2021-2022學(xué)年福建省福州第一中學(xué)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知等差數(shù)列{an}中，a4 + a9 = 8，則S12 = （       ）A．96 B．48 C．36 D．24【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B2．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（       ）A． B．1 C． D．4【答案】D【分析】設(shè)公比為，然后由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，，， 所以，所以，解得，所以，得故選：D3．已知F(3,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直x軸的弦長(zhǎng)為，則該橢圓的方程為（       ）A． + = 1 B． + = 1C． + = 1 D． + = 1【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.【詳解】依題意，所以橢圓方程為.故選：C4．過(guò)點(diǎn)P(2，1)作直線(xiàn)l，使l與雙曲線(xiàn)－y2＝1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)l共有A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】利用幾何法，結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，得出符合條件的結(jié)論.【詳解】由雙曲線(xiàn)的方程可知其漸近線(xiàn)方程為y＝±x，則點(diǎn)P(2，1)在漸近線(xiàn)y＝x上，又雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為A(2，0)，如圖所示．滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l有兩條：x＝2，y－1＝－(x－2)．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的公共點(diǎn)有一個(gè)的條件，結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合圖形，得出結(jié)果，屬于中檔題目.5．已知{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn，取得最大值時(shí)，n =（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得最大值.故選：B.6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足a1 = 1，－ = 1，則an =（       ）A．2n －1 B．n C．2n － 1 D．2n-1【答案】A【分析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1 = 1，－ = 1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以.故選：A.7．曲線(xiàn)為四葉玫瑰線(xiàn)，這種曲線(xiàn)在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車(chē)輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(       )①曲線(xiàn)C關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)C的面積超過(guò)4π.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對(duì)稱(chēng)性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(－x，－y)代入后依然為，故曲線(xiàn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②將點(diǎn)(y，x)代入后依然為，故曲線(xiàn)C關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線(xiàn)C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線(xiàn)C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線(xiàn)C的面積小于，則曲線(xiàn)C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選：C.8．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（       ）A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)【答案】B【分析】如圖設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計(jì)算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B二、多選題9．關(guān)于雙曲線(xiàn) - = 1，下列說(shuō)法正確的有（       ）A．實(shí)軸長(zhǎng)為4 B．焦點(diǎn)為（，0）C．右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為4 D．離心率為5【答案】AC【分析】求得，由此對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以實(shí)軸長(zhǎng)，A選項(xiàng)正確.焦點(diǎn)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，C選項(xiàng)正確.離心率，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，則下列結(jié)論正確的有（       ）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．可能為C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】AC【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差、等比數(shù)列的定義判斷A、C，再根據(jù)計(jì)算判斷B，利用特殊值判斷D；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，對(duì)于A：，則數(shù)列為等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B：若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)不滿(mǎn)足，所以，故不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，則，故數(shù)列為等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D：令，則，則，則，，，顯然，故D錯(cuò)誤；故選：AC11．已知F是拋物線(xiàn)y2 = 2px（p > 0）的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，以線(xiàn)段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（       ）A．以AB為直徑的圓與該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切B．若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)T（2，t）到點(diǎn)F的距離為4，則拋物線(xiàn)的方程為y2 = 4xC． 為定值D．|MN|的最小值為【答案】ACD【分析】由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)直線(xiàn)的方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而可得以為直徑的圓的半徑，再求的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，可判斷A，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，由題意可得的值，求出拋物線(xiàn)的方程，可判斷B，求解的值可判斷C，求出的表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，可求出的最小值，判斷D，【詳解】由題意可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，則的中點(diǎn)，由，得，所以，所以，對(duì)于A，，則以為直徑的圓的半徑為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以以為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于圓的半徑，所以以AB為直徑的圓與該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)T（2，t）到點(diǎn)F的距離為4，所以點(diǎn)T（2，t）到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，得，則拋物線(xiàn)的方程為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，為定值，所以C正確，對(duì)于D，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以D正確，故選：ACD12．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，則下列說(shuō)法正確的有（       ）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D． 【答案】AB【分析】結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，等差數(shù)列前項(xiàng)和公式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，所以是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確.，所以，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題13．在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于 ________ .【答案】27【分析】設(shè)公比為，利用已知條件求出，然后根據(jù)通項(xiàng)公式可求得答案【詳解】設(shè)公比為，插入的三個(gè)數(shù)分別為，因?yàn)?/span>，所以，得，所以，故答案為：2714．已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上兩點(diǎn)A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），則直線(xiàn)AB的斜率是 _________ .【答案】【分析】設(shè)出直線(xiàn)的方程，通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)的方程和漸近線(xiàn)的方程，結(jié)合中點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求得直線(xiàn)的斜率.【詳解】雙曲線(xiàn)，，漸近線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，由，由，所以，所以直線(xiàn)的斜率是.故答案為：15．橢圓x2 + = 1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x + y - 4 = 0的距離的最小值為 _________ .【答案】【分析】設(shè)與直線(xiàn)x + y - 4 = 0平行的直線(xiàn)方程為,求出即得解.【詳解】解：設(shè)與直線(xiàn)x + y - 4 = 0平行的直線(xiàn)方程為,所以，代入橢圓方程得，令或.當(dāng)時(shí)，平行線(xiàn)間的距離為；當(dāng)時(shí)，平行線(xiàn)間的距離為.所以最小距離為.故答案為：.16．圓錐曲線(xiàn)有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線(xiàn)E（如右圖）是由橢圓C1: + = 1和雙曲線(xiàn)C2: - =1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線(xiàn)）圍成.光線(xiàn)從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，然后在曲線(xiàn)E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，則光線(xiàn)從P0到P4所經(jīng)過(guò)的路程為 _________ .  【答案】【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線(xiàn)的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線(xiàn)，雙曲線(xiàn)和橢圓的焦點(diǎn)重合.根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為：四、解答題17．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得.【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.(2)解：，因此，.18．已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0），且與直線(xiàn)x =- 2相切.(1)求圓心M的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)（ -1，0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.【答案】(1)； (2). 【分析】(1)設(shè)圓心，軌跡兩點(diǎn)的距離公式列出方程，整理方程即可；(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程和點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，直線(xiàn)方程聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，消去x得出關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合根的判別式和韋達(dá)定理表示出弦，進(jìn)而列出不等式，解之即可.【詳解】(1)設(shè)圓心，由題意知，，整理，得，即圓心M的軌跡C方程為：；(2)由題意知，過(guò)點(diǎn)(-1，0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于點(diǎn)A、B，所以直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)，點(diǎn)，則，消去x，得，或，，同理可得，所以，即，由，得，解得，綜上，或，所以或，即直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為.19．已知數(shù)列滿(mǎn)足,，設(shè).(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）計(jì)算可得出，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】(1)證明：對(duì)任意的，，則，則，因?yàn)?/span>，則，，，以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，，則.(2)解：，則，，下式上式得.20．如圖四棱錐P - ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC = ∠DCB = ，CD = 2AB = 2BC = 2，△PDC是等邊三角形.(1)設(shè)面PAB面PDC = l，證明:l//平面ABCD；(2)線(xiàn)段PC內(nèi)是否存在一點(diǎn)E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ = 的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在【分析】（1）由已知可得∥，再由線(xiàn)面平行的判定可得∥平面，再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得∥，再由線(xiàn)面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】(1)證明：因?yàn)?/span>,所以，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面，因?yàn)?/span>平面，且平面面，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面，(2)設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>△PDC是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?/span>PDC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由已知得，則，所以，因?yàn)?/span>平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，則所以，整理得，解得（舍去），或，所以21．已知橢圓，斜率為的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與圓相切.(1)若，求直線(xiàn)的方程；(2)求三角形的面積的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）設(shè)直線(xiàn)，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)，，，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，得到，再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式表示出，再根據(jù)及基本不等式求出，最后再計(jì)算直線(xiàn)斜率不存在時(shí)三角形的面積，即可得解；【詳解】(1)解：圓，圓心為，半徑；設(shè)直線(xiàn)，即，則，解得，所以或；(2)解：因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率存在，設(shè)，，，即，則，所以，即，聯(lián)立，消元整理得，所以，，所以所以因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)軸時(shí)，取，，則，此時(shí)，所以；22．已知A（ -3，0），B（3，0），四邊形AMBN的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)D（1，0），kMA與kMB的等比中項(xiàng)為 ，直線(xiàn)AM，NB相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若點(diǎn)N也在C上，點(diǎn)P是否在定直線(xiàn)上?如果是，求出該直線(xiàn)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=9上.理由見(jiàn)解析.【分析】(1)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式和等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的應(yīng)用列出方程，整理方程即可；(2)設(shè)直線(xiàn)MN方程為：，點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理寫(xiě)出，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線(xiàn)PA、PB，聯(lián)立方程組，解方程組即可.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)，則，又，所以，整理，得，即軌跡M的方程C為：；(2)點(diǎn)P在定直線(xiàn)上.由(1)知，曲線(xiàn)C方程為：，直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)D(1,0)若直線(xiàn)MN斜率不存在，則，得，不符合題意；設(shè)直線(xiàn)MN方程為：，點(diǎn)，則，消去x，得，有，，，，所以直線(xiàn)PA方程為：，直線(xiàn)PB方程為：，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為方程組的解，有，即，整理，得，解得，即點(diǎn)P在定直線(xiàn)上. 

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