?2021-2022中考數(shù)學模擬試卷
考生請注意：
1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。
2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。
3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．平面直角坐標系內(nèi)一點關(guān)于原點對稱點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠B=30°．動點P從點B出發(fā)，沿 B-C-D的路線向點D運動．設(shè)△ABP的面積為y(B、P兩點重合時，△ABP的面積可以看作0)，點P運動的路程為x，則y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖像大致為（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點B，點C是⊙O優(yōu)弧弧AB上一點，連接AC、BC，如果∠P=∠C，⊙O的半徑為1，則劣弧弧AB的長為（　　）

A．π B．π C．π D．π
4．如圖所示是8個完全相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的左視圖是（ ）

A． B．
C． D．
5．一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，投擲這樣的骰子一次，向上一面點數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．6種
6．如圖是由7個同樣大小的正方體擺成的幾何體．將正方體①移走后，所得幾何體（　　）

A．主視圖不變，左視圖不變
B．左視圖改變，俯視圖改變
C．主視圖改變，俯視圖改變
D．俯視圖不變，左視圖改變
7．全球芯片制造已經(jīng)進入10納米到7納米器件的量產(chǎn)時代. 中國自主研發(fā)的第一臺7納米刻蝕機，是芯片制造和微觀加工最核心的設(shè)備之一，7納米就是0.000000007米. 數(shù)據(jù)0.000000007用科學計數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
8．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
9．運用乘法公式計算（3﹣a）（a+3）的結(jié)果是（　?。?br /> A．a(chǎn)2﹣6a+9 B．a(chǎn)2﹣9 C．9﹣a2 D．a(chǎn)2﹣3a+9
10．如圖，若a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．60° C．120° D．150°
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11．分解因式：＝___________．
12．函數(shù)的定義域是________.
13．關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是_____．
14．如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，則DF的長為__．

15．分解因式：9x3﹣18x2+9x= ．
16．如圖，直線a∥b，正方形ABCD的頂點A、B分別在直線a、b上．若∠2＝73°，則∠1＝ ．

三、解答題（共8題，共72分）
17．（8分）閱讀材料：對于線段的垂直平分線我們有如下結(jié)論：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上．即如圖①，若PA＝PB，則點P在線段AB的垂直平分線上

請根據(jù)閱讀材料，解決下列問題：
如圖②，直線CD是等邊△ABC的對稱軸，點D在AB上，點E是線段CD上的一動點（點E不與點C、D重合），連結(jié)AE、BE，△ABE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與△BCF重合．
（I）旋轉(zhuǎn)中心是點 ，旋轉(zhuǎn)了 （度）；
（II）當點E從點D向點C移動時，連結(jié)AF，設(shè)AF與CD交于點P，在圖②中將圖形補全，并探究∠APC的大小是否保持不變？若不變，請求出∠APC的度數(shù)；若改變，請說出變化情況．
18．（8分）如圖，AC⊥BD，DE交AC于E，AB＝DE，∠A＝∠D．求證：AC＝AE+BC．

19．（8分）如圖，經(jīng)過原點的拋物線y=﹣x2+2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A，過點P（1，m）作直線PA⊥x軸于點M，交拋物線于點B．記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C（點B、C不重合），連接CB、CP．
（I）當m=3時，求點A的坐標及BC的長；
（II）當m＞1時，連接CA，若CA⊥CP，求m的值；
（III）過點P作PE⊥PC，且PE=PC，當點E落在坐標軸上時，求m的值，并確定相對應的點E的坐標．

20．（8分）如圖，直線y＝﹣x+2與反比例函數(shù) （k≠0）的圖象交于A（a，3），B（3，b）兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D．

（1）求a，b的值及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在直線y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，請求出此時點P的坐標；
（3）在x軸正半軸上是否存在點M，使得△MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，說明理由．
21．（8分）手機下載一個APP、繳納一定數(shù)額的押金，就能以每小時0.5到1元的價格解鎖一輛自行車任意騎行，共享單車為解決市民出行的“最后一公里”難題幫了大忙，人們在享受科技進步、共享經(jīng)濟帶來的便利的同時，隨意停放、加裝私鎖、推車下河、大卸八塊等毀壞共享單車的行為也層出不窮?某共享單車公司一月投入部分自行車進入市場，一月底發(fā)現(xiàn)損壞率不低于10%，二月初又投入1200輛進入市場，使可使用的自行車達到7500輛．一月份該公司投入市場的自行車至少有多少輛？二月份的損壞率為20%，進入三月份，該公司新投入市場的自行車比二月份增長4a%，由于媒體的關(guān)注，毀壞共享單車的行為點燃了國民素質(zhì)的大討論，三月份的損壞率下降為a%，三月底可使用的自行車達到7752輛，求a的值．
22．（10分）如圖，在中，，，點D是BC上任意一點，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段AE，連結(jié)EC．
依題意補全圖形；
求的度數(shù)；
若，，將射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)交EC的延長線于點F，請寫出求AF長的思路．

23．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，每個小正方形的邊長都為1，和的頂點都在格點上，回答下列問題：
可以看作是經(jīng)過若干次圖形的變化平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)得到的，寫出一種由得到的過程：______；
畫出繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)的圖形；
在中，點C所形成的路徑的長度為______．

24．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，延長CE，BA交于點F，連接AC，DF．求證：四邊形ACDF是平行四邊形；當CF平分∠BCD時，寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．




參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1、D
【解析】
根據(jù)“平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（-x，-y），即關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)”解答．
【詳解】
解：根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標的特點，
∴點A（-2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（2，-3）, 故選D．
【點睛】
本題主要考查點關(guān)于原點對稱的特征，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握點關(guān)于原點對稱的特征.
2、C
【解析】
先分別求出點P從點B出發(fā)，沿B→C→D向終點D勻速運動時，當0＜x≤2和2＜x≤4時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可得出函數(shù)的圖象．
【詳解】
由題意知，點P從點B出發(fā)，沿B→C→D向終點D勻速運動，則
當0＜x≤2，y=x，
當2＜x≤4，y=1，
由以上分析可知，這個分段函數(shù)的圖象是C．
故選C．
3、A
【解析】
利用切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，再利用圓周角定理得到∠C=∠O，加上∠P=∠C可計算寫出∠O=60°，然后根據(jù)弧長公式計算劣弧的長．
【詳解】
解：∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠C=∠O，∠P=∠C，
∴∠O=2∠P，
而∠O+∠P=90°，
∴∠O=60°，
∴劣弧AB的長=．
故選：A．
【點睛】
本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和弧長公式．
4、A
【解析】
分析：根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側(cè)面和上面看所得到的圖形，從而得出該幾何體的左視圖．
詳解：該幾何體的左視圖是：

故選A．
點睛：本題考查了學生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力．
5、C
【解析】
試題分析：一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，擲一次這枚骰子，向上的一面的點數(shù)為偶數(shù)的有3種情況，故選C．
考點：正方體相對兩個面上的文字．
6、A
【解析】
分別得到將正方體①移走前后的三視圖，依此即可作出判斷．
【詳解】
將正方體①移走前的主視圖為：第一層有一個正方形，第二層有四個正方形，正方體①移走后的主視圖為：第一層有一個正方形，第二層有四個正方形，沒有改變。
將正方體①移走前的左視圖為：第一層有一個正方形，第二層有兩個正方形，正方體①移走后的左視圖為：第一層有一個正方形，第二層有兩個正方形，沒有發(fā)生改變。
將正方體①移走前的俯視圖為：第一層有四個正方形，第二層有兩個正方形，正方體①移走后的俯視圖為：第一層有四個正方形，第二層有兩個正方形，發(fā)生改變。
故選A.
【點睛】
考查了三視圖，從幾何體的正面，左面，上面看到的平面圖形中正方形的列數(shù)以及每列正方形的個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.
7、A
【解析】
絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【詳解】
數(shù)據(jù)0.000000007用科學記數(shù)法表示為7×10-1．
故選A．
【點睛】
本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
8、B
【解析】
試題分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，由此可知2-a≥0，解得a≤2.
故選B
點睛：此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確被開方數(shù)的符號，然后根據(jù)性質(zhì)可求解.
9、C
【解析】
根據(jù)平方差公式計算可得．
【詳解】
解：（3﹣a）（a+3）＝32﹣a2＝9﹣a2，
故選C．
【點睛】
本題主要考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
10、C
【解析】
如圖：

∵∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
又∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=120°，
故選C.
點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.平行線的性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補，兩條平行線之間的距離處處相等.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11、
【解析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【詳解】
解：=，
故答案為.
【點睛】
此題主要考查了公式法分解因式，正確應用完全平方公式是解題關(guān)鍵．
12、x≥-1
【解析】
分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0，可以求出x的范圍．
詳解：根據(jù)題意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1．
故答案為x≥﹣1．
點睛：考查了函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域一般從三個方面考慮：
（1）當函數(shù)表達式是整式時，定義域可取全體實數(shù)；
（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（1）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．
13、k＞
【解析】
由方程根的情況，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于k的不等式，則可求得k的取值范圍．
【詳解】
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不相等的實根，
∴△＞0，即（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
解得k＞，
故答案為k＞．
【點睛】
本題主要考查根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14、1
【解析】
試題分析：如圖，延長CF交AB于點G，

∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，
∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．
又∵點D是BC中點，∴DF是△CBG的中位線．
∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=1．
15、9x
【解析】
試題分析：首先提取公因式9x，然后利用完全平方公式進行因式分解.原式=9x（－2x+1）=9x.
考點：因式分解
16、107°
【解析】
過C作d∥a, 得到a∥b∥d，構(gòu)造內(nèi)錯角，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及平角的定義，即可得到∠1的度數(shù)．
【詳解】
過C作d∥a, ∴a∥b, ∴a∥b∥d,

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°, ∵∠2=73°，∴∠6=90°-∠2=17°,
∵b∥d, ∴∠3=∠6=17°, ∴∠4=90°-∠3=73°, ∴∠5=180°-∠4=107°,
∵a∥d, ∴∠1=∠5=107°,故答案為107°.
【點睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)以及正方形性質(zhì)的運用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角．

三、解答題（共8題，共72分）
17、B 60
【解析】
分析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出結(jié)論;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=CF，則點F在線段BC的垂直平分線上，又由AC=AB，可得點A在線段BC的垂直平分線上，由AF垂直平分BC,即∠CQP=90，進而得出∠APC的度數(shù).
詳解：(1)B,60；
（2）補全圖形如圖所示；

的大小保持不變,
理由如下：設(shè)與交于點
∵直線是等邊的對稱軸
∴,
∵經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后與重合
∴ ,
∴
∴點在線段的垂直平分線上
∵
∴點在線段的垂直平分線上
∴垂直平分,即
∴
點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，注意只證明一點是不能說明這條直線是垂直平分線的.
18、見解析.
【解析】
由“SAS”可證△ABC≌△DEC，可得BC＝CE，即可得結(jié)論．
【詳解】
證明：∵AB＝DE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴BC＝CE，
∵AC＝AE+CE
∴AC＝AE+BC
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
19、（I）4；（II） （III）（2，0）或（0，4）
【解析】
（I）當m=3時，拋物線解析式為y=-x2+6x，解方程-x2+6x=0得A（6，0），利用對稱性得到C（5，5），從而得到BC的長；
（II）解方程-x2+2mx=0得A（2m，0），利用對稱性得到C（2m-1，2m-1），再根據(jù)勾股定理和兩點間的距離公式得到（2m-2）2+（m-1）2+12+（2m-1）2=（2m-1）2+m2，然后解方程即可；
（III）如圖，利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m-2，ME=BP=m-1，則根據(jù)P點坐標得到2m-2=m，解得m=2，再計算出ME=1得到此時E點坐標；作PH⊥y軸于H，如圖，利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m-1，HE′=BC=2m-2，利用P（1，m）得到m-1=1，解得m=2，然后計算出HE′得到E′點坐標．
【詳解】
解：（I）當m=3時，拋物線解析式為y=﹣x2+6x，
當y=0時，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，則A（6，0），
拋物線的對稱軸為直線x=3，
∵P（1，3），
∴B（1，5），
∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C
∴C（5，5），
∴BC=5﹣1=4；
（II）當y=0時，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，則A（2m，0），
B（1，2m﹣1），
∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C，而拋物線的對稱軸為直線x=m，
∴C（2m﹣1，2m﹣1），
∵PC⊥PA，
∴PC2+AC2=PA2，
∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，
整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=，
即m的值為；
（III）如圖，
∵PE⊥PC，PE=PC，
∴△PME≌△CBP，
∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，
而P（1，m）
∴2m﹣2=m，解得m=2，
∴ME=m﹣1=1，
∴E（2，0）；
作PH⊥y軸于H，如圖，
易得△PHE′≌△PBC，
∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，
而P（1，m）
∴m﹣1=1，解得m=2，
∴HE′=2m﹣2=2，
∴E′（0，4）；
綜上所述，m的值為2，點E的坐標為（2，0）或（0，4）．

【點睛】
本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會運用全等三角形的知識解決線段相等的問題；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式．
20、（1）y＝；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（，0）或（，0）．
【解析】
（1）利用點在直線上，將點的坐標代入直線解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；
（2）設(shè)出點P坐標，用三角形的面積公式求出S△ACP＝×3×|n＋1|，S△BDP＝×1×|3?n|，進而建立方程求解即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)出點M坐標，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m?3）2＋1，AB2＝32，再三種情況建立方程求解即可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）∵直線y＝－x＋2與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于A（a，3），B（3，b）兩點，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，
∴a＝－1，b＝－1，
∴A（－1，3），B（3，－1），
∵點A（－1，3）在反比例函數(shù)y＝上，
∴k＝－1×3＝－3，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝；
（2）設(shè)點P（n，－n＋2），
∵A（－1，3），
∴C（－1，0），
∵B（3，－1），
∴D（3，0），
∴S△ACP＝AC×|xP?xA|＝×3×|n＋1|，S△BDP＝BD×|xB?xP|＝×1×|3?n|，
∵S△ACP＝S△BDP，
∴×3×|n＋1|＝×1×|3?n|，
∴n＝0或n＝?3，
∴P（0，2）或（?3，5）；
（3）設(shè)M（m，0）（m＞0），
∵A（?1，3），B（3，?1），
∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m?3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（?1?3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①當MA＝MB時，
∴（m＋1）2＋9＝（m?3）2＋1，
∴m＝0，（舍）
②當MA＝AB時，
∴（m＋1）2＋9＝32，
∴m＝?1＋或m＝?1?（舍），
∴M（?1＋，0）
③當MB＝AB時，（m?3）2＋1＝32，
∴m＝3＋或m＝3?（舍），
∴M（3＋，0）
即：滿足條件的M（?1＋，0）或（3＋，0）．
【點睛】
此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積的求法，等腰三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
21、（1）7000輛；（2）a的值是1．
【解析】
（1）設(shè)一月份該公司投入市場的自行車x輛，根據(jù)損壞率不低于10%，可得不等量關(guān)系：一月初投入的自行車-一月底可用的自行車≥一月?lián)p壞的自行車列不等式求解；
（2）根據(jù)三月底可使用的自行車達到7752輛，可得等量關(guān)系為：（二月份剩余的可用自行車+三月初投入的自行車）×三月份的損耗率=7752輛列方程求解.
【詳解】
解：（1）設(shè)一月份該公司投入市場的自行車x輛，
x﹣（7500﹣110）≥10%x，
解得x≥7000，
答：一月份該公司投入市場的自行車至少有7000輛；
（2）由題意可得，
[7500×（1﹣1%）+110（1+4a%）]（1﹣a%）=7752，
化簡，得
a2﹣250a+4600=0，
解得：a1=230，a2=1，
∵，
解得a＜80，
∴a=1，
答：a的值是1．
【點睛】
本題考查了一元一次不等式和一元二次方程的實際應用，根據(jù)一月底的損壞率不低于10%找出不等量關(guān)系式解答（1）的關(guān)鍵；根據(jù)三月底可使用的自行車達到7752輛找出等量關(guān)系是解答（2）的關(guān)鍵.
22、（1）見解析；（2）90°；（3）解題思路見解析.
【解析】
（1）將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連結(jié)EC．
（2）先判定△ABD≌△ACE，即可得到，再根據(jù)，即可得出；
（3）連接DE，由于△ADE為等腰直角三角形，所以可求；由， ，可求的度數(shù)和的度數(shù)，從而可知DF的長；過點A作于點H，在Rt△ADH中，由，AD=1可求AH、DH的長；由DF、DH的長可求HF的長；在Rt△AHF中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的長．
【詳解】
解：如圖，

線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段AE．
，，
．
，
．
，
在和中
，
≌．
，
中，，，
．
；
Ⅰ連接DE，由于為等腰直角三角形，所以可求；
Ⅱ由，，可求的度數(shù)和的度數(shù)，從而可知DF的長；
Ⅲ過點A作于點H，在中，由，可求AH、DH的長；
Ⅳ由DF、DH的長可求HF的長；
Ⅴ在中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的長．
故答案為（1）見解析；（2）90°；（3）解題思路見解析.
【點睛】
本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是要注意對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．
23、（1）先沿y軸翻折，再向右平移1個單位，向下平移3個單位；先向左平移1個單位，向下平移3個單位，再沿y軸翻折；（2）見解析；（3）．
【解析】
（1）△ABC先沿y軸翻折，再向右平移1個單位，向下平移3個單位；或先向左平移1個單位，向下平移3個單位，再沿y軸翻折，即可得到△DEF；
按照旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度以及旋轉(zhuǎn)方向，即可得到△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn) 的圖形△ ；
依據(jù)點C所形成的路徑為扇形的弧，利用弧長計算公式進行計算即可．
【詳解】
解：（1）答案不唯一例如：先沿y軸翻折，再向右平移1個單位，向下平移3個單位；先向左平移1個單位，向下平移3個單位，再沿y軸翻折．

（2）分別將點C、A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到點 、 ，如圖所示，△即為所求；
（3）點C所形成的路徑的長為：．
故答案為（1）先沿y軸翻折，再向右平移1個單位，向下平移3個單位；先向左平移1個單位，向下平移3個單位，再沿y軸翻折；（2）見解析；（3）π．
．
【點睛】
本題考查坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)，平移，對稱，解題時需要注意：平移的距離等于對應點連線的長度，對稱軸為對應點連線的垂直平分線，旋轉(zhuǎn)角為對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角的大?。?br /> 24、（1）證明見解析；（2）BC=2CD，理由見解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性質(zhì)，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根據(jù)CD∥AF，即可得出四邊形ACDF是平行四邊形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根據(jù)E是AD的中點，可得AD=2CD，依據(jù)AD=BC，即可得到BC=2CD．
詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四邊形ACDF是平行四邊形；
（2）BC=2CD．
證明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中點，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
點睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．

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