備戰(zhàn)中考初中數(shù)學(xué)導(dǎo)練學(xué)案50講—第27講銳角三角函數(shù)（講練版）

這是一份備戰(zhàn)中考初中數(shù)學(xué)導(dǎo)練學(xué)案50講—第27講銳角三角函數(shù)（講練版），共26頁(yè)。學(xué)案主要包含了疑難點(diǎn)撥等內(nèi)容，歡迎下載使用。
【疑難點(diǎn)撥】
1. 理解三角函數(shù)的表達(dá)式向方程的轉(zhuǎn)化
銳角三角函數(shù)的定義：
實(shí)際上分別給了三個(gè)量的關(guān)系：a、b、c是邊的長(zhǎng)、、和是由用不同方式來(lái)決定的三角函數(shù)值，它們都是實(shí)數(shù)，但它與代數(shù)式的不同點(diǎn)在于三角函數(shù)的值是有一個(gè)銳角的數(shù)值參與其中。
當(dāng)這三個(gè)實(shí)數(shù)中有兩個(gè)是已知數(shù)時(shí)，它就轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元方程，解這個(gè)方程，就求出了一個(gè)直角三角形的未知的元素。
2. 淺談銳角三角函數(shù)的求值策略
（1）準(zhǔn)確根據(jù)三角函數(shù)的概念求值
在直角三角形中求解三角函數(shù)值或運(yùn)用三角函數(shù)值時(shí)，都須準(zhǔn)確根據(jù)三角函數(shù)的概念來(lái)進(jìn)行，決不能張冠李戴．
（2）運(yùn)用參數(shù)法求三角函數(shù)值
由于三角函數(shù)值實(shí)質(zhì)上就是直角三角形兩邊的比值，所以有時(shí)需將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段比，通過(guò)設(shè)定一個(gè)參數(shù)，并用含該參數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示出直角三角形各邊長(zhǎng)，然后結(jié)合相關(guān)條件解決問(wèn)題。
（3）運(yùn)用轉(zhuǎn)化手段求三角函數(shù)值
三角函數(shù)值的大小與角的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，故當(dāng)一個(gè)銳角的三角函數(shù)值不能直接求解時(shí)，往往采用轉(zhuǎn)化手段，通過(guò)求其等角的三角函數(shù)值來(lái)達(dá)到目的。
（4）通過(guò)構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值
對(duì)于一般的銳角，其三角函數(shù)值可以用計(jì)算器求出，這樣既方便快速，又準(zhǔn)確無(wú)誤。
3. 利用特殊角的三角函數(shù)解三角形：解三角形時(shí)，可以利用特殊角的三角函數(shù)求解，比如、、、。一般滿足條件：SSS、SAS、ASA、AAS，就可以利用作輔助線互相求解。
（1）滿足SSS條件，求角；（2）滿足SAS條件，求面積；（3）滿足AAS條件，求邊?？山馊切蔚慕忸}方法是恰當(dāng)作垂線，使特殊角（、、、）盡量多地含在所作的三角形中，采用特殊角的三角函數(shù)易于求解。
【基礎(chǔ)篇】
一、選擇題：
1. （2018?柳州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，則sinB==（ ）
A．B．C．D．
2. （2018·云南省·4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，則∠A的正切值為（ ）
A．3B．C．D．
3. （2018?山東淄博?4分）一輛小車(chē)沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米．在用科學(xué)計(jì)算器求坡角α的度數(shù)時(shí)，具體按鍵順序是（ ）
A．
B．
C．
D．
4. （2018?貴陽(yáng)）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則tan∠BAC的值為（ ）
A．B．1C．D．
5. （2018?金華）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：
6. （2018·山東青島·3分）計(jì)算：2﹣1×+2cs30°= 2 ．
7. （2018·遼寧省阜新市）如圖，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，點(diǎn)B到塔底C的水平距離BC是30m，那么塔AC的高度為 m（結(jié)果保留根號(hào)）．
8. 如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點(diǎn)O，則tan∠AEO=____
三、解答與計(jì)算題：
9. 計(jì)算：|-4|+()-1-(-1)0-cs45°．
10. 如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
（1）求證：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．
【能力篇】
一、選擇題：
11. （2018?山東棗莊?3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（ ）
A．B．C．D．
12. 圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為（ ）
A. B. C. D.
13. 已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD=∠A，則sin∠ABD=（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：
14. （2018·四川宜賓·3分）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E且DE交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G，若=，則= ．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2．設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是____
三、解答與計(jì)算題：
16. 已知⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F，點(diǎn)E在CD上，且AE=CE．
（1）求證：CA2=CE CD；
（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．
17. （2018·湖北荊州·10分）問(wèn)題：已知α、β均為銳角，tanα=，tanβ=，求α+β的度數(shù)．
探究：（1）用6個(gè)小正方形構(gòu)造如圖所示的網(wǎng)格圖（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），請(qǐng)借助這個(gè)網(wǎng)格圖求出α+β的度數(shù)；
延伸：（2）設(shè)經(jīng)過(guò)圖中M、P、H三點(diǎn)的圓弧與AH交于R，求的弧長(zhǎng)．
18. （2018·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)·12分）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)B．連接PB，AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【探究篇】
19. 如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D、E，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．
（1）試判斷∠CBD與∠CEB是否相等，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：；
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．
20. （2018?江蘇揚(yáng)州?12分）問(wèn)題呈現(xiàn)
如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．
方法歸納
求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫(huà)平行線等方法解決此類(lèi)問(wèn)題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．
問(wèn)題解決
（1）直接寫(xiě)出圖1中tan∠CPN的值為 2 ；
（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cs∠CPN的值；
思維拓展
（3）如圖3，AB⊥BC，AB=4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM=BC，延長(zhǎng)CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù)．
第27講 銳角三角函數(shù)
【疑難點(diǎn)撥】
1. 理解三角函數(shù)的表達(dá)式向方程的轉(zhuǎn)化
銳角三角函數(shù)的定義：
實(shí)際上分別給了三個(gè)量的關(guān)系：a、b、c是邊的長(zhǎng)、、和是由用不同方式來(lái)決定的三角函數(shù)值，它們都是實(shí)數(shù)，但它與代數(shù)式的不同點(diǎn)在于三角函數(shù)的值是有一個(gè)銳角的數(shù)值參與其中。
當(dāng)這三個(gè)實(shí)數(shù)中有兩個(gè)是已知數(shù)時(shí)，它就轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元方程，解這個(gè)方程，就求出了一個(gè)直角三角形的未知的元素。
2. 淺談銳角三角函數(shù)的求值策略
（1）準(zhǔn)確根據(jù)三角函數(shù)的概念求值
在直角三角形中求解三角函數(shù)值或運(yùn)用三角函數(shù)值時(shí)，都須準(zhǔn)確根據(jù)三角函數(shù)的概念來(lái)進(jìn)行，決不能張冠李戴．
（2）運(yùn)用參數(shù)法求三角函數(shù)值
由于三角函數(shù)值實(shí)質(zhì)上就是直角三角形兩邊的比值，所以有時(shí)需將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段比，通過(guò)設(shè)定一個(gè)參數(shù)，并用含該參數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示出直角三角形各邊長(zhǎng)，然后結(jié)合相關(guān)條件解決問(wèn)題。
（3）運(yùn)用轉(zhuǎn)化手段求三角函數(shù)值
三角函數(shù)值的大小與角的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，故當(dāng)一個(gè)銳角的三角函數(shù)值不能直接求解時(shí)，往往采用轉(zhuǎn)化手段，通過(guò)求其等角的三角函數(shù)值來(lái)達(dá)到目的。
（4）通過(guò)構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值
對(duì)于一般的銳角，其三角函數(shù)值可以用計(jì)算器求出，這樣既方便快速，又準(zhǔn)確無(wú)誤。
3. 利用特殊角的三角函數(shù)解三角形：解三角形時(shí)，可以利用特殊角的三角函數(shù)求解，比如、、、。一般滿足條件：SSS、SAS、ASA、AAS，就可以利用作輔助線互相求解。
（1）滿足SSS條件，求角；（2）滿足SAS條件，求面積；（3）滿足AAS條件，求邊?？山馊切蔚慕忸}方法是恰當(dāng)作垂線，使特殊角（、、、）盡量多地含在所作的三角形中，采用特殊角的三角函數(shù)易于求解。
【基礎(chǔ)篇】
一、選擇題：
1. （2018?柳州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，則sinB==（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再計(jì)算sinB即可．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinB==，
故選：A．
2. （2018·云南省·4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，則∠A的正切值為（ ）
A．3B．C．D．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值為==3，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
3. （2018?山東淄博?4分）一輛小車(chē)沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米．在用科學(xué)計(jì)算器求坡角α的度數(shù)時(shí)，具體按鍵順序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；T6：計(jì)算器—三角函數(shù)．
【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.15，然后利用計(jì)算器求銳角α．
【解答】解：sinA===0.15，
所以用科學(xué)計(jì)算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)時(shí)，按鍵順序?yàn)?br>故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了計(jì)算器﹣三角函數(shù)：正確使用計(jì)算器，一般情況下，三角函數(shù)值直接可以求出，已知三角函數(shù)值求角需要用第二功能鍵．
4. （2018?貴陽(yáng)）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則tan∠BAC的值為（ ）
A．B．1C．D．
【分析】連接BC，由網(wǎng)格求出AB，BC，AC的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：連接BC，
由網(wǎng)格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
則tan∠BAC=1，
故選：B．
5. （2018?金華）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為（ ）
A．B．C．D．
【分析】在兩個(gè)直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問(wèn)題；
【解答】解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=： =，
故選：B．
二、填空題：
6. （2018·山東青島·3分）計(jì)算：2﹣1×+2cs30°= 2 ．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和有理數(shù)的乘法和加法可以解答本題．
【解答】解：2﹣1×+2cs30°
=
=
=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法．
7. （2018·遼寧省阜新市）如圖，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，點(diǎn)B到塔底C的水平距離BC是30m，那么塔AC的高度為 10 m（結(jié)果保留根號(hào)）．
【解答】解：∵在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，∴∠B=30°．
∵BC=30m，∴AC=m．
故答案為：10．
8. 如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分線交△ABC的高BF于點(diǎn)O，則tan∠AEO=____
答案：．
知識(shí)點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值
解析：
解答：∵△ABC是等邊三角形，
∠ABC=60°，AB=BC，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠ABC=30°，
∵AB=AC，AE=AC，
∴AB=AE，
∵AO平分∠BAE，
∴∠BAO=∠EAO，
∵在△BAO和△EAO中
∵
∴△BAO≌△EAO，
∴∠AEO=∠ABO=30°，
∴tan∠AEO=tan30°=，
故答案為：．
分析：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是證出∠AEO=∠ABO，題目比較典型，難度適中．
根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和三線合一定理求出∠BAF=60°，推出AB=AE，根據(jù)SAS證△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．
三、解答與計(jì)算題：
9. 計(jì)算：|-4|+()-1-(-1)0-cs45°．
答案：3．
知識(shí)點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值
解析：
解答：原式=4+2-1-2×=5-2=3．
分析：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪、二次根式化簡(jiǎn)、特殊角的三角函數(shù)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
本題涉及絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪、二次根式化簡(jiǎn)、特殊角的三角函數(shù)值等考點(diǎn)．在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
10. 如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
（1）求證：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．
知識(shí)點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義
解析：
解答：（1）證明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
∴△ABE≌△DFA；
∴AB=DF；
（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在Rt△ADF中，AF===8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
∴tan∠EDF=．
分析：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義．熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)和判定，能夠找到證明全等三角形的有關(guān)條件；運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求得三角形中的邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解．
（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再結(jié)合一對(duì)直角相等即可證明△ABE≌△DFA；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明AB=DF；
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．
【能力篇】
一、選擇題：
11. （2018?山東棗莊?3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】證明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的對(duì)稱(chēng)性得：AE=DE，得出EF=DE，設(shè)EF=x，則DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函數(shù)定義即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，
∴由矩形的對(duì)稱(chēng)性得：AE=DE，
∴EF=DE，設(shè)EF=x，則DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE===；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
12. 圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為（ ）
A. B. C. D.
答案：B
知識(shí)點(diǎn)：銳角的三角函數(shù)的定義
解析：解答：過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
∴tanB′=tanB=．
故選B．
分析：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．
過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．
13. 已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD=∠A，則sin∠ABD=（ ）
A. B. C. D.
答案：A
知識(shí)點(diǎn)：銳角的三角函數(shù)的定義
解析：解答：作DE⊥AB于點(diǎn)E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD==，
設(shè)CD=1，則BC=2，AC=4，
∴AD=AC-CD=3，
在直角△ABC中，AB=，
在直角△ADE中，設(shè)DE=x，則AE=2x，
∵AE2+DE2=AD2，
∴x2+（2x）2=9，
解得：x=，
則DE=，AE=．
∴BE=AB-AE==，
∴tan∠DBA=，
∴sin∠DBA=．
故選A．
分析：本題考查了三角函數(shù)的定義，以及勾股定理，正確理解三角函數(shù)就是直角三角形中邊的比值是關(guān)鍵．
作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)相等的角的三角函數(shù)值相等即可得到
，設(shè)CD=1，則可以求得AD的長(zhǎng)，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的長(zhǎng)，則BE可以求得，根據(jù)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系即可求解．
二、填空題：
14. （2018·四川宜賓·3分）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E且DE交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G，若=，則= ．
【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；M2：垂徑定理．
【分析】由AB是直徑，推出∠ADG=∠GCB=90°，因?yàn)椤螦GD=∠CGB，推出cs∠CGB=cs∠AGD，可得=，設(shè)EF=3k，AE=4k，則AF=DF=FG=5k，DE=8k，想辦法求出DG、AG即可解決問(wèn)題；
【解答】解：連接AD，BC．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D是 的中點(diǎn)，
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FA=FD；
∵∠ADE=∠DBC，∠ADE+∠EDB=90°，∠DBC+∠CGB=90°，
∴∠EDB=∠CGB，又∠DGF=∠CGB，
∴∠EDB=∠DGF，
∴FA=FG，
∵=，設(shè)EF=3k，AE=4k，則AF=DF=FG=5k，DE=8k，
在Rt△ADE中，AD==4k，
∵AB是直徑，
∴∠ADG=∠GCB=90°，
∵∠AGD=∠CGB，
∴cs∠CGB=cs∠AGD，
∴=，
在Rt△ADG中，DG==2k，
∴==，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2．設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是____
答案：m≥．
知識(shí)點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義
解析：解答：C在以A為圓心，以2為半徑作圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切（即到C點(diǎn)）時(shí)，∠BOC最小，
AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，
∵∠BOA=∠ACO=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠OAC，
tan∠BOC=tan∠OAC=，
隨著C的移動(dòng)，∠BOC越來(lái)越大，
∵C在第一象限，
∴C不到x軸點(diǎn)，
即∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，
故答案為：m≥．
分析：本題考查了解直角三角形，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能確定∠BOC的變化范圍是解此題的關(guān)鍵，題型比較好，但是有一定的難度．
C在以A為圓心，以2為半徑的圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切（即到C點(diǎn)）時(shí)，∠BOC最小，根據(jù)勾股定理求出此時(shí)的OC，求出∠BOC=∠CAO，根據(jù)解直角三角形求出此時(shí)的值，根據(jù)tan∠BOC的增減性，即可求出答案．
三、解答與計(jì)算題：
16. 已知⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F，點(diǎn)E在CD上，且AE=CE．
（1）求證：CA2=CE CD；
（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．
知識(shí)點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義
解析：
解答：（1）證明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直徑AB，
∴，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴
即CA2=CECD；
（2）解：∵CA2=CECD，AC=5，EC=3，
∴52=CD3，
解得：CD=，
又∵CF=FD，
∴CF=CD=×=，
∴EF=CF-CE=-3=，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=．
分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
（1）由⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F，根據(jù)垂徑定理，易證得∠C=∠D，又由AE=CE，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可證得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由CA2=CE CD；CA=5，EA=3，可求得CD的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，求得CF的長(zhǎng)，繼而求得EF的長(zhǎng)，然后由正弦函數(shù)的定義，求得答案．
17. （2018·湖北荊州·10分）問(wèn)題：已知α、β均為銳角，tanα=，tanβ=，求α+β的度數(shù)．
探究：（1）用6個(gè)小正方形構(gòu)造如圖所示的網(wǎng)格圖（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），請(qǐng)借助這個(gè)網(wǎng)格圖求出α+β的度數(shù)；
延伸：（2）設(shè)經(jīng)過(guò)圖中M、P、H三點(diǎn)的圓弧與AH交于R，求的弧長(zhǎng)．
【解答】解：（1）連結(jié)AM、MH，則∠MHP=∠α．
∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠HMC=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，即α+β=45°．
（2）由勾股定理可知MH==．
∵∠MHR=45°，
∴==．
18. （2018·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)·12分）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)B．連接PB，AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【分析】（1）要證明是圓的切線，須證明過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，所以連接OBB，證明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先應(yīng)找出直角三角形，然后利用直角三角函數(shù)求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性質(zhì)求出EP或EO的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題
【解答】（1）證明：連接OB∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切線．
（2）連接BD，則BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO與Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO～△PAO
=
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO與△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴=，
解得EB=，
PE=，
∴sinE==
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)．能夠通過(guò)作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵．
【探究篇】
19. 如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D、E，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．
（1）試判斷∠CBD與∠CEB是否相等，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：；
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．
知識(shí)點(diǎn)：銳角三角函數(shù)定義
解析：
解答：∠CBD與∠CEB相等，
證明：∵BC切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
（2）證明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴
（3）解：∵AB、ED分別是⊙O的直徑，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于點(diǎn)B，
∴AB⊥BC，
∵BC=AB，
∴
設(shè)BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=x，
∴CD=（-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴==，
∵tan∠DBF==，
∴tan∠CDF=．
分析：本題主要考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于：（1）熟練運(yùn)用圓周角定理，切線的性質(zhì)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件推出△EBC∽△BDC；（3）關(guān)鍵在于通過(guò)求證△DCF∽△BCD，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出tan∠DBF的值．
（1）根據(jù)題意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD與∠CEB相等；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，通過(guò)求證△EBC∽△BDC，即可推出結(jié)論；
（3）通過(guò)設(shè)BC=3x，AB=2x，根據(jù)題意，推出OC和CD的長(zhǎng)度，然后通過(guò)求證△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．
20. （2018?江蘇揚(yáng)州?12分）問(wèn)題呈現(xiàn)
如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．
方法歸納
求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫(huà)平行線等方法解決此類(lèi)問(wèn)題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．
問(wèn)題解決
（1）直接寫(xiě)出圖1中tan∠CPN的值為 2 ；
（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cs∠CPN的值；
思維拓展
（3）如圖3，AB⊥BC，AB=4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM=BC，延長(zhǎng)CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù)．
【分析】（1）連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．
（2）如圖2中，取格點(diǎn)D，連接CD，DM．那么∠CPN就變換到等腰Rt△DMC中．
（3）利用網(wǎng)格，構(gòu)造等腰直角三角形解決問(wèn)題即可；
【解答】解：（1）如圖1中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，
故答案為2．
（2）如圖2中，取格點(diǎn)D，連接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠D=45°，
∴cs∠CPN=cs∠DCM=．
（3）如圖3中，如圖取格點(diǎn)M，連接AN、MN．
∵PC∥MN，
∴∠CPN=∠ANM，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠ANM=∠MAN=45°，
∴∠CPN=45°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、平行線的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．