2020年春期高中二年級期中質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題(理)注意事項:1．本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分．考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效．2．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚．4．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．5．保持卷面清潔，不折疊、不破損．第I卷 選擇題一、選擇題1.已知，為虛數(shù)單位，則的值為（    ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和加減運算，即可求出結(jié)果.【詳解】.故選：B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.下列值等于的是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用微積分基本定理逐個計算每個選項中的定積分，可得出正確選項.【詳解】由微積分基本定理可得，，，，故選D.【點睛】本題考查定積分的計算，解題的關(guān)鍵就是利用微積分基本定理進(jìn)行計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，則下面判斷正確的是(  ) A. 在區(qū)間（-2,1）上是增函數(shù)B. 在區(qū)間（1,3）上是減函數(shù)C. 在區(qū)間（4,5）上是增函數(shù)D. 當(dāng)時，取極大值【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷原函數(shù)的單調(diào)性,對選項逐一進(jìn)行判斷即得答案.【詳解】選項A, 區(qū)間（-2,1）導(dǎo)函數(shù)先是負(fù)后是正,所以原函數(shù)先減后增,A錯誤選項B, 區(qū)間（1,3）導(dǎo)函數(shù)先是正后是負(fù), 所以原函數(shù)先增后減,B錯誤選項C, 區(qū)間（4,5）導(dǎo)函數(shù)恒大于0，原函數(shù)單調(diào)遞增，C正確選項D，當(dāng)處，左邊減右邊增，取極小值，D錯誤答案是C【點睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，以及極大值極小值的判斷，考查同學(xué)們對于圖像的理解和判斷.4.如圖，第n個圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來，(n=1、2、3、…)則在第n個圖形中共有（    ）個頂點.A. (n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C.  D. n【答案】B【解析】【分析】分別由圖形得到當(dāng),,,時頂點的個數(shù),進(jìn)而歸納推理即可【詳解】由圖形可知,當(dāng)時頂點共有（個）；當(dāng)時,頂點共有（個）；當(dāng)時,頂點共有（個）；當(dāng)時,頂點共有（個）；則歸納推理可得,第個圖形,頂點共有個,故選:B【點睛】本題考查歸納推理,屬于基礎(chǔ)題5.已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則 (    )．A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】解：因為根據(jù)已知函數(shù)的圖像可知x=0,x=1，x=2是函數(shù)的零點，∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0解得b=-3，c=2又由圖可知，x1，x2為函數(shù)f（x）的兩個極值點∴f′（x）=3x2-6x+2=0的兩個根為x1，x2，∴x1+ x2=2，x1x2="2" 3∴x12+ x22=（x1+x2）2-2 x1x2=4-=故選C6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（ ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】D【解析】試題分析：，，所以，解得，故選D.考點：導(dǎo)數(shù)的計算7.若等差數(shù)列的前項之和為，則一定有成立．若等比數(shù)列的前項之積為，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，則有（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由等差和等比數(shù)列的通項和求和公式及類比推理思想可得結(jié)果，在運用類比推理時，通常等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積．【詳解】在等差數(shù)列的前項之和為， 因為等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積， 所以各項均為正的等比數(shù)列的前項積.故選：D．【點睛】本題考查類比推理、等差和等比數(shù)列的類比，搞清等差和等比數(shù)列的聯(lián)系和區(qū)別是解決本題的關(guān)鍵．8.已知是函數(shù)就函數(shù)的極小值點，那么函數(shù)的極大值為（    ）A. -2 B. 6 C. 17 D. 18【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，由題意得，，解出，再由單調(diào)性，判斷極大值點，求出即可．【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 由題意得，，即，． ，，令，得或；，得， 所以當(dāng)時取極大值，即． 故選：D．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求極值，同時考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.由曲線y＝x2和曲線y圍成的一個葉形圖如圖所示，則圖中陰影部分面積為（    ）A  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出曲線與的交點為,,則,求解即可【詳解】由題,曲線與的交點為,,則故選：A【點睛】本題考查利用定積分求面積,考查微積分基本定理的應(yīng)用10.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，先求函數(shù)得單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合題意將原問題轉(zhuǎn)化為子區(qū)間的問題，得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，解不等式，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選C【點睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.11.已知復(fù)數(shù)，，，滿足，則點的軌跡是（    ）A. 線段 B. 圓 C. 雙曲線 D. 橢圓【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在某一橢圓上．【詳解】復(fù)平面上，復(fù)數(shù)滿足， 則對應(yīng)的點到點，點的距離和為， 即， ∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以為焦點，長軸長為的橢圓上． 故選：D．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與模長幾何意義應(yīng)用問題，也考查了橢圓的定義應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．12.已知定義在上的函數(shù)，滿足且，則函數(shù)的最大值為（    ）A.  B. 0 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，可解得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得最大值即可．【詳解】，令，則，， ，， 當(dāng)時，，當(dāng) 時，， ∴當(dāng)時， ． 故選：A．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，邏輯性較強(qiáng)，屬于中檔題．第II卷非選擇題二、填空題13.設(shè)為純虛數(shù)(為虛數(shù)單位),則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)定義,即可求得答案.【詳解】,為純虛數(shù)即實部為,虛部不為 解得:故答案為:.【點睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握純虛數(shù)定義,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)，則________．【答案】6.【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)的乘法運算法則可得，將代入計算，即可求出結(jié)果．【詳解】令，所以，所以，所以. 故答案為：.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的乘法運算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.定義在上的函數(shù)，滿足，且對任意都有，則不等式的解集為________．【答案】.【解析】【分析】設(shè)，由于，得到小于，得到為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用為減函數(shù)求出的范圍，即為所求不等式的解集．【詳解】設(shè)，，， ∴為減函數(shù)，又，所以即，又 ∴∴．又為底數(shù)是10的增函數(shù)，∴，故不等式的解集為. 故答案為：．【點睛】此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．16.分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦．曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個樹形圖．若記圖(2)中第行黑圈的個數(shù)為，則________．【答案】(364也對）.【解析】【分析】根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，根據(jù)第三行的數(shù)據(jù)可求出第四行的“坐標(biāo)”；再根據(jù)前五行的白圈數(shù)乘以2，分別是，即，可歸納第行的白圈數(shù)，黑圈數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，個白圈分形為個白圈1個黑圈，個黑圈分形為個白圈個黑圈，第一行記為，第二行記為，第三行記為，第四行的白圈數(shù)為；黑圈數(shù)為，第四行的“坐標(biāo)”為； 第五行的“坐標(biāo)”為，各行白圈數(shù)乘以，分別是，即， ∴第行的白圈數(shù)為 ，黑圈數(shù)為，所以，即.故答案為：（）【點睛】本題考查了歸納推理的應(yīng)用，多觀察幾組數(shù)據(jù)是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效方法，根據(jù)歸納推理得出一般規(guī)律．三、解答題17.設(shè)均為正數(shù)，且．證明：（1）；（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）將不等式相加得出 ，再將 兩邊平方，即可得出結(jié)論；（2）對 兩邊平方，可得；又因為， ，，可證，即可證明結(jié)果.【詳解】(1)由（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）所以．由題設(shè)得，即，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.(2)因為，所以，因為， ，，所以，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）．【點睛】本題考查了不等式的證明，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值;（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上最大值．【答案】（1）有極大值，無極小值；（2）見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的符號求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可． （2）結(jié)合（1）通過與的大小討論函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最大值．【詳解】(1)因為函數(shù)的定義域為，且，由得；由 得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以，有極大值，無極小值；(2)①當(dāng)，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以②當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以③當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以綜上所述，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．19.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，為虛數(shù)單位，，，且．【答案】見解析.【解析】【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，注意三角函數(shù)兩角和差公式的應(yīng)用．【詳解】(1)當(dāng)時，所以，時，等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即那么，當(dāng)時，所以：當(dāng)時，等式也成立.綜上可知，要證明的等式，當(dāng)時成立.【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)而成，如圖2.已知圓O的半徑為，設(shè)，，圓錐的側(cè)面積為（S圓錐的側(cè)面積（R-底面圓半徑，I-母線長））（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐側(cè)面積S最大.求S取得最大值時腰的長度【答案】（1），（）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)交于點，過作，垂足為，分析可得，，由圓錐的側(cè)面積公式可得的表達(dá)式，即可得答案； （2）由（1）可得的表達(dá)式可得，設(shè)，，求導(dǎo)求出其在區(qū)間上的最大值，求出的值，即可得當(dāng)，即時，側(cè)面積取得最大值，計算即可得答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)交于點D，過O作，垂足為E，在中，，，在中，，所以，（）.（2）由（1）得：，設(shè)，（），則，令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在時取得極大值，也是最大值；所以當(dāng)，即時，側(cè)面積S取得最大值，此時等腰三角形的腰長；答：側(cè)面積S取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，還涉及圓錐的側(cè)面積公式和三角函數(shù)的恒等變形，關(guān)鍵是求出的表達(dá)式．21.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）切線方程是（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程．（2）當(dāng)時，,令，只需證明即可．【詳解】（1），．因此曲線在點處的切線方程是．（2）當(dāng)時，．令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以 ．因此．【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程，第二問構(gòu)造很關(guān)鍵，本題有難度．22.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）0；（2）2.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最值；（2）先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再根據(jù)零點存在性定理，即可求出零點個數(shù)．【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，所以根據(jù)題意令，解得，或因為，所以，且所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因為，所以在上有且只有個零點又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增所以故當(dāng)時，函數(shù)有個零點【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值，同時考查函數(shù)的零點個數(shù)判斷方法，意在考查學(xué)生分類討論思想意識和數(shù)學(xué)運算能力．
   

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