黑龍江省大慶中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）1.若，則（    ）A.   B.   C.   D.2.下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（    ）A.   B.   C.   D.3.直線的傾斜角為60°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線與直線的位置關(guān)系是（    ）A.平行   B.垂直   C.重合   D.平行或重合4.圓：和圓：的公切線的條數(shù)為（    ）A.1   B.2   C.3   D.45.設(shè)，向量，，，且，，則（    ）A.   B.3   C.4   D.6.如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為（    ）A.，   B.，   C.，   D.，7.（    ）A.   B.   C.   D.8.某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長(zhǎng)方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（    ）A.16   B.   C.20   D.9.已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A.10   B.3   C.   D.10.已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A.     B.C.   D.11.若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，則的值為（    ）A.2   B.1   C.   D.12.已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，，A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（    ）A.   B.   C.   D.二、多選題（本大題共2小題，共10.0分）13.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值可以是（    ）A.0   B.   C.   D.14.已知直線與圓：，則（    ）A.對(duì)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)B.，使直線與圓相切C.對(duì)，直線與圓一定相交D.直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長(zhǎng)為三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）15.圓與圓的公共弦所在直線方程____________.16.正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M和N分別是和的中點(diǎn)，則異面直線AM和CN所成角的余弦值為____________.17.直線：與曲線：有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是___________.18.一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)軸反射到圓：上，光線的最短路程是____________.四、解答題（本大題共5小題，共60.0分）19.已知直線與直線交于點(diǎn).（1）求過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行線之間的距離；（直線方程寫(xiě)成一般式）（2）求過(guò)點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.（直線方程寫(xiě)成一般式）20.已知圓：與直線相切.（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；21.如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，.（1）求證平面；（2）求直線與平面所成角的大小.22.已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡形狀.23.如圖，已知長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起，使得平面平面.（1）求證：；（2）若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)在何位置時(shí)，二面角的余弦值為.
大慶中學(xué)2021-2022學(xué)年度高二上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試題【答案】1.A  2.C  3.D  4.B  5.B  6.C  7.C  8.C  9.D  10.C11.C  12.A  13.AB  14.ACD15.16.17.18.419.解：（1）由，得.設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，所以直線的方程為，所以兩平行線間的距離.（2）當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，所以直線的方程的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.20.解：（1）由題意，知圓心到直線的距離，所以圓的方程為.（2）或21.解：（1）取CE中點(diǎn)為G，連接DG、FG，∵且，∴四邊形BFGC為平行四邊形，則且.∵四邊形ABCD為矩形，∴且，∴且，∴四邊形AFGD為平行四邊形，則.∵平面，平面，∴平面；（2）∵四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，∴，，又∵平面平面，且平面平面，∴平面.以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo)：，，，，，，則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則∵，，∴，取，得.∵，∴，∴，∴直線與平面所成角的大小為.22.解：（1）由已知設(shè)圓心，則由圓與軸正半軸相切，可得半徑，∵圓心到直線：的距離，由已知得，解得，故圓心為或，半徑等于3.∵圓與軸正半軸相切，∴圓心只能為，故圓的方程為；（2）①設(shè)，則，，∴，∴，∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，∴，即，即，所以點(diǎn)的軌跡的方程為，它是一個(gè)以（5，5）為圓心，以1為半徑的圓.23.（1）證明：∵長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，∴，則，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）取M中點(diǎn)O，連接DO，則平面ABCM，以O為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則平面ADM的一個(gè)法向量為，設(shè)，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.∵二面角的余弦值為.∴由，解得.∴為上靠近點(diǎn)的處.【解析】1.解：因?yàn)?/span>，所以，故.故選：A.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.2.解：由于選項(xiàng)：A不是周期函數(shù).選項(xiàng)B不是偶函數(shù)，選項(xiàng)D不是偶函數(shù)，故選：C.直接利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對(duì)定義的應(yīng)用能力.3.【分析】本題主要考查利用直線的斜率判斷直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求出直線MN的斜率，根據(jù)l1，的斜率關(guān)系即可得到.解：由點(diǎn)M，N可求得直線的斜率..因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以直線的斜率，則有，則直線與直線平行或重合.故選D.4.【分析】本題考查了兩圓的位置關(guān)系的判定及確定公切線的條數(shù)，是基礎(chǔ)題.根據(jù)圓心距與半徑的和差的大小關(guān)系判定兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而得出公切線的條數(shù).【解答】解：∵兩個(gè)圓：與：，∴圓圓心為，半徑為2，圓圓心為，半徑為2，∴兩圓圓心距為，∵，∴兩圓相交，有2條公切線.故選B.5.【分析】本題主要考查空間向量的平行、垂直關(guān)系及模長(zhǎng)公式求解，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)，可得，即可求得，根據(jù)，可得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即可求得，即可得坐標(biāo)，代入模長(zhǎng)公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，所以，所以.故選：B.6.【分析】主要考查了平均數(shù)和方差的概念，直接根據(jù)公式求解即可.【解答】解：∵的平均數(shù)為，∴，∴的平均數(shù)是：.∵的方差為，∴，∴的方差是：.故選C.7.【分析】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.利用二倍角公式和輔助角公式將原始化為，再求解.【解答】解：原式.故選C.8.【分析】本題考查了組合體的表面積，求四棱錐的斜高是關(guān)鍵，考查了運(yùn)算能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.該組合體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)長(zhǎng)方體組成，由勾股定理可計(jì)算出正四棱錐的斜高，即可運(yùn)用三角形的面積公式求出正四棱錐的側(cè)面積，再求出長(zhǎng)方體的側(cè)面積和底面積，再求和即可.【解答】解：由題意，該組合體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)長(zhǎng)方體組成，因?yàn)檎睦忮F的高為，所以正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：C.9.【分析】本題主要考查了法向量的應(yīng)用、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.利用，即可得出.【解答】解：由已知得，故點(diǎn)到平面的距離.故選D.10.【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用斜率的幾何意義求出取值范圍.【解答】解：∵圓的方程為，過(guò)點(diǎn)（1，2）作圓的切線方程，設(shè)切線方程為，即.則，解得：.則的取值范圍為.故選C.11.【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到線的距離公式，是基礎(chǔ)題.圓的圓心，半徑，由圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，得到圓心到直線的距離為1，由此能出的值.【解答】解：圓，即，圓心，半徑為3，∵圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為2，∴圓心到直線的距離為1，即，解得.故選C.12.【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.根據(jù)題意設(shè)的坐標(biāo)為，由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以CP為直徑的圓上，求出圓的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解：因?yàn)?/span>是直線上的任一點(diǎn)，所以設(shè)，因?yàn)閳AC：的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，所以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，則點(diǎn)A、B在以CP為直徑的圓上，即AB是圓C和圓的公共弦，則圓心的坐標(biāo)是，且半徑的平方是，所以圓的方程是①，又②，②-①得，，即公共弦AB所在的直線方程是，即，由，得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).故選A.13.【分析】本題主要考查了直線的點(diǎn)斜式方程，直線與直線垂直的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，由斜率乘積等于-1求解.【解答】解：當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，符合題意；當(dāng)時(shí)，將直線變形，得，得，由直線，得，得，因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得.綜上，實(shí)數(shù)的值為0或.故選AB.14.【分析】本題考查了直線系方程的應(yīng)用以及直線與圓的位置關(guān)系及判定，屬基礎(chǔ)題.結(jié)合題意，由過(guò)定點(diǎn)的直線系方程以及直線與圓的位置關(guān)系判定分析各選項(xiàng)即可【解答】解：由題意，直線變形得，由得直線過(guò)定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；將圓變形得，即圓心，半徑，所以，所以直線與圓一定相交，C正確，B錯(cuò)誤；由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)直線與過(guò)定點(diǎn)A和圓心的直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)取最小值，此時(shí)弦長(zhǎng)為，D正確.故選ACD.15.解：根據(jù)題意，圓，即，圓，即，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，變形可得，即兩圓公共弦的方程為，故答案為：，根據(jù)題意，將兩圓的方程變形為一般方程，聯(lián)立變形可得答案.本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AM和CN所成角的余弦值.本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)異面直線AM和CN所成角為，則.∴異面直線AM和CN所成角的余弦值為.故答案為：.17.【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是將曲線C的方程，兩邊平方，并注意到，得到一個(gè)半圓，然后考查直線與半圓何時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)即可，畫(huà)出圖形，借助于直線與圓相切的條件求得相切時(shí)的b的值，然后結(jié)合圖形觀察即得.【解答】解：如圖所示，是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度1為半徑的半圓，是一個(gè)斜率為1的直線，要使兩圖有兩個(gè)交點(diǎn)，連接和，直線必在AB以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個(gè)臨界位置直線的b值，當(dāng)直線與AB重合時(shí)，；當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，.所以b的取值范圍是.18.【分析】本題主要考查關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.求出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則最短路徑的長(zhǎng)為，計(jì)算求得結(jié)果.【解答】解：由題意可得圓心，半徑，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，如圖：所以，因此光線的最短路程是.故答案為4.19.本題主要考查的是直線方程的求法，兩直線平行的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.（1）先求得直線與直線交于點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，1），直線的方程為，點(diǎn)代入方程即可求解；（2）對(duì)直線是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)行分類討論即可，20.此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：韋達(dá)定理，直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題，屬于中檔題.（1）由圓O與直線相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可確定出圓的方程；（2）分兩種情況考慮：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)直線的方程，綜上，得到滿足題意直線的方程；（3）根據(jù)題意求出A的坐標(biāo)，設(shè)出直線AB的解析式，與圓方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之積，將A的橫坐標(biāo)代入表示出B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出B的縱坐標(biāo)，確定出B坐標(biāo)，由題中，表示出C坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線BC的解析式，即可確定出直線BC恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可.21.本題主要考查了線面平行的判定，直線與平面所成角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用空間向量求線面的夾角，屬于基礎(chǔ)題.（1）取CE中點(diǎn)為G，連接DG、FG，推出，可證平面CDE；（2）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線EF與平面ADE所成角的大小.22.本題圓的方程的求解及直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的探求及定值定點(diǎn)問(wèn)題，屬于拔高題.（1）設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，利用已知得t，r的關(guān)系，然后解方程組求解即可；（2）①設(shè)M的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出M的坐標(biāo)與A的坐標(biāo)的關(guān)系，然后代入（1）中的方程即可求解；②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)滿足題意，設(shè)，然后利用多項(xiàng)式恒等求解即可.23.本題考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)的位置的確定與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.（1）在長(zhǎng)方形中，，，M為DC的中點(diǎn)，可得，則，由線面垂直的判定可得平面，則；（2）取M中點(diǎn)O，連接DO，則平面，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求得值，即可得的位置.
 

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