2021-2022學(xué)年黑龍江省大慶市大慶中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則的值為（       ）A． B．C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，且等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號相同，所以，即.故選：B3．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關(guān)系．【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A．4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（     ）A．101 B．99 C．95 D．91【答案】C【分析】根據(jù)所給數(shù)列找到規(guī)律：兩次后項(xiàng)減前項(xiàng)所得數(shù)列為公差為2的數(shù)列，進(jìn)而反向確定原數(shù)列的第7項(xiàng).【詳解】根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：故選：C.5．是雙曲線：上一點(diǎn)，已知，則的值（       ）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點(diǎn)，，， 或，又，.故選：B6．已知數(shù)列中，，()，則（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由遞推關(guān)系確定數(shù)列的周期，運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，()，所以，所以數(shù)列的周期為3，又，所以.故選：A.7．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，為平面上點(diǎn)，則的最小值為A．3 B．2 C．4 D．【答案】A【分析】作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意可得，顯然，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。?/span>因?yàn)?/span>，，準(zhǔn)線，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.8．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，則＝（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式直接計(jì)算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.9．若平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，，，，到平面的距離為（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出，點(diǎn)A到平面的距離：，由此能求出結(jié)果【詳解】解：，，，，∴ 為平面的一條斜線，且∴ 點(diǎn)到平面的距離：故選：B.10．已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得為直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.二、多選題11．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列說法中正確的是（     ）A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB．如果m?α，α∥β，那么m∥βC．如果α∩β＝l，m∥α，那么m∥lD．如果m⊥n，m⊥α，nβ，那么α⊥β【答案】AB【分析】對于A,由面面垂直的判定定理得α⊥β；對于B，由面面平行的性質(zhì)得m∥β；對于C,m與l平行或異面；對于D，α與β可能平行，相交但不一定垂直.【詳解】對于A,當(dāng)m⊥n，m⊥α時(shí)，n?α或n∥α，當(dāng)n?α，n⊥β時(shí)，a⊥β，顯然正確，當(dāng)n∥α時(shí)，?l?α，使得n∥l，而n⊥β，所以l⊥β，即有a⊥β，綜上，總有a⊥β，A正確；對B，根據(jù)線面平行的定義可知，B正確；對于C ,如果α∩β＝l，m∥α，那么m與l平行或異面，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)，時(shí)，或，而， 可能平行，相交，那么不一定成立，D錯(cuò)誤,故選：AB.12．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且2a1+4a3＝S7，則以下結(jié)論正確的有（     ）A．a14＝0 B．S14最小 C．S11＝S16 D．S27＝0【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由2a1+4a3＝S7，可得a14＝0，然后逐項(xiàng)分析即可得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其等差為d，由于2a1+4a3＝S7，即6a1+8d＝7a1+21d，即a1+13d＝a14＝0，故A正確；當(dāng)時(shí)，Sn沒有最小值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>S16﹣S11＝a12+a13+a14+a15+a16＝5a14＝0，所以S11＝S16，故C正確；S27＝＝27（a1+13d）＝27a14＝0，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知直線與垂直，則m的值為______．【答案】0或-9-9或0【分析】根據(jù)給定條件利用兩直線互相垂直的性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】因直線與垂直，則有，解得或，所以m的值為0或-9.故答案為：0或-914．在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分別是AB，CD的中點(diǎn) ，EF=，則異面直線AD與BC所成角的大小為____.【答案】【分析】由已知找到異面直線所成角的平面角，再運(yùn)用余弦定理可得答案.【詳解】解：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接EO，FO，所以，則∠EOF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AD，BC所成的角的平面角，又因?yàn)?/span>EO=AD=1，FO=BC=，EF=.根據(jù)余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，異面直線AD與BC所成角的大小為30°.故答案為：30°.15．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.【答案】－.【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?/span>，所以，所以，即，又，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列，所以，所以．【解析】數(shù)列的遞推關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)定知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中得到， ，確定數(shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生靈活變形能力和推理與論證能力，平時(shí)應(yīng)注意方法的積累與總結(jié)，屬于中檔試題．16．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于、兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于、兩點(diǎn).，，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 ____.【答案】2【分析】畫出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可.【詳解】解：設(shè)拋物線為y2＝2px，如圖：，又，解得，設(shè)圓的半徑為，，解得：p＝2，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：2.故答案為：2.四、解答題17．已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，且2a2是a3和4a1的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1，b7=13，且bn+2+bn=2bn+1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；(2)根據(jù)已知求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合(1)中結(jié)論并利用分組求和法求解即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>是和的等差中項(xiàng)，所以，即，解得，所以.故答案為：.(2)因?yàn)?/span>，所以為等差數(shù)列，因?yàn)?/span>，，所以公差，故.所以.故答案為：.18．已知圓C：x2+y2+2ax﹣3＝0，且圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線3x﹣2y﹣3＝0對稱.(1)求圓C的半徑r；(2)若直線l過點(diǎn)A（2，），且與圓C交于MN，兩點(diǎn)，|MN|＝2，求直線l的方程.【答案】(1)r＝2(2)x﹣2＝0或x+﹣3＝0【分析】（1）由已知根據(jù)對稱性可知直線m過圓心C.代入后可求a，進(jìn)而可求半徑；（2）先求出圓心到直線l的距離，然后結(jié)合直線與圓相交的弦長公式可求.(1)解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為.因?yàn)閳AC關(guān)于直線m對稱，所以直線m過圓心C.將代入 ，解得.此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑r＝2.(2)解：設(shè)圓心到直線距離為d，則d＝＝＝1，①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程l為x＝2，符合條件.②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y﹣＝k（x﹣2），即x﹣y﹣2k+＝0，所以圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得，k＝﹣，直線l的方程為x+﹣3＝0，綜上所述，直線l的方程為x﹣2＝0或x+﹣3＝0.19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（0，2）的距離，與點(diǎn)M到直線l：y＝﹣2的距離相等.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)F且斜率為1的直線與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度.【答案】(1)x2＝8y(2)16【分析】小問1：由拋物線的定義可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；小問2：可知直線AB的方程為y＝x+2，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出y1+y2的值，利用拋物線的定義可求得|AB|的值.(1)由題意點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以，則p＝4，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是x2＝8y；(2)由已知直線AB的方程是y＝x+2，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，則y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝16．20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，構(gòu)造新等式，作差整理得到，進(jìn)而求解結(jié)論；（2）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再代入裂項(xiàng)求和即可.(1)證明：因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得到，整理得，又因?yàn)?/span>an＞0，所以，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3；(2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因?yàn)?/span>a1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.點(diǎn)E在PC上.(1)求證：平面BDE⊥平面PAC；(2)若E為PC的中點(diǎn)，求直線PC與平面AED所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意可判斷出ABCD是正方形，從而可得，再根據(jù)，由線面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可證出；（2）由、、兩兩垂直可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出直線PC與平面AED所成的角的正弦值.(1)因?yàn)?/span>PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．(2)由題可知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，即，取，0，， 所以直線與平面所成的角的正弦值為．22．已知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且滿足,若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) (2) ，或【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得：，，λ，根據(jù)向量的坐標(biāo)坐標(biāo)，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】(1)由已知，解得，所以 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知,設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，由韋達(dá)定理得 ①② 因?yàn)?/span>，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所以. 因?yàn)?/span>，所以，即，解得，所以，或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)表示，不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題． 

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