＞．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了對(duì)絕對(duì)值，根式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的大小比較等知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用，關(guān)鍵是知道如何比較兩負(fù)數(shù)和根式的大?。?br /> 　
13．的平方根是　±2?。?br />
考點(diǎn)： 算術(shù)平方根；平方根．
專題： 計(jì)算題．
分析： 先就算術(shù)平方根的定義求出的值，然后根據(jù)平方根的概念求解．
解答： 解：∵82=64，
∴64的算術(shù)平方根是8，
又∵（±2）2=8，
∴8的平方根是±2．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平方根的定義．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．
　
14．關(guān)于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如圖所示，則a的值是　1?。?br />

考點(diǎn)： 在數(shù)軸上表示不等式的解集．
分析： 首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．
解答： 解：∵2x﹣a≤﹣3，
∴x，
∵x≤﹣1，
∴a=1．
故答案為：1．
點(diǎn)評(píng)： 不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法：“＞”空心圓點(diǎn)向右畫折線，“≥”實(shí)心圓點(diǎn)向右畫折線，“＜”空心圓點(diǎn)向左畫折線，“≤”實(shí)心圓點(diǎn)向左畫折線．
　
15．若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是　9　．

考點(diǎn)： 多邊形內(nèi)角與外角．
分析： 根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．
解答： 解：360÷40=9，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9．
點(diǎn)評(píng)： 根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．
　
16．若不等式組的解集是　﹣≤x＜?。?br />
考點(diǎn)： 解一元一次不等式組．
分析： 分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：，由①得，x≥﹣，由②得，x＜，故不等式組得解集為：﹣≤x＜．
故答案為：﹣≤x＜．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是解一元一次不等式組，熟知同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到的原則是解答此題的關(guān)鍵．
　
17．如圖，已知，AB∥CD，B是∠AOC的角平分線OE的反向延長(zhǎng)線與直線AB的交點(diǎn)，若∠A+∠C=90°，∠ABE=15°，則∠C=　60　°．


考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)．
分析： 延長(zhǎng)AO交CD于M，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠AMC，求出∠AOC=∠C+∠AMC=90°，根據(jù)角平分線定義求出∠AOE=45°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠A即可．
解答： 解：
延長(zhǎng)AO交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AMC，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠C+∠AMC=90°，
∴∠AOC=∠C+∠AMC=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=×90°=45°，
∵∠ABE=15°，
∴∠A=∠AOE﹣∠ABE=30°，
∴∠C=90°﹣30°=60°，
故答案為：60
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠AOE和∠A的度數(shù)，題目比較好，難度適中．
　
18．幼兒園把新購(gòu)進(jìn)的一批玩具分給小朋友，若每人3件，那么還剩余59件；若每人5件，那么最后一個(gè)小朋友能分到玩具，但不足4件，共有小朋友　31　人，這批玩具共有　152　件．

考點(diǎn)： 一元一次不等式組的應(yīng)用．
分析： 本題可設(shè)共有x個(gè)小朋友，則玩具有3x+59個(gè)，令其＜5（x﹣1）+4，令其≥5（x﹣1）+1，化解不等式組得出x的取值范圍，則x即為其中的最小的整數(shù)．
解答： 解：設(shè)共有x個(gè)小朋友，則玩具有3x+59個(gè)．
∵最后一個(gè)小朋友不足4件，
∴3x+59＜5（x﹣1）+4，
∵最后一個(gè)小朋友最少1件，
∴3x+59≥5（x﹣1）+1，
聯(lián)立得，
解得30＜x≤31.5．
∵x取正整數(shù)31，
∴玩具數(shù)為3x+59=152．
故答案為：31，152．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是一元一次不等式的運(yùn)用，要注意解不等式時(shí)不等號(hào)兩邊同時(shí)除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式方向要改變．
　
19．如圖，把一個(gè)三角形紙片ABC頂角向內(nèi)折疊3次之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)和是　360°?。?br />

考點(diǎn)： 三角形內(nèi)角和定理；翻折變換（折疊問題）．
分析： 由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)和．
解答： 解：由題意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，
∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°，
故答案為：360°．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，圖形的折疊與拼接，同時(shí)考查了三角形、四邊形等幾何基本知識(shí)．
　
20．如圖，對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長(zhǎng)A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△AnBnCn，記其面積為Sn．則S1=　19　，Sn=　19n?。?br />

考點(diǎn)： 三角形的面積．
專題： 規(guī)律型．
分析： 首先根據(jù)題意，求得S△ABC1=2S△ABC，同理求得S△A1B1C1=19S△ABC，則可求得面積S1的值；根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Sn=19nS0即可求得答案．
解答： 解：連BC1，
∵C1A=2CA，
∴S△ABC1=2S△ABC，
同理：S△A1BC1=2S△ABC1=4S△ABC，
∴S△A1AC1=6S△ABC，
同理：S△A1BB1=S△CB1C1=6S△ABC，
∴S△A1B1C1=19S△ABC，
即S1=19S0，
∵S0=S△ABC=1，
∴S1=19；
同理：S2=19S1=192S0，S3=193S0，
∴Sn=19nS0=19n．
故答案是：19；19n．

點(diǎn)評(píng)： 此題考查了三角形面積之間的關(guān)系．注意找到規(guī)律：Sn=19nS0是解此題的關(guān)鍵．
　
三．計(jì)算題：（每題5分，共25分）
21．計(jì)算：+．

考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
專題： 計(jì)算題．
分析： 原式第一項(xiàng)利用算術(shù)平方根定義計(jì)算，第二項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算，第三項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，最后一項(xiàng)利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．
解答： 解：原式=7﹣3+﹣1+
=3+．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
　
22．解不等式：﹣1．

考點(diǎn)： 解一元一次不等式．
分析： 先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1即可．
解答： 解：去分母得，3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，
去括號(hào)得，9x﹣6≥10x+5﹣15，
移項(xiàng)得，9x﹣10x≥5﹣15+6，
合并同類項(xiàng)得，﹣x≥﹣4，
把x的系數(shù)化為1得，x＜4．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵．
　
23．解不等式組 把解集在數(shù)軸上表示，并求不等式組的整數(shù)解．

考點(diǎn)： 解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集；一元一次不等式組的整數(shù)解．
分析： 先分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在數(shù)軸上表示出來即可．
解答： 解：，
解不等式①，得x＜2．
解不等式②，得x≥﹣1．
在數(shù)軸上表示不等式①，②的解集，

這個(gè)不等式組的解集是：﹣1≤x＜2．
因此不等式組的整數(shù)解為：﹣1、0、1
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是在數(shù)軸上表示一元一次不等式組的解集及解一元一次不等式組，熟知實(shí)心圓點(diǎn)與空心圓點(diǎn)的區(qū)別是解答此題的關(guān)鍵．
　
24．完成下面的證明：
已知：如圖，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，求證：∠EGF=90°．
證明：∵HG∥AB，HG∥CD （已知）；
∴∠1=∠3
∴∠2=∠4　兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等　．
∵AB∥CD（已知）；
∴∠BEF+　∠EFD　=180°　兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?。?br /> 又∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD（已知）
∴∠1=∠　角平分線的定義　
∠2=∠　EFD?。?br /> ∴∠1+∠2=（　∠BEF　+　∠EFD?。?br /> ∴∠1+∠2=90°；
∴∠3+∠4=90°，即∠EGF=90°．


考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)．
專題： 推理填空題．
分析： 此題首先由平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3，∠2=∠4，∠BEF+∠EFD=180°，再由EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD得出∠1+∠2=90°，然后通過等量代換證出∠EGF=90°．
解答： 證明：∵HG∥AB（已知），
∴∠1=∠3，
又∵HG∥CD（已知），
∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+∠EFD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
又∵EG平分∠BEF（已知），
∴∠1=∠BEF（角平分線的定義），
又∵FG平分∠EFD（已知），
∴∠2=∠EFD（角平分線的定義），
∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=90°（等量代換）
即∠EGF=90°．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，∠EFD，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，角平分線的定義，EFD，∠BEF．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，找到相應(yīng)關(guān)系的角是解決問題的關(guān)鍵．
　
25．如圖所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度數(shù)．


考點(diǎn)： 三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
分析： 在這里首先可以設(shè)∠DAE=x°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°以及等腰三角形的性質(zhì)用x分別表示∠C和∠AED，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和進(jìn)行求解．
解答： 解：設(shè)∠DAE=x°，則∠BAC=40°+x°．
∵∠B=∠C，∴2∠C=180°﹣∠BAC
∴∠C=90°﹣∠BAC=90°﹣（40°+x°）
同理∠AED=90°﹣∠DAE=90°﹣x°
∴∠CDE=∠AED﹣∠C=（90°﹣x°）﹣[90°﹣（40°+x°）]=20°．
點(diǎn)評(píng)： 這里注意利用未知數(shù)抵消的方法解出了正確答案．
　
四．解答題：（每題6分，共18分）
26．為了更好治理流溪河水質(zhì)，保護(hù)環(huán)境，市治污公司決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備．現(xiàn)有A，B兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格，月處理污水量如表：
A型 B型
價(jià)格（萬(wàn)元/臺(tái)） a b
處理污水量（噸/月） 240 200
經(jīng)調(diào)查：購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多2萬(wàn)元，購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少6萬(wàn)元．
（1）求a，b的值．
（2）經(jīng)預(yù)算：市治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過105萬(wàn)元，你認(rèn)為該公司有哪幾種購(gòu)買方案．
（3）在（2）問的條件下，若每月要求處理流溪河兩岸的污水量不低于2040噸，為了節(jié)約資金，請(qǐng)你為治污公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案．

考點(diǎn)： 一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．
專題： 應(yīng)用題．
分析： （1）根據(jù)“購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多2萬(wàn)元，購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少6萬(wàn)元”即可列出方程組，繼而進(jìn)行求解；
（2）可設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺(tái)，B型設(shè)備（10﹣x）臺(tái)，則有12x+10（10﹣x）≤105，解之確定x的值，即可確定方案；
（3）因?yàn)槊吭乱筇幚砹飨觾砂兜奈鬯坎坏陀?040噸，所以有240x+200（10﹣x）≥2040，解之即可由x的值確定方案，然后進(jìn)行比較，作出選擇．
解答： 解：（1）根據(jù)題意得：，
∴；

（2）設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備A型設(shè)備x臺(tái)，B型設(shè)備（10﹣x）臺(tái)，
則：12x+10（10﹣x）≤105，
∴x≤2.5，
∵x取非負(fù)整數(shù)，
∴x=0，1，2，
∴有三種購(gòu)買方案：
①A型設(shè)備0臺(tái)，B型設(shè)備10臺(tái)；
②A型設(shè)備1臺(tái)，B型設(shè)備9臺(tái)；
③A型設(shè)備2臺(tái)，B型設(shè)備8臺(tái)．

（3）由題意：240x+200（10﹣x）≥2040，
∴x≥1，
又∵x≤2.5，x取非負(fù)整數(shù)，
∴x為1，2．
當(dāng)x=1時(shí)，購(gòu)買資金為：12×1+10×9=102（萬(wàn)元），
當(dāng)x=2時(shí)，購(gòu)買資金為：12×2+10×8=104（萬(wàn)元），
∴為了節(jié)約資金，應(yīng)選購(gòu)A型設(shè)備1臺(tái)，B型設(shè)備9臺(tái)．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查一元一次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式及所求量的等量關(guān)系，同時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用．
　
27．已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在AB邊上，且∠1=∠2．
（1）求證：EF∥AC；
（2）若CA平分∠BCD，∠B=50°，∠D=120°，求∠BFE的度數(shù)．


考點(diǎn)： 平行線的判定與性質(zhì)．
分析： （1）由平行線的性質(zhì)易得∠2=∠ACB，等量代換得∠1=∠ACB，利用平行線的判定得出結(jié)論；
（2）由平行線的性質(zhì)易得∠BCD=60°，由角平分線的性質(zhì)可得∠ACB，易得∠1，利用三角形的內(nèi)角和定理得結(jié)論．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB，
∴EF∥AC；

（2）∵AD∥BC，
∴∠D+∠BCD=180°，
∵∠D=120°，
∴∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB==30°，
∵EF∥AC，
∴∠1=∠ACB=30°，
在△FBE中，∠B+∠1+∠BFE=180°，
∵∠B=50°，
∴∠BFE=100°．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判定定理，綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
　
28．已知關(guān)于x，y的方程組的解是非負(fù)數(shù)，求整數(shù)m的值．

考點(diǎn)： 一元一次不等式組的整數(shù)解；解二元一次方程組．
專題： 計(jì)算題．
分析： 此題考查了解方程組與解不等式組，根據(jù)題意可以先求出方程組的解（解中含有字母m），然后根據(jù)x≥0，y≥0，組成關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可求解．
解答： 解：解方程組可得
因?yàn)閤≥0，y≥0，所以
解得
所以≤m≤，
因?yàn)閙為整數(shù)，故m=7，8，9，10．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是把字母m看做一個(gè)常數(shù)來解，還要注意題意．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
　
五、解答題（本題共7分，第29題3分，第30題4分）
29．閱讀材料：學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動(dòng)：估算的近似值．
小明的方法：
∵＜＜，設(shè)=3+k（0＜k＜1），
∴（）2=（3+k）2，
∴13=9+6k+k2，
∴13≈9+6k，解得k≈，
∴≈3+≈3.67．
（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，下面可參考使用）問題：
（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算 ≈　6.08?。ńY(jié)果保留兩位小數(shù)）；
（2）請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算的公式：已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若a＜＜a+1，且m=a2+b，則≈　a+?。ㄓ煤琣、b的代數(shù)式表示）．

考點(diǎn)： 估算無(wú)理數(shù)的大?。?
專題： 閱讀型．
分析： （1）仿照例題直接得出（）2=（6+k）2，進(jìn)而求出即可；
（2）利用（1）中所求，進(jìn)而得出一般規(guī)律求出即可．
解答： 解：（1）∵＜＜，設(shè)=6+k（0＜k＜1），
∴（）2=（6+k）2，
∴37=36+12k+k2，
∴37≈36+12k，
解得k≈，
∴≈6+≈6.08．
故答案為：6.08；

（2）若a＜＜a+1，且m=a2+b，
則≈a+．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了估計(jì)無(wú)理數(shù)，利用已知得出計(jì)算規(guī)律是解題關(guān)鍵．
　
30．如圖，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別交于A、B兩點(diǎn)，l4與l1，l2分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上，且在l4的右側(cè)．
（1）如圖，試猜想：∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系；
（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？（只說結(jié)論，不要求證明）
（3）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系．
（點(diǎn)P和A、B不重合），并加以證明．


考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì)．
分析： （1）根據(jù)圖形作出猜想即可；
（2）作PE∥AC，如圖1，由于l1∥l2，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，所以∠1+∠2=∠3；
（3）分當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)與當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)兩種情況進(jìn)行分類討論即可．
解答： 解：（1）猜想：∠CPD=∠1+∠2；

（2）∠1，∠2，∠CPD之間的關(guān)系不發(fā)生變化
仍是：∠CPD=∠1+∠2；
作PE∥AC，如圖1，
∵l1∥l2，
∴PE∥BD，
∴∠1=∠EPC，∠2=∠EPD，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CPD=∠1+∠2；

（3）當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖a，過P作PF∥l1，交l4于F，
∴∠1=∠FPC．
∵l1∥l4，
∴PF∥l2，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC
∴∠CPD=∠2﹣∠1．
當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)時(shí)，如圖b，過P作PG∥l2，交l4于G，
∴∠2=∠GPD
∵l1∥l2，
∴PG∥l1，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD
∴∠CPD=∠1﹣∠2．



點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
　
六．附加題（1題7分，2題6分，3題7分，共20分）說明：本附加題共20分，請(qǐng)實(shí)驗(yàn)班和普通班有能力的同學(xué)在完成好100分試卷的前提下，完成以下題目．
31．如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B落在A1處．剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，點(diǎn)B1落在A2處．剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．
（1）情形二中，∠B與∠C的等量關(guān)系　∠B=2∠C?。?br /> （2）若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C的等量關(guān)系　∠B=n∠C?。?br /> （3）如果一個(gè)三角形的最小角是4°，直接寫出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．
答：　4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°?。?br />

考點(diǎn)： 翻折變換（折疊問題）．
分析： （1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知∠B=2∠C；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C；
（3）利用（2）的結(jié)論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
解答： 解：（1）∠B=2∠C；
理由如下：
∵沿∠BAC的平分線AB1折疊，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C，
故答案為：∠B=2∠C；

（2）如圖所示，
在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則∠BAC是△ABC的好角．
證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，
∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，
根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小麗展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；
故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C；
故答案為：∠B=n∠C；

（3）由（2）知設(shè)∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；
∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180
∴如果一個(gè)三角形的最小角是4°，三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
故答案為：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了翻折變換（折疊問題）．解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．
　
32．我們把由“四舍五入”法對(duì)非負(fù)有理數(shù)x精確到個(gè)位的值記為＜x＞．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜2.5＞=＜3.12＞=3，…
解決下列問題：
（1）填空：①若＜x＞=6，則x的取值范圍是　5.5≤x＜6.5　；
②若＜x＞=，則x的值是　0，，??；
（2）若m為正整數(shù)，試說明：＜x+m＞=＜x＞+m恒成立．

考點(diǎn)： 近似數(shù)和有效數(shù)字．
分析： （1）根據(jù)取近似值的方法確定x的取值范圍即可，反過來也可確定未知數(shù)的值；
（2）分0≤a＜時(shí)和≤a＜1時(shí)兩種情況分類討論即可．
解答： 解：（1）①5.5≤x＜6.5
②0，，
（2）說明：設(shè)x=n+a，其中n為x的整數(shù)部分（n為非負(fù)整數(shù)），a為x的小數(shù)部分 （0≤a＜1）
分兩種情況：
（Ⅰ）當(dāng)0≤a＜時(shí)，有＜x＞=n
∵x+m=（n+m）+a，
這時(shí)（n+m）為（x+m）的整數(shù)部分，a為（x+m）的小數(shù)部分，
∴＜x+m＞=n+m
又＜x＞+m=n+m
∴＜x+m＞=＜x＞+m．
（Ⅱ）當(dāng)≤a＜1時(shí)，有＜x＞=n+1
∵x+m=（n+m）+a
這時(shí)（n+m）為（x+m）的整數(shù)部分，a為（x+m）的小數(shù)部分，
∴＜x+m＞=n+m+1
又＜x＞+m=n+1+m=n+m+1
∴＜x+m＞=＜x＞+m．
綜上所述：＜x+m＞=＜x＞+m．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了近似數(shù)與有效數(shù)字的知識(shí)，在確定取值范圍時(shí)候，學(xué)生很容易出錯(cuò)，應(yīng)引起重視．
　
33．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)E在線段BC上，射線ED⊥AB于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)F在線段DE上，過F作MN∥BC，M分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．
①試判斷DG與NG有怎樣的位置關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論；
②求證：∠1=∠2；
（2）如圖2，點(diǎn)F在線段ED的延長(zhǎng)線上，過F作FN∥BC，M分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)G在線段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．試探究DG與NG的位置關(guān)系，并說明理由．


考點(diǎn)： 三角形內(nèi)角和定理；垂線；平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．
分析： （1）①先由MN∥BC得出∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，根據(jù)∠GFN=∠GNF可得出∠1=∠2，同理可得∠DAG=∠ADG，故∠2+∠ADG=∠BAC=45°，再由D⊥AB可知∠ADF=90°，故可得出∠GDF+∠GNM的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出∠DFN的度數(shù)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
②同①可得出結(jié)論；
（2）由FN∥BC得出∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，由∠GFN+∠FAN=90°得出∠FAN=∠2，再根據(jù)ED⊥AB于D得出∠GDF+∠1=90°．在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°可得出∠1=∠3．同理∠FGD=∠1+∠3=2∠3．∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN，∠NGD=∠FGN﹣∠FGD=2∠BAC．在Rt△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．
解答： 解：（1）①∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠1=∠2．
同理可得，∠DAG=∠ADG，
∴∠2+∠ADG=∠BAC=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADF=90°，
∴∠GDF+∠GNM=180°﹣45°=135°．
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，DE⊥AB，
∴∠BED=45°，
∴∠DEC=135°．
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠DFN=135°，
∴∠DGN=360°﹣135°﹣135°=90°，即DG⊥NG．

②∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠1=∠2．

（2）DG⊥GN．
理由如下：
∵FN∥BC，
∴∠ANF=∠ACB=90°，即∠GNF+∠2=90°．
在Rt△AFN中，∠GFN+∠FAN=90°，
∵∠GFN=∠GNF
∴∠FAN=∠2．
又∵ED⊥AB于D，
∴∠ADF=90°，即：∠GDF+∠1=90°．
在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°，
∵∠GDF=∠GFD，
∴∠1=∠3．
在△AGD中，∠FGD=∠1+∠3=2∠3．
在△AGN中，∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN
∴∠NGD=∠FGN﹣∠FGD
=2∠FAN﹣2∠3
=2（∠FAN﹣∠3）
=2∠BAC．
在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴∠BAC=45°．
∴∠NGD=2∠BAC=90°，
∴DG⊥GN．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
　

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