2021-2022學(xué)年遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等五校協(xié)作體高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)的定義域求得集合，由此求得.【詳解】由得，所以，所以.故選：A2．命題“，”的否定是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到是否定結(jié)論而不是否定條件，所以B選項(xiàng)正確.故選：B3．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（       ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】∵向量，，且，∴，解得.故選：D.4．已知函數(shù)，則的最小值（       ）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于函數(shù)，任取，，其中，所以，所以在上遞增.，令，則，由于在上遞增，當(dāng)時(shí)有最小值為，所以的最小值為.故選：A5．饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長(zhǎng)江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)經(jīng)過3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，跳3次，則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，記“3次跳動(dòng)后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知．故選：B．6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則的定義域?yàn)椋?/span>       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，所以，解得或，所以的定義域?yàn)?/span>.故選：B7．如圖，在中，，，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量運(yùn)算求得，進(jìn)而求得.【詳解】，所以.故選：C8．已知函數(shù)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（       ）A．或 B．1或 C．或 D．或1【答案】C【分析】先根據(jù)題意求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性得到的方程，解方程，即可求得的值，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，可得，解得，則，所以為偶函數(shù)，又由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)有唯一零點(diǎn)，可得，即，即，解得或.故選：C.二、多選題9．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生一周在生活方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在內(nèi)的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是（       ）A．樣本中支出在內(nèi)的頻率為0.03B．樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C．n的值為200D．若該校有2000名學(xué)生，則約有600人支出在內(nèi)【答案】BCD【分析】根據(jù)頻率之和為補(bǔ)全頻率分布直方圖，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高為，，解得.所以樣本中支出在內(nèi)的頻率為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，C選項(xiàng)正確.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為，B選項(xiàng)正確.該校有2000名學(xué)生，則約有人支出在內(nèi)，D選項(xiàng)正確.故選：BCD10．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（       ）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn) B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．單調(diào)遞減區(qū)間是 D．在內(nèi)的值域?yàn)?/span>【答案】BD【分析】由題意得，結(jié)合冪函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】將點(diǎn)代入，可得，則，因?yàn)?/span>，故的圖象不經(jīng)過點(diǎn)(2，4)，A錯(cuò)誤；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得：的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 單調(diào)遞減區(qū)間是和，在內(nèi)的值域?yàn)?/span>，故BD正確，C錯(cuò)誤.故選：BD.11．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)和上的增函數(shù)，則下列函數(shù)中是上的偶函數(shù)且在區(qū)間上為增函數(shù)的有（       ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意函數(shù)是上的奇函數(shù)和上的增函數(shù)，，則當(dāng)時(shí)，，且遞增.對(duì)于A選項(xiàng)，令，的定義域?yàn)?/span>，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù). A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，令，的定義域?yàn)?/span>，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù). B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，令，的定義域?yàn)?/span>，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上為增函數(shù). C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，令，的定義域?yàn)?/span>，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC12．下列關(guān)于向量，，的說法正確的是（       ）A．的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)，使得B．若且，則C．若且，則D．【答案】ACD【分析】利用共線向量定理可判斷A，利用向量平行的概念可判斷B，根據(jù)相等向量的定義可判斷C，利用向量的加法可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若向量，均為零向量，顯然符合題意，且存在不全為零的實(shí)數(shù)，使得；若，則由兩向量平行可知，存在，即，符合題意，由存在不全為零的實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)共線向量定理可得；故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，若且，則與不一定平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)相等向量的定義可知若且，則，故C正確；定義D，由向量的加法的幾何意義可知，當(dāng)向量，同向或至少有一個(gè)向量為零向量時(shí)右端等號(hào)成立，當(dāng)向量，反向或至少有一個(gè)向量為零向量時(shí)左端等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．計(jì)算：_____________【答案】【分析】根據(jù)根式、指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，，，，，所以.故答案為：14．不等式的解集：_____________.【答案】.【分析】化簡(jiǎn)不等式為，結(jié)合分式不等式的解法，即可求解.【詳解】由題意，不等式，可化為，根據(jù)分式不等式的解法，可得或，即不等式的解集為.故答案為：.15．已知函數(shù)，，且，則____________（填>，<，≥，≤）.【答案】【分析】由進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合圖象判斷出的大小關(guān)系.【詳解】由得，.由得，.畫出的圖象如下圖所示，由圖可知,.所以，故答案為：16．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.【答案】【分析】先判斷時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，或，所以當(dāng)時(shí)，與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以只需當(dāng)時(shí)，與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，下面只研究的情況：當(dāng)時(shí)，，（舍去）.當(dāng)時(shí)，，與的圖象沒有交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，符合題意.當(dāng)時(shí)，與的圖象沒有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，符合題意.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：四、解答題17．已知甲、乙兩組學(xué)生某次的測(cè)試成績(jī)分?jǐn)?shù)整理成如圖所示的莖葉圖.(1)求甲組的平均數(shù)，并求乙組的25%分位數(shù)；(2)現(xiàn)在老師想進(jìn)行試卷分析，在甲組中，，各找一人成績(jī)，組成一組，求79分、97分不全被選中的概率.【答案】(1)，81；(2).【分析】（1）利用平均數(shù)的概念及百分位數(shù)的概念即得；（2）利用古典概型概率公式及對(duì)立事件概率公式即求.(1)由莖葉圖的數(shù)據(jù)可得，甲組的平均數(shù)為，因?yàn)?/span>，所以乙組的25%分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)81；(2)記“79分、97分不全被選中”為事件A，在甲組中，，各找一人成績(jī)，組成一組，基本事件有種等可能的結(jié)果，其中79分、97分全被選中的基本事件有4種，故，∴.18．甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球4次時(shí)投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.(1)求乙獲勝的概率；(2)投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了3個(gè)球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）利用列舉法，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.(1)乙獲勝包括種情況，計(jì)算概率如下：乙投籃次時(shí)獲勝：，乙投籃次時(shí)獲勝：，乙投籃次時(shí)獲勝：，乙投籃次時(shí)獲勝：，所以乙獲勝的概率為.(2)投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了3個(gè)球，包括種情況，計(jì)算概率如下：甲投第球時(shí)獲勝：，乙投第球時(shí)獲勝：，所以投籃結(jié)束時(shí)，乙只投了3個(gè)球的概率為.19．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若時(shí)，求證：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)；(2)詳見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即得；（2）由題可得，利用冪函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)為增函數(shù)，再利用零點(diǎn)存在定理即證.(1)當(dāng)，即時(shí)，由，得，∴符合題意，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，解得，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或在此區(qū)間上單調(diào)遞增，∴或，即或且，當(dāng)，即時(shí)，由得，符合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)由題可得，又與單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以有且僅有一個(gè)，使，故函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).20．如圖，在中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)，.(1)試用，表示向量；(2)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使得EF過點(diǎn)M，設(shè)，，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三點(diǎn)共線求得.（2）先求得的等量關(guān)系式，利用基本不等式求得的最小值.(1)設(shè)，，由于三點(diǎn)共線，所以.所以.(2)依題意，，由于過點(diǎn)，而，，所以，由（1）得，所以,由于三點(diǎn)共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.21．設(shè)為給定的實(shí)常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.(1)若為“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知由（1）中的，且設(shè).若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義求得的值.（2）通過構(gòu)造函數(shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的減區(qū)間來求得的最大值.(1)依題意，為“函數(shù)”，即，即.(2)由（1）得，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有成立，即成立，不妨設(shè)，則，，構(gòu)造函數(shù)，則在區(qū)間上遞減.，函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向上.所以在上遞增，函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向下.所以在上遞減.所以的最大值為.22．已知函數(shù)（且），其反函數(shù)為.(1)若函數(shù)值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，存在，使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若時(shí)，函數(shù)，，探究函數(shù)在上是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析．【分析】（1）由題意,解出,則的函數(shù)值可以取到所有正實(shí)數(shù)，從而求出的范圍；（2）不等式成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出的范圍；（3）當(dāng)時(shí),求得,通過討論的范圍求其最大值，即可得到M的范圍．(1)由可得，所以,若值域?yàn)?/span>,則的函數(shù)值可以取到所有正實(shí)數(shù).因?yàn)?/span>的值域?yàn)?/span>,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)由(1)可知當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故等價(jià)于,故依題意可得對(duì)任意的,存在,使不等式恒成立,則只需,即,解得（舍）.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，故等價(jià)于,故依題意可得對(duì)任意的,存在,使不等式恒成立,則只需,即,則.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．(3)當(dāng)時(shí),,則,則,依題意只需.令,則．所以，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即；當(dāng)時(shí), 函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即；當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．所以，當(dāng)時(shí),的取值范圍是，當(dāng)時(shí),的取值范圍是,當(dāng)時(shí),的取值范圍是． 

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