?江蘇省蘇州大學(xué)2022屆高三下學(xué)期5月高考前指導(dǎo)數(shù)學(xué)試題
第I卷（選擇題）
評卷人
得分



一、單選題
1．已知集合，若，則b的值為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2．設(shè)，則是為純虛數(shù)的（???????）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
3．江南的周莊、同里、用直、西塘、號鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊，清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳依軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨樹一幟，馳名中外．這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處，某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，則至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（???????）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)y＝f（x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式最可能是（?????）

A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x
5．如圖，在平面四邊形中，，分別為，的中點，，，，若，則實數(shù)的值是（???????）

A． B． C． D．
6．已知、、是半徑為的球的球面上的三個點，且，，，則三棱錐的體積為（???????）
A． B． C． D．
7．已知且成立，則（???????）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐標系中，若直線上存在動點P，使得過點P的橢圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)a的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
評卷人
得分



二、多選題
9．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則（???????）
A． B． C． D．
10．18世紀30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布，那么當n比較大時，可視為X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，．任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布（且）．當時，對任意實數(shù)x，記，則（???????）
A． B．當時，
C．隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變 D．隨機變量，當都增大時，概率單調(diào)增大
11．若二項式展開式中所有項的系數(shù)之和為，所有項的系數(shù)絕對值之和為，二項式系數(shù)之和為，則（???????）
A． B．
C．對任意均有 D．存在使得
12．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個零點、，當變化時，記點構(gòu)成的曲線為，點構(gòu)成的曲線為，則（???????）
A．曲線恒在軸上方
B．曲線與有唯一公共點
C．對于任意的實數(shù)，直線與曲線有且僅有一個公共點
D．存在實數(shù)，使得曲線、分布在直線兩側(cè)
第II卷（非選擇題）
評卷人
得分



三、填空題
13．已知，則_________．
14．在平面直角坐標系中，已知過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，以為直徑的圓分別與x軸交于異于F的P，Q兩點，若，則線段的長為________．
15．已知是函數(shù)（且）的三個零點，則的取值范圍是_________．
評卷人
得分



四、雙空題
16．已知四棱錐的底面為邊長為2的正方形，底面，過點A作平面與垂直，則與所成角的正切值為_________；截此四棱錐的截面面積為_______．
評卷人
得分



五、解答題
17．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，滿足．
(1)證明：；
(2)求所有正整數(shù)，的值，使得和同時成立．
18．已知正項數(shù)列的前n項和為，現(xiàn)在有以下三個條件：
①數(shù)列的前n項和為；
②；
③，當時，．
從上述三個條件中任選一個，完成以下問題：
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，試問中是否存在連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由．
19．2022年冬奧會剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項運動讓人們津津樂道．高山滑雪（Alpine???Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競速運動項目，冬季奧運會高山滑雪設(shè)男子項目、女子項目、混合項目．其中，男子項目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級大回轉(zhuǎn)、全能5個小項，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項目，現(xiàn)有90名運動員參加該項目的比賽，組委會根據(jù)報名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在前30位的運動員進入勝者組，直接進入第二輪比賽，排名在后60位的運動員進入敗者組進行一場加賽，加賽排名在前10位的運動員從敗者組復(fù)活，進入第二輪比賽，現(xiàn)已知每位參賽運動員水平相當．
(1)從所有參賽的運動員中隨機抽取5人，設(shè)這5人中進入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)理論進行分析．
20．如圖，在幾何體中，四邊形是菱形，平面, ,.

（1）證明：平面平面.
（2）若二面角是直二面角，求與平面所成角的正切值．
21．在平面直角坐標系中，已知橢圓，橢圓的離心率為，在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的左頂點作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于、兩點（不同于點），且，為垂足，求三角形面積的最大值．
22．已知函數(shù)（其中a，b為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為．
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)證明：方程有且只有一個實根．

參考答案：
1．C
【解析】
【分析】
求出集合B，再根據(jù)交集結(jié)果可得，即可求出.
【詳解】
由解得，所以，
因為，所以，所以.
故選：C.
2．B
【解析】
【分析】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的特征，復(fù)數(shù)的概念，以及充分條件與必要條件的判斷方法，即可得出結(jié)果.
【詳解】
對于復(fù)數(shù)，若，則不一定為純虛數(shù)，可以為；
反之，若為純虛數(shù)，則，
所以是為純虛數(shù)的必要非充分條件.
故選：B.
3．D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)公式求得基本事件的總數(shù)為種，再求得至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的不同的選擇種數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解.
【詳解】
由題意，暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，共有種不同的選擇方式，
則至少選一個蘇州古鎮(zhèn)，有種不同的選擇方式，
所以至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為.
故選：D.
4．A
【解析】
【分析】
由圖象判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)值的符號，運用排除法可得結(jié)論.
【詳解】
由f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，可得f（x）為奇函數(shù)，
對于選項B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不為奇函數(shù)，故排除B；
對于選項C，f（x）＝，f（－x）＝＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不為奇函數(shù)，故排除C；
對于選項D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，
由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的圖象可知它們只有一個交點，故排除D；
對于選項A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，
且f（x）＝0時，x＝0或x＝kπ＋（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0，
故選項A最可能正確.
故選：A.
5．D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得分別求出和的坐標，再分別求出和的坐標，，再利用數(shù)量積坐標運算求解即可.
【詳解】
根據(jù)題意得：，,
因為，分別為，的中點，所以，，
所以，又，即，解得.
故選：D.
6．B
【解析】
【分析】
計算出的外接圓半徑，可計算得出三棱錐的高，利用余弦定理可求得，可計算得出的面積，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】
因為，，所以，的外接圓半徑為，
所以，三棱錐的高為，
在中，由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因為.
故選：B.
7．C
【解析】
【分析】
利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得正確答案.
【詳解】
依題意，，，
構(gòu)造函數(shù)，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
若，則，，不符合題意.
若，則，，符合題意，
若，此時對任意，有兩個不同的實數(shù)根，
則存在，使“且”成立.
對任意，有兩個不同的實數(shù)根，
則存在，使“且”成立.
綜上所述，.
故選：C
8．B
【解析】
【分析】
設(shè)過點作圓的兩條切線分別為、，其中、為切點，得四邊形為矩形，矩形的對角線，再由橢圓中心到直線的距離，即可得到答案.
【詳解】
如圖，設(shè)過點作圓的兩條切線分別為、，其中、為切點，

則、
又由于
故四邊形為矩形
由橢圓的方程為
故矩形的對角線
即矩形的長不超過2
即以橢圓與直線有公共點，以為中心
故，得

故選：B.
9．ABD
【解析】
【分析】
先求出通項公式，再利用通項公式和前n項和公式對四個選項一一計算，進行判斷.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為d（）.
因為且成等比數(shù)列，所以.
解得：，所以.
對于A：.故A正確；
對于B：因為，所以.故B正確；
對于C：.故C錯誤；
對于D：因為，所以當時，，即.故D正確.
故選：ABD
10．AC
【解析】
【分析】
根據(jù)結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性，可判斷A;由可推得其結(jié)果為，判斷B;根據(jù)正態(tài)分布的準則可判斷C,D.
【詳解】
對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，故A正確；
對于B, 當時，
，故B錯誤；
對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準則，在正態(tài)分布中代表標準差，代表均值,
即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在中的概率為0.6826，是常數(shù)，
故由可知，C正確，D錯誤，
故選：AC
11．ABC
【解析】
【分析】
根據(jù)所給二項式，賦值，分別求得、、，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，逐一分析各個選項，即可得答案.
【詳解】
由題意得：令，可得，
求所有項的系數(shù)絕對值之和，等價于求的所有項系數(shù)和，
令，可得，
二項式系數(shù)之和為，
對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：，
因為，且在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，所以，，故B正確
對于C、D：在上為減函數(shù)，
所以，即，故C正確，D錯誤.
故選：ABC
12．AD
【解析】
【分析】
求出曲線、對于的方程，數(shù)形結(jié)合可判斷ABC選項；求出函數(shù)在處的切線方程，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.
【詳解】
對于A選項，因為，則，
令可得或，
因為函數(shù)存在兩個零點、，則，即.
當時，即當時，，則，
當時，即當時，，則，
則曲線為函數(shù)的圖象以及射線，
且當時，，所以，曲線在軸上方，A對；
對于B選項，當時，即當時，，
則，
當時，即當時，，則
所以，曲線為函數(shù)的圖象以及射線，
由圖可知，曲線、無公共點，B錯；
對于C選項，對于函數(shù)，，
此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
結(jié)合圖象可知，當時，直線與曲線沒有公共點，C錯；
對于D選項，對于函數(shù)，，則，
又因為，所以，曲線在處的切線方程為，即.
構(gòu)造函數(shù)，則，
，
令，則，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
當時，，即，
當時，，即，
所以，曲線、分布在直線的兩側(cè)，D對.

故選：AD.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖象的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵在于求出兩曲線的方程，作出圖形，利用圖形以及導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識求解.
13．
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得到，所以，結(jié)合兩角和的正弦函數(shù)公式，即可求解.
【詳解】
由，可得，
因為，所以，所以，
又由
.
故答案為：.
14．##4.5
【解析】
【分析】
作出圖形，結(jié)合幾何性質(zhì)求出，進而可求出直線的斜率，然后將直線方程與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達定理即可求出結(jié)果.
【詳解】

過點分別作準線的垂線，垂足分別為，過點作的垂線，垂足為，由題意可知，所以，設(shè)，
所以，且，因此，故，所以，即，因此直線的斜率為，又因為，所以直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，即，設(shè)，
則，因此，
故答案為：.
【點睛】
(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
15．
【解析】
【分析】
由題可判斷1是的零點，且另兩個零點關(guān)于對稱，則所求可化為求出的值域，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.
【詳解】
顯然，設(shè)，
則
，
所以1是的零點，且另兩個零點關(guān)于對稱，
所以，
則，
令，
則，所以在單調(diào)遞減，
所以，即的取值范圍是.
故答案為：.
16．???? ????
【解析】
【分析】
作，垂足為，作，，連接、，即可得到平面即為平面，再根據(jù)線面角的定義即為與所成角，求出線段的長度，即可求出所成角的正切值，再求出截面面積即可；
【詳解】
解：作，垂足為，作，，連接、，則平面即為平面，
因為平面，所以即為與所成角，
底面是邊長為2的正方形，所以，底面，，所以，
由等面積法可得，解得，
由對稱性可得到，在中，，所以，
所以，
又，，，所以，故，
在中，，所以，
所以為的中點，同理可得為的中點，
在中，，所以，
所以棱錐截平面所得截面的面積為．
故答案為：；．

17．(1)證明見解析
(2)，
【解析】
【分析】
（1）由結(jié)合已知條件得，，整理得，再利用正弦定理邊化角即可求解；
（2）由得，，再利用正余弦定理化簡得，結(jié)合條件得，即，再分析求解即可.
(1)
因為，
所以，即．
因為，，所以．
由正弦定理得，其中為的外接圓半徑，
所以．
(2)
由，可知，
則由正、余弦定理得到，
化簡得．
因為，，所以，
即，
因為，均為正整數(shù)，所以，.
18．(1)任選一條件，都有
(2)不存在，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）選①，結(jié)合求得；選②，通過構(gòu)造常數(shù)列的方法求得；選③，結(jié)合以及等差數(shù)列的知識來求得.
（2）先假設(shè)存在符合題意的，結(jié)合等差中項的知識推出矛盾，從而作出判斷.
(1)
選①：因為數(shù)列的前項和為，
所以當時，；當時，．
經(jīng)檢驗時，符合上式，所以，
故正項數(shù)列的通項公式為，
選②：因為，所以，
所以為常數(shù)列，即，所以正項數(shù)列的通項公式．
選③：由，
所以數(shù)列從第2項起成等差數(shù)列，且，
經(jīng)檢驗時，符合上式，所以正項數(shù)列的通項公式．
(2)
數(shù)列中不存在連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列．
理由如下：由（1）知當時，，
所以．
假設(shè)數(shù)列中存在連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列．
當時，，顯然不成等差數(shù)列，假設(shè)不成立；
當時，則，
即，
兩邊同時平方，得，
所以，整理得，
所以，矛盾，故假設(shè)不成立．
綜上所述，數(shù)列中不存在連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列．
19．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為;
(2)最有可能有1人能復(fù)活．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)二項分布列出分布列，求期望即可；
（2）由題意設(shè)最大，根據(jù)題意列出不等式組求解即可.
(1)
每位運動員進入勝者組的概率為，且，
所以，其中．
所以，
，
，
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
P







其數(shù)學(xué)期望為．
(2)
設(shè)從敗者組選取的10人中有k人復(fù)活．
因為每位敗者組運動員復(fù)活的概率為，所以，
所以．
當最大時，應(yīng)滿足
即解得，
又因為，所以，即最有可能有1人能復(fù)活．
20．（1）見解析;（2）
【解析】
【詳解】
試題分析：(1)利用面面垂直的判定定理證明即可; (2)利用二面角是直二面角,求出菱形的邊長,再求出與平面所成角的正切值.
試題解析：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴
∵平面∴
∴平面
∵平面∴平面⊥平面
（2）(向量）解：以點為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸建立空間直角坐標系，如圖．做的中點，連接,因為平行且等于，.
所以四邊形為平行四邊形,
因為在中，，所以，所以

設(shè)長為，則各點坐標為
；；；
所以；；
設(shè)為面的法向量；為面的法向量．
所以；
得
令得
同理得
因為二面角是直二面角，所以
得
由題可得：為與平面所夾角
因為
所以
(幾何）
∵四邊形是菱形，∴
∴，∴
過作，連接，則為二面角的平面角

設(shè)菱形的邊長為
∵,，∴
在中，，∴
∵二面角為直角，∴為直角
∴
在中，，設(shè)，則

∴
與平面所成角為
∴
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在軸時，直接求出的面積，在直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可推導(dǎo)出直線所過定點的坐標，求出點的軌跡方程，計算出點到直線的最大距離，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果.
(1)
解：由題意得，解得，所以橢圓的方程．
(2)
解：當垂直于軸時，則、關(guān)于軸對稱，
設(shè)點在軸上方，因為，易知直線的傾斜角為，
所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，
即點，則，可得，
此時，；
當不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立，可得，
，可得，
由韋達定理可得，，
，，
因為，則
，
整理可得，即，所以，或.
若，則直線的方程為，此時直線過點，
則、必有一點與點重合，不合乎題意；
若，則直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意.
因為，且線段的中點坐標為，，
所以，的外接圓為，
因為直線方程為，即，且，
因為到直線的最大距離為，
所以的面積．
綜上所述，面積的最大值為．
【點睛】
方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
22．(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，得，由題知，解方程得解.
（2）令， 分三種情況討論：當，，時
的零點情況；令，分兩種情況討論：當，時，對求導(dǎo)，借助單調(diào)性及零點存在性定理，判斷的零點情況，進而得證.
(1)
因為，所以．
因為的圖象在處的切線為，
所以解得
(2)
令函數(shù)，定義域為．
當時，，所以；
當時，，所以；
當時，由知在上單調(diào)遞增，
又且函數(shù)連續(xù)不間斷，
所以，有．
綜上所述，函數(shù)在有唯一的零點，且在上恒小于零，在上恒大于零．
令函數(shù)，討論如下：
①當時，，
求導(dǎo)得．
因為，所以，
即函數(shù)在單調(diào)遞增．
又因為，
，
所以函數(shù)在存在唯一的零點，
所以方程在上有唯一的零點．
②當時，．
法一：由（1）易證在上恒成立．
事實上，令，則．
因為，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，即在上恒成立．
從而，
所以方程在上無零點．
綜上所述，方程有且只有一個實根．
法二：因為，所以，
所以，所以，
所以，
所以方程在上無零點．
綜上所述，方程有且只有一個實根．
【點睛】
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，本題第一問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第二問利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性，并借助零點存在性定理研究方程的實根，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

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