2021-2022學(xué)年福建省福州第一中學(xué)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列函數(shù)中，周期為的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)于A、B：直接求出周期；對(duì)于C：先用二倍角公式化簡(jiǎn)，再求其周期；對(duì)于D：不是周期函數(shù)，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以其周期為，故C正確；對(duì)于D：不是周期函數(shù)，沒(méi)有最小正周期，故D錯(cuò)誤.故選：C2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由解出范圍即可.【詳解】由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C.3．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可能是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象，求出和，進(jìn)而求出，代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，得到正確答案.【詳解】由圖象可知：，且，所以，不妨設(shè)：，將代入得：，即，，解得：，，當(dāng)時(shí)，，故A正確，其他選項(xiàng)均不合要求.故選：A4．已知角的終邊在射線上，則的值為（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求三角函數(shù)值不妨作圖說(shuō)明，直截了當(dāng).【詳解】依題意，作圖如下：假設(shè)直線的傾斜角為，則角的終邊為射線OA，在第四象限，，，，用同角關(guān)系：，得；∴；故選：A.5．函數(shù)的圖象大致是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和正負(fù)性，運(yùn)用排除法進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱，故排除C、D兩個(gè)選項(xiàng)；顯然，故排除A，故選：B6．已知，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷的大小，利用正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷的范圍，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】，，因?yàn)?/span>，故，而，因?yàn)?/span>，故，故，綜上，，故選：A7．已知，則（       ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求出，再求出，最后可求.【詳解】因?yàn)?/span>，故，因?yàn)?/span>，故，而，故，所以，故，所以，故選：B8．我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即的面積，其中分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，若，且，則的面積的最大值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)求出關(guān)系，代入面積公式，利用二次函數(shù)的知識(shí)求解最值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即；由正弦定理可得，所以；當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：A.二、多選題9．下列說(shuō)法正確的有（       ）A．若，則為第二象限角B．經(jīng)過(guò)60分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)弧度C．D．終邊在軸上的角的集合是【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)角的概念可判斷BD的正誤，根據(jù)兩角和的正弦可判斷C的正誤.【詳解】因?yàn)?/span>，則為第二象限角，故A正確.經(jīng)過(guò)60分鐘，鐘表的分針順時(shí)針轉(zhuǎn)一周，故對(duì)應(yīng)的角為弧度，故B正確.，故C錯(cuò)誤.終邊在軸上的角的集合是，故D正確.故選：ABD.10．已知，則（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，，，，所以或，，或，（舍去），或，所以，，.所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，BCD選項(xiàng)正確.故選：BCD11．若將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（       ）A．的最小正周期為B．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為C．的值域?yàn)?/span>D．圖象的一條對(duì)稱軸方程為【答案】BD【分析】先求得的解析式，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再將所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù).所以的最小正周期為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.的值域?yàn)?/span>，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，D選項(xiàng)正確.故選：BD12．定義：實(shí)數(shù)滿足，則稱比遠(yuǎn)離.已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，任取等于和中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值，則（       ）A．是偶函數(shù)B．的值域?yàn)?/span>C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減【答案】AD【分析】先求得的解析式，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，，由于，所以，，解得或，解得，或，或，或.同理，由解得或.設(shè)，設(shè)，，由于則；則，，故，所以為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確.由于，所以、，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知，，，而，所以在區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，在區(qū)間上遞減，D選項(xiàng)正確.故選：AD三、填空題13．若扇形的面積為，半徑為1，則扇形的圓心角為___________.【答案】【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算可得答案．【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，因?yàn)樯刃蔚拿娣e為，半徑為1，所以．解得，故答案為：．14．已知，則__________.【答案】【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以故答案為：15．若在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【分析】討論函數(shù)在的單調(diào)性即可得解.【詳解】函數(shù)，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，，，，所以在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式，則，所以.故答案為：16．在平面四邊形中，，若，則__________.【答案】1.5【分析】設(shè)，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案.【詳解】設(shè)，在中，，，，在中，，，，，由正弦定理得：，得，.故答案為：.四、解答題17．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義可求的值.（2）利用誘導(dǎo)公式可求三角函數(shù)式的值.【詳解】(1)由題意可得，所以，整理得，解得或.(2)因?yàn)?/span>，所以由（1）可得，所以，所以.18．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)求在上的最大值與最小值.【答案】(1)(2)最大值為2，最小值為【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得出結(jié)果.（2）由得，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】(1)令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為(2)由得，所以當(dāng)，即時(shí)，取最大值2；當(dāng)，即時(shí)，取最小值.19．設(shè)在區(qū)間單調(diào)，且都有(1)求的解析式；(2)用“五點(diǎn)法”作出在的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出函數(shù)在的所有零點(diǎn)之和.【答案】(1)(2)圖象見(jiàn)解析，所有零點(diǎn)之和為【分析】（1）依題意在時(shí)取最大值，在時(shí)取最小值，再根據(jù)函數(shù)在單調(diào)，即可得到，即可求出，再根據(jù)函數(shù)在取得最大值求出，即可求出函數(shù)解析式；（2）列出表格畫(huà)出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出零點(diǎn)和；【詳解】(1)解：依題意在時(shí)取最大值，在時(shí)取最小值，又函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，所以，即，又，所以，由得，即，又因?yàn)?/span>，所以，，所以.(2)解：列表如下0001 所以函數(shù)圖象如下所示：由圖知的一條對(duì)稱軸為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記為，則由對(duì)稱性知，所以所有實(shí)根之和為.20．在①；②.請(qǐng)?jiān)谏鲜鰞蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面題目中，然后解答補(bǔ)充完整的問(wèn)題.在中，角所對(duì)的邊分別為，__________.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）若選①，由正弦定理得，即可求出；若選②，由正弦定理得，即可求出.（2）用正弦定理得表示出，，得到，利用三角函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】(1)若選①，則由正弦定理得，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，即.若選②，則由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以.(2)由正弦定理得，所以，同理，由，故，所以由，所以，所以，所以的取值范圍是.21．某興趣小組要測(cè)量鐘樓的高度（單位：）.如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿的高度為，仰角.(1)該小組已測(cè)得一組的值，算出了，請(qǐng)據(jù)此算出的值（精確到）；(2)該小組分析測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到鐘樓的距離（單位：），使與之差較大，可以提高測(cè)量精度.若鐘樓的實(shí)際高度為，試問(wèn)為多少時(shí)，最大？【答案】(1)約為(2)為時(shí)，最大【分析】（1）運(yùn)用正切三角函數(shù)建立等式，再結(jié)合題中的數(shù)據(jù)可求解；（2）由，得到，再運(yùn)用基本不等式求解.【詳解】(1)由得，同理，.因?yàn)?/span>，所以，解得.因此，算出鐘樓的高度約為.(2)由題設(shè)知，得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，最大.因?yàn)?/span>，則，所以當(dāng)時(shí)，最大，故所求的是.22．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)?/span>時(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見(jiàn)解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【分析】（1）利用來(lái)證得結(jié)論成立.（2）（i）通過(guò)證明方程只有一個(gè)實(shí)根來(lái)判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.【詳解】(1)由已知當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，.(2)（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在單調(diào)遞增，于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點(diǎn)睛】對(duì)于“新定義”的題目，關(guān)鍵是要運(yùn)用新定義的知識(shí)以及原有的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.本題有兩個(gè)“新定義”，一個(gè)是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個(gè)是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解. 

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