?《中考?jí)狠S題全揭秘》
專題17 探究型問題
一、單選題
1．如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C（﹣1，0）為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)，連接PA，PB，則△PAB面積的最小值是（　?。?br />
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】
作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．連接BC．

∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5．
∵S△ABC= AB?CH=AC?OB，∴AB?CH=AC?OB，∴5CH=(4+1)×3，解得：CH=3，∴EH=3﹣1=2．
當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，△PAB的面積最小，最小值5×2=5．
故選A．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用直線與圓的位置關(guān)系解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
2．定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）=3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）=（其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)）……，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取n=24，則：

若n=13，則第2018次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（　?。?br /> A．1 B．4 C．2018 D．42018
【答案】A
【解析】
若n=13，
第1次結(jié)果為：3n+1=40，
第2次結(jié)果是：，
第3次結(jié)果為：3n+1=16，
第4次結(jié)果為：=1，
第5次結(jié)果為：4，
第6次結(jié)果為：1，
…
可以看出，從第四次開始，結(jié)果就只是1，4兩個(gè)數(shù)輪流出現(xiàn)，
且當(dāng)次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是1；次數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果是4，
而2018次是偶數(shù)，因此最后結(jié)果是1，
故選A．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了規(guī)律題——數(shù)字的變化類，能根據(jù)所給條件得出n=13時(shí)六次的運(yùn)算結(jié)果，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是( )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【解析】
設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故選D．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到動(dòng)點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于中檔題．
4．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其下方的部分記作，將向左平移得到，與x軸交于點(diǎn)B、D，若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，
∴=0，
∴x1=5，x2=9，
，
拋物線向左平移4個(gè)單位長度后的解析式，
當(dāng)直線過B點(diǎn)，有2個(gè)交點(diǎn)，
，
，
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，
，
，
相切，
，
，
如圖，

若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
--，
故選C．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)，正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵.
5．已知拋物線y=x2+1具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F（0，2）的距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，3），P是拋物線y=x2+1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PMF周長的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交拋物線y=x2+1于點(diǎn)P，此時(shí)△PMF周長最小值，

∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，F(xiàn)M==2，
∴△PMF周長的最小值=ME+FM=3+2=5．
故選C．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題求線段和的最值問題，把需要求和的線段，找到相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后的線段共線時(shí)為最值情況.
6．如圖，點(diǎn)是菱形邊上的一動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)出發(fā)沿在路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為　　

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
設(shè)菱形的高為h，有三種情況：
①當(dāng)P在AB邊上時(shí)，如圖1，

y=AP?h，
∵AP隨x的增大而增大，h不變，
∴y隨x的增大而增大，
故選項(xiàng)C不正確；
②當(dāng)P在邊BC上時(shí)，如圖2，

y=AD?h，
AD和h都不變，
∴在這個(gè)過程中，y不變，
故選項(xiàng)A不正確；
③當(dāng)P在邊CD上時(shí)，如圖3，

y=PD?h，
∵PD隨x的增大而減小，h不變，
∴y隨x的增大而減小，
∵P點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，
∴P在三條線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，
故選項(xiàng)D不正確，
故選B．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)P的位置的不同，運(yùn)用分類討論思想，分三段求出△PAD的面積的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（﹣2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是AP的中點(diǎn)，已知OQ長的最大值為，則k的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如圖，連接BP，
由對(duì)稱性得：OA=OB，
∵Q是AP的中點(diǎn)，
∴OQ=BP，
∵OQ長的最大值為，
∴BP長的最大值為×2=3，
如圖，當(dāng)BP過圓心C時(shí)，BP最長，過B作BD⊥x軸于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直線y=2x上，
設(shè)B（t，2t），則CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，
∴k=﹣×（-）=，
故選C．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查的是代數(shù)與幾何綜合題，涉及了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，中位線定理，圓的基本性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，確定出BP過點(diǎn)C時(shí)OQ有最大值是解題的關(guān)鍵.
8．如圖，在正方形ABCD中，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB、AC于點(diǎn)M，N，分別以M，N為圓心，大于MN長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H，連結(jié)AH并延長交BC于點(diǎn)E，再分別以A、E為圓心，以大于AE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，Q，作直線PQ，分別交CD，AC，AB于點(diǎn)F，G，L，交CB的延長線于點(diǎn)K，連接GE，下列結(jié)論：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【解析】
①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
由作圖可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵PQ是AE的中垂線，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，
∴∠LKB=∠BAE=22.5°；
故①正確；
②∵OG是AE的中垂線，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正確；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，
∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，
∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，
故③正確；
④連接EL，

∵AL=AG=EG，EG∥AB，
∴四邊形ALEG是菱形，
∴AL=EL=EG＞BL，
∴，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴，
故④不正確；
本題正確的是：①②③，
故選A．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了基本作圖：角平分線和線段的垂直平分線，三角形相似的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是關(guān)鍵，在正方形中由于性質(zhì)比較多，要熟記各個(gè)性質(zhì)并能運(yùn)用；是中考?？嫉倪x擇題的壓軸題．
9．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組，有且僅有三個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程=1有整數(shù)解，則滿足條件的所有a的值之和是（　?。?br /> A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【答案】B
【解析】
，
解①得x≥-3，
解②得x≤，
不等式組的解集是-3≤x≤．
∵僅有三個(gè)整數(shù)解，
∴-1≤＜0
∴-8≤a＜-3，
=1，
3y-a-12=y-2．
∴y=，
∵y≠-2，
∴a≠-6，
又y=有整數(shù)解，
∴a=-8或-4，
所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是-8-4=-12，
故選B．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解題關(guān)鍵．
10．如圖，△ABC中，∠A=30°，點(diǎn)O是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點(diǎn)D，連接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，則線段CD的長是（　?。?br />
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
連接OD

∵OD是⊙O的半徑，AC是⊙O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴，即，
∴CD=．
故選B．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了圓的切線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理，解決本題亦可說明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的長，再求CD．遇切點(diǎn)連圓心得直角，是通常添加的輔助線．
11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線ACCB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.設(shè)△APQ的面積為y（cm2）.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是 （ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=，∠A=∠B=45°，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)（如圖1）， 由題意可得AP=x，AQ=x，過點(diǎn)Q作QN⊥AB于點(diǎn)N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=x，所以y==（0＜x≤3），即當(dāng)0＜x≤3時(shí)，y隨x的變化關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x=3時(shí)，y=4.5；當(dāng)3≤x≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)（如圖2），由題意可得PQ=6-x，AP=3，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=(6-x)，所以y==（3≤x≤6），即當(dāng)3≤x≤6時(shí)，y隨x的變化關(guān)系是一次函數(shù)，且當(dāng)x=6時(shí)，y=0.由此可得，只有選項(xiàng)D符合要求，故選D.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象，解決本題要正確分析動(dòng)線運(yùn)動(dòng)過程，然后再正確計(jì)算其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，由函數(shù)的解析式對(duì)應(yīng)其圖象，由此即可解答．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，則下列選項(xiàng)中的結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

A．△ONC≌△OAM
B．四邊形DAMN與△OMN面積相等
C．ON=MN
D．若∠MON=45°，MN=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，+1）
【答案】C
【解析】
∵點(diǎn)M、N都在y=的圖象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC?NC=OA?AM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴A正確；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四邊形DAMN與△MON面積相等，
∴B正確；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能確定，
∴∠MON的值不能確定，
∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，
∴ON≠M(fèi)N，
∴C錯(cuò)誤；
作NE⊥OM于E點(diǎn)，如圖所示：

∵∠MON=45°，∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設(shè)NE=x，則ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（ -1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵M(jìn)N2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，
∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
設(shè)正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，+1），
∴D正確．
故選：C．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)；熟練運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算．
13．如圖，一段拋物線y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）為C1，與x軸交于A0，A1兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，頂點(diǎn)為D2；C1與C2組成一個(gè)新的圖象，垂直于y軸的直線l與新圖象交于點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），與線段D1D2交于點(diǎn)P3（x3，y3），設(shè)x1，x2，x3均為正數(shù)，t=x1+x2+x3，則t的取值范圍是（　?。?br />
A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
【答案】D
【解析】
翻折后的拋物線的解析式為y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵設(shè)x1，x2，x3均為正數(shù)，
∴點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根據(jù)對(duì)稱性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，
即10≤t≤12，
故選D．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，熟練掌握和靈活應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14．已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+6及一次函數(shù)y=﹣x+m，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新函數(shù)（如圖所示），請(qǐng)你在圖中畫出這個(gè)新圖象，當(dāng)直線y=﹣x+m與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是（　?。?br />
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【答案】D
【解析】
如圖，當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，則A（﹣2，0），B（3，0），
將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
當(dāng)直線y=﹣x+m經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）時(shí)，2+m=0，解得m=﹣2；
當(dāng)直線y=﹣x+m與拋物線y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點(diǎn)時(shí)，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的實(shí)數(shù)解，解得m=﹣6，
所以當(dāng)直線y=﹣x+m與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為﹣6＜m＜﹣2，
故選D．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與幾何變換，拋物線與x軸的交點(diǎn)等，把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程是解決此類問題常用的方法.
15．如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AP，過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，延長CE交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H，連接HF．下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF?CF
【答案】D
【解析】
連接．

四邊形ABCD是正方形，
∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CG⊥BE，
∴CH∥PA，
∴四邊形是平行四邊形，
∴CP = AH，
∵CP=PD=1，
∴AH=PC=1，
∴AH=BH，
在Rt△ABE中，∵AH=HB，
∴EH=HB，∵HC⊥BE，
∴BG=EG，
∴CB=CE=2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，
∴△CBH≌△CEH，
∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA，
∴Rt△HFE≌Rt△HFA，
∴AF=EF，設(shè)EF=AF=x，
在Rt△CDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2，
∴x= ，
∴EF=∴，故B錯(cuò)誤，
∵PA∥CH，
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，
∴cos∠CEP=cos∠BCH== ，故C錯(cuò)誤．
∵HF= ，EF= ，F(xiàn)C=
∴HF2=EF·FC，故D正確，
故選：D．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
16．如圖，拋物線y=（x+2）（x﹣8）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為M，以AB為直徑作⊙D．下列結(jié)論：①拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3；②⊙D的面積為16π；③拋物線上存在點(diǎn)E，使四邊形ACED為平行四邊形；④直線CM與⊙D相切．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
∵在y=（x+2）（x﹣8）中，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣2或x=8，
∴點(diǎn)A（﹣2，0）、B（8，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x==3，故①正確；
∵⊙D的直徑為8﹣（﹣2）=10，即半徑為5，
∴⊙D的面積為25π，故②錯(cuò)誤；
在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，當(dāng)x=0時(shí)y=﹣4，
∴點(diǎn)C（0，﹣4），
當(dāng)y=﹣4時(shí)，x2﹣x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，
所以點(diǎn)E（6，﹣4），
則CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四邊形ACED不是平行四邊形，故③錯(cuò)誤；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴點(diǎn)M（3，﹣），
∴DM=，

如圖，連接CD，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，則有N（0，﹣），MN=3，
∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，
在Rt△ODC中，∠COD=90°，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=，
∵DM2=，
∴CM2+CD2=DM2，
∴∠DCM=90°，即DC⊥CM，
∵CD是半徑，
∴直線CM與⊙D相切，故④正確，
故選B．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與圓的綜合題，涉及到拋物線的對(duì)稱軸、圓的面積、平行四邊形的判定、待定系數(shù)法、兩直線垂直、切線的判定等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
17．拋物線的部分圖象如圖所示，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是下列結(jié)論中：
；；方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；若點(diǎn)在該拋物線上，則．
其中正確的有　　

A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
【答案】B
【解析】
對(duì)稱軸是y軸的右側(cè)，
，
拋物線與y軸交于正半軸，
，
，故錯(cuò)誤；
，
，，故正確；
由圖象得：時(shí)，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故正確；
拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是，
拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，故正確；
拋物線的對(duì)稱軸是，
有最大值是，
點(diǎn)在該拋物線上，
，故正確，
本題正確的結(jié)論有：，4個(gè)，
故選B．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于；也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．
18．如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．給出下列結(jié)論：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正確，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正確，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正確，
∴BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2．故④正確，
故選：A．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
19．如圖，邊長為2的正△ABC的邊BC在直線l上，兩條距離為l的平行直線a和b垂直于直線l，a和b同時(shí)向右移動(dòng)（a的起始位置在B點(diǎn)），速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），直到b到達(dá)C點(diǎn)停止，在a和b向右移動(dòng)的過程中，記△ABC夾在a和b之間的部分的面積為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖①，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，BE=t，DE=t，

∴s=S△BDE=×t×t=t2；
如圖②，當(dāng)1≤t＜2時(shí)，CE=2-t，BG=t-1，

∴DE=（2-t），F(xiàn)G=（t-1），
∴s=S五邊形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE=×2×-×（t-1）×（t-1）-×（2-t）×（2-t）=-t2+3t-；
如圖③，當(dāng)2≤t≤3時(shí)，CG=3-t，GF=（3-t），

∴s=S△CFG=×（3-t）×（3-t）=t2-3t+，
綜上所述，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分；當(dāng)1≤t＜2時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一部分；當(dāng)2≤t≤3時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分，
故選B．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．
20．如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，AE的垂直平分線分別交AD，BC及AB的延長線于點(diǎn)F，G，H，連接HE，HC，OD，連接CO并延長交AD于點(diǎn)M．則下列結(jié)論中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH?DE；⑤GO+BH=HC
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
如圖，
建立以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為2，可分別得各點(diǎn)坐標(biāo)，
A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E為CD的中點(diǎn),可得E點(diǎn)坐標(biāo)（2，1），可得AE的直線方程，，由OF為直線AE的中垂線可得O點(diǎn)為，設(shè)直線OF的斜率為K，得，可得k=2,同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)O(),可得OF的直線方程：
，可得OF與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)G(,0),H(0,),及F(,2),
同理可得：直線CO的方程為：，可得M點(diǎn)坐標(biāo)（，2），
可得：①FG=,
AO= =,
故FG=2AO，故①正確；
②：由O點(diǎn)坐標(biāo)，D點(diǎn)坐標(biāo)（2，2），可得OD的方程：，
由H點(diǎn)坐標(biāo)(0,)，E點(diǎn)坐標(biāo)（2，1），可得HE方程：，
由兩方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，
故②錯(cuò)誤；
③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），
可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,
故=，
故③正確；
④：由O點(diǎn)坐標(biāo)，E（2，1），H(0,)，D(2,2),
可得：,
AH=,DE=1,有2OE2=AH?DE，
故④正確；
⑤：由G(,0)，O點(diǎn)坐標(biāo)，H(0,)，C(2,0),
可得：,
BH=,HC=,
可得：GO≠BH+HC,
故正確的有①③④，
故選B.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題主要考查一次函數(shù)與矩形的綜合，及點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式，難度較大，靈活建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.
二、填空題
21．如圖，已知等邊△，頂點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．過作交雙曲線于點(diǎn)，過作交軸于點(diǎn)，得到第二個(gè)等邊△；過作交雙曲線于點(diǎn)，過作交軸于點(diǎn)，得到第三個(gè)等邊△；以此類推，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__．

【答案】（2，0）．
【解析】
如圖，作軸于點(diǎn)C，

設(shè)，則，
，．
點(diǎn)A2在雙曲線上，
，
解得，（不符題意舍去），
，
點(diǎn)B2的坐標(biāo)為；
作軸于點(diǎn)D，設(shè)B2D=b，則，
，．
點(diǎn)A3在雙曲線上，
，
解得，（不符題意舍去），
，
點(diǎn)B3的坐標(biāo)為；
同理可得點(diǎn)B4坐標(biāo)為；
以此類推，
點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為，
點(diǎn)B6的坐標(biāo)為．
故答案為．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí). 正確求出、、的坐標(biāo)進(jìn)而得出點(diǎn)Bn的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，已知∠MON=120°，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上，且OA=OB=a，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜120°且α≠60°），作點(diǎn)A關(guān)于直線OM′的對(duì)稱點(diǎn)C，畫直線BC交OM′于點(diǎn)D，連接AC，AD，有下列結(jié)論：
①AD=CD；
②∠ACD的大小隨著α的變化而變化；
③當(dāng)α=30°時(shí)，四邊形OADC為菱形；
④△ACD面積的最大值為a2；
其中正確的是_____．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

【答案】①③④
【解析】①∵A、C關(guān)于直線OM'對(duì)稱，
∴OM'是AC的垂直平分線，
∴CD=AD，故①正確；
②連接OC，
由①知：OM'是AC的垂直平分線，∴OC=OA，
∴OA=OB=OC，
以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作⊙O，交AO的延長線于E，連接BE，
則A、B、C都在⊙O上，
∵∠MON=120°，
∴∠BOE=60°，
∵OB=OE，
∴△OBE是等邊三角形，
∴∠E=60°，
∵A、C、B、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ACD=∠E=60°，故②不正確；
③當(dāng)α=30°時(shí)，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四邊形OADC為菱形，故③正確；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
當(dāng)AC最大時(shí)，△ACD的面積最大，
∵AC是⊙O的弦，即當(dāng)AC為直徑時(shí)最大，此時(shí)AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD面積的最大值是：AC2=，故④正確，
所以本題結(jié)論正確的有：①③④，
故答案為：①③④．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線構(gòu)建圖形并能靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
23．按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，如數(shù)列：，，，，…，則這個(gè)數(shù)列前2018個(gè)數(shù)的和為_____．
【答案】
【解析】
由數(shù)列知第n個(gè)數(shù)為，
則前2018個(gè)數(shù)的和為
=
=
=1﹣
=，
故答案為：．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律題、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算等，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的法則以及得出第n個(gè)數(shù)為是解題的關(guān)鍵.
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAA1的直角邊OA在x軸上，點(diǎn)A1在第一象限，且OA=1，以點(diǎn)A1為直角頂點(diǎn)，OA1為一直角邊作等腰直角三角形OA1A2，再以點(diǎn)A2為直角頂點(diǎn)，OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3…依此規(guī)律，則點(diǎn)A2018的坐標(biāo)是_____．

【答案】（0，21009）
【解析】
∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，再以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…，
∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018，
∵A1、A2、…，每8個(gè)一循環(huán)，
∵2018=252×8+2
∴點(diǎn)A2018的在y軸正半軸上，OA2018==21009，
故答案為：（0，21009）.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題是平面直角坐標(biāo)系下的規(guī)律探究題，除了研究動(dòng)點(diǎn)變化的相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，還應(yīng)該注意象限符號(hào)．
25．如圖，已知等邊△OA1B1，頂點(diǎn)A1在雙曲線y=（x＞0）上，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2，0）．過B1作B1A2∥OA1交雙曲線于點(diǎn)A2，過A2作A2B2∥A1B1交x軸于點(diǎn)B2，得到第二個(gè)等邊△B1A2B2；過B2作B2A3∥B1A2交雙曲線于點(diǎn)A3，過A3作A3B3∥A2B2交x軸于點(diǎn)B3，得到第三個(gè)等邊△B2A3B3；以此類推，…，則點(diǎn)B6的坐標(biāo)為_____．

【答案】（2，0）．
【解析】
如圖，作A2C⊥x軸于點(diǎn)C，設(shè)B1C=a，則A2C=a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．
∵點(diǎn)A2在雙曲線y=（x＞0）上，
∴（2+a）?a=，
解得a=﹣1，或a=﹣﹣1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2，
∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（2，0）；
作A3D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)B2D=b，則A3D=b，
OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．
∵點(diǎn)A3在雙曲線y=（x＞0）上，
∴（2+b）?b=，
解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2，
∴點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（2，0）；
同理可得點(diǎn)B4的坐標(biāo)為（2，0）即（4，0）；
…，
∴點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)B6的坐標(biāo)為（2，0），
故答案為：（2，0）．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律題，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，正確求出B2、B3、B4的坐標(biāo)進(jìn)而得出點(diǎn)Bn的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
26．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2，且x12+x22=4，則x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【解析】
∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1?x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1?x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，
故答案為：4．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握“當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式△≥0”是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象分別與AD，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若S△BEF=7，k1+3k2=0，則k1等于_____．

【答案】9
【解析】
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣a，0），
由圖象可知，點(diǎn)C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），
∵k1+3k2=0，∴k2=﹣k1，∴F（﹣，），
矩形ABCD面積為：2a?=2k1，
∴S△DEF=，
S△BCF=，
S△ABE=，
∵S△BEF=7，
∴2k1+﹣+k2=7，
又∵k2=﹣k1，
∴k1+×（﹣）=7，
∴k1=9
故答案為：9
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題是反比例函數(shù)綜合題，解題關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)B坐標(biāo)繼而表示出相關(guān)各點(diǎn)，應(yīng)用面積的割補(bǔ)法構(gòu)造方程．
28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第三象限的雙曲線上，過點(diǎn)作軸交雙曲線于點(diǎn)，連接，則的面積為__________．

【答案】7
【解析】
如圖，過D作GH⊥x軸，過A作AG⊥GH，過B作BM⊥HC于M，

設(shè)D（x，），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB，
∴AG=DH=-x-1，
∴DG=BM，
∴1-=-1-x-，
x=-2，
∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1-=4，
∵AG=DH=-1-x=1，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-4，
當(dāng)y=-4時(shí)，x=-，
∴E（-，-4），
∴EH=2-=，
∴CE=CH-HE=4-=，
∴S△CEB=CE?BM=××4=7.
故答案為：7．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題的壓軸題．
29．如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ =________．

【答案】或
【解析】
①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ，∠QPB=90°時(shí)，設(shè)AQ=PQ=x，

∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴x=，
∴AQ=．
②當(dāng)AQ=PQ，∠PQB=90°時(shí)，如圖2，設(shè)AQ=PQ=y．

∵△BQP∽△BCA，
∴，
∴，
∴y=．
綜上所述，滿足條件的AQ的值為或．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
30．如圖．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分△ABC的周長，則DE的長是_____．

【答案】
【解析】
如圖，延長BC至M，使CM=CA，連接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周長， AD=DB，
∴BE=CE+AC，
∴ME=EB，
又AD=DB，
∴DE=AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC?sin∠ACN=，
∴AM=，
∴DE=，
故答案為：．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，掌握三角形中位線定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
31．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD＝CD，過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，且DN＝，在DB的延長線上取一點(diǎn)P，滿足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，則AP＝_____.

【答案】6
【解析】
∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=AM=6，
故答案為：6．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題給的關(guān)鍵是判定△APM是等腰直角三角形．
32．如圖，點(diǎn) C 為 Rt△ACB 與 Rt△DCE 的公共點(diǎn)，∠ACB=∠DCE=90°，連 接 AD、BE，過點(diǎn) C 作 CF⊥AD 于點(diǎn) F，延長 FC 交 BE 于點(diǎn) G．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，則的值為___________．

【答案】
【解析】
如圖，過 E作 EH⊥GF于 H，過 B 作 BP⊥GF于P，則∠EHG=∠BPG=90°，
又∵∠EGH=∠BGP，
∴△EHG∽△BPG，
∴=，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠AFC=90°，
∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB， 又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB，
∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，
∴，
∴EH=CF，BP=CF，
∴=，
∴=，
故答案為：．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.
33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（x＞0）與正比例函數(shù)y=kx、 （k＞1）的圖象分別交于點(diǎn)A、B，若∠AOB＝45°，則△AOB的面積是________.

【答案】2
【解析】
如圖：作BD⊥x軸，AC⊥y軸，OH⊥AB，

設(shè)A（x1，y1），B（x2 ， y2），
∵A、B在反比例函數(shù)上，
∴x1y1=x2y2=2，
∵，
解得：x1=，
又∵，
解得：x2=，
∴x1x2=×=2，
∴y1=x2， y2=x1，
即OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x軸，AC⊥y軸，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，
∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，
∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，
故答案為：2.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，全等三角形的判定與性質(zhì)等，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
34．如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接AC交BN于點(diǎn)E，連接DE交AM于點(diǎn)F，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是______．

【答案】
【解析】
如圖，

在正方形ABCD中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取AD的中點(diǎn)O，連接OF、OC，
則，
在中，，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，，
當(dāng)O、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長度最小，
最小值，
故答案為：．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，確定出CF最小時(shí)點(diǎn)F的位置是解題關(guān)鍵．
35．設(shè)是一列正整數(shù)，其中表示第一個(gè)數(shù)，表示第二個(gè)數(shù)，依此類推，表示第個(gè)數(shù)(是正整數(shù))，已知，，則___________.
【答案】4035
【解析】
∵，
∴，
∴，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵是一列正整數(shù)，
∴an=-an+1不符合題意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案為：4035.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用、平方根的應(yīng)用、規(guī)律型題，解題的關(guān)鍵是通過已知條件推導(dǎo)得出an+1-an=2.
36．如圖，射線OM在第一象限，且與x軸正半軸的夾角為60°，過點(diǎn)D（6,0)作DA⊥OM于點(diǎn)A，作線段 OD的垂直平分線BE交x軸于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)B,作射線OB.以AB為邊在△AOB的外側(cè)作正方形ABCA1,延長A1C交射線OB于點(diǎn)B1,以A1B1為邊在△A1OB1的外側(cè)作正方形A1B1C1A2,延長A2C1交射線OB于點(diǎn)B2,以A2B2為邊在△A2OB2的外側(cè)作正方形A2B2C2A3……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則正方形A2017B2017C2017A2018的周長為______________.

【答案】
【解析】
由題意：正方形ABCA1的邊長為，
正方形A1B1C1A2的邊長為（1+）＝+1，
正方形A2B2C2A3…的邊長為（1+）2，
正方形A3B3C3A4的邊長為（1+）3，
由此規(guī)律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的邊長為（1+）2017．
∴正方形A2017B2017C2017A2018的周長為：4（1+）2017．
故答案為：4（1+）2017．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查規(guī)律型問題、解直角三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，根據(jù)獲取的規(guī)律解決問題．
37．如圖，平面直角坐標(biāo)系中是原點(diǎn)， 的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)把線段三等分，延長分別交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：
①是的中點(diǎn)；②與相似；③四邊形的面積是；④；其中正確的結(jié)論是 __________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③
【解析】如圖，分別過點(diǎn)A、B作 于點(diǎn)N， 軸于點(diǎn)M，
在 中， ，
是線段AB的三等分點(diǎn)， ，
，
，
是OA的中點(diǎn)，故①正確；
，
不是菱形，
，
，
，
故 和 不相似，故②錯(cuò)誤；
由①得，點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)， 是 的中位線，
，
是OB的三等分點(diǎn)， ，
，
∴ ，
，∴四邊形 是梯形，
，
故③正確；
,故④錯(cuò)誤，
綜上：①③正確，
故答案為：①③.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、三角形的中位線等，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
38．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：
①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH?PB；④．
其中正確的是____________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③④．
【解析】
∵△BPC是等邊三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE與△CDF中，∵∠A=∠ADC，∠ABE=∠DCF，AB=CD，∴△ABE≌△DCF，故①正確；
∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBC=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴，故②錯(cuò)誤；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴，∵PB=CD，∴，故③正確；
如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，設(shè)正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB?sin60°=4×=，PM=PC?sin30°=2，S△BPD=S四邊形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=，∴．故答案為：①③④．

39．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為 ．

【答案】．
【解析】
如圖連接AC、BD交于點(diǎn)O，以B為圓心BC為半徑畫圓交BD于P．
此時(shí)△PBC是等腰三角形，線段PD最短，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴BO=DO=×2=，∴BD=2BO=，∴PD最小值=BD﹣BP=．故答案為：．

40．如圖，直線l為y=x，過點(diǎn)A1（1，0）作A1B1⊥x軸，與直線l交于點(diǎn)B1，以原點(diǎn)O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A2；再作A2B2⊥x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A3；……，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)An的坐標(biāo)為（_______）．

【答案】2n﹣1，0
【解析】
∵直線l為y=x，點(diǎn)A1（1，0），A1B1⊥x軸，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1=，
∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，
∴OB1=2OA1=2，
∵以原點(diǎn)O為圓心，OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點(diǎn)A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴點(diǎn)An的坐標(biāo)為（2n﹣1，0），
故答案為：2n﹣1，0．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律題——點(diǎn)的坐標(biāo)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等，先根據(jù)所給一次函數(shù)判斷出一次函數(shù)與x軸夾角是解決本題的突破點(diǎn)；根據(jù)含30°的直角三角形的特點(diǎn)依次得到A1、A2、A3…的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題
41．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3 的圖象與x軸分別交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

（1）求此二次函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，試判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）將直線BC向上平移t(t>0)個(gè)單位，平移后的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在y軸的右側(cè)），當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，求t的值．
【答案】（1）；（2）△BCD為直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，t的值為1或4．
【解析】
（1）將、代入，得：
，解得：，
此二次函數(shù)解析式為．
（2）為直角三角形，理由如下：
，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
．
，
，
為直角三角形．
（3）設(shè)直線的解析式為，
將，代入，得：
，解得：，
直線的解析式為，
將直線向上平移個(gè)單位得到的直線的解析式為．
聯(lián)立新直線與拋物線的解析式成方程組，得：，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，．
為直角三角形，
分三種情況考慮：
①當(dāng)時(shí)，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合題意，舍去）；
②當(dāng)時(shí)，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合題意，舍去）；
③當(dāng)時(shí)，有，即，
整理，得：．
，
該方程無解（或解均為增解）．
綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為1或4．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三種情況考慮．
42．如圖，四邊形中，，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，證明：與相切；
（3）在（2）條件下，連接交于點(diǎn)，連接，若，求的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．
【解析】
（1）連接OC.

在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC2，
∴設(shè)BC＝a、則AC＝2a，
∴AD＝AB．
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OEBCa，AE＝CEAC＝a．
在△AED中，DE2a．
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴DA與⊙O相切；
（3）連接AF．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFD＝∠BAD＝90°．
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴，
即DF?BD＝AD2①．
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴，
即OD?DE＝AD2②，
由①②可得DF?BD＝OD?DE，
即．
又∵∠EDF＝∠BDO，
∴△EDF∽△BDO．
∵BC＝1，
∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB，
∴，
即，
解得：EF．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題主要考查圓的綜合知識(shí). 解題的關(guān)鍵是在圓中綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理逆定理等知識(shí)進(jìn)行推理證明．
43．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD為∠ACB的平分線，將∠ACB沿CD所在的直線對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，連結(jié)AB'，BB'，延長CD交BB'于點(diǎn)E，設(shè)∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如圖1，若AB＝AC，求證：CD＝2BE；
（2）如圖2，若AB≠AC，試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）；
（3）如圖3，將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（α+45°），得到線段FC，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)O，設(shè)△COE的面積為S1，△COF的面積為S2，求（用含α的式子表示）．
【答案】（1）證明見解析；（2）CD＝2?BE?tan2α；（3）sin（45°﹣α）．
【解析】
(1)如圖1中，
∵B、B′關(guān)于EC對(duì)稱，
∴BB′⊥EC，BE＝EB′，
∴∠DEB＝∠DAC＝90°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠DBE＝∠ACD，
∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°，
∴△BAB′≌CAD，
∴CD＝BB′＝2BE；

(2)如圖2中，結(jié)論：CD＝2?BE?tan2α，
理由：由(1)可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，
∴△BAB′∽△CAD，
∴，
∴，
∴CD＝2?BE?tan2α；

(3)如圖 3中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°﹣2α，
∵EC平分∠ACB，
∴∠ECB(90°﹣2α)＝45°﹣α，
∵∠BCF＝45°+α，
∴∠ECF＝45°﹣α+45°+α＝90°，
∴∠BEC+∠ECF＝180°，
∴BB′∥CF，
∴sin(45°﹣α)．
∵，
∴sin(45°﹣α)．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題.
44．綜合與實(shí)踐
折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，同學(xué)們小時(shí)候都玩過折紙，可能折過小動(dòng)物、小花、飛機(jī)、小船等，折紙活動(dòng)也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)．
在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中，我們會(huì)初步建立幾何直觀，折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對(duì)角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論．
實(shí)踐操作
如圖1，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，使點(diǎn)B′落在矩形ABCD所在平面內(nèi)，B′C和AD相交于點(diǎn)E，連接B′D．
解決問題
(1)在圖1中，
①B′D和AC的位置關(guān)系為　?。?br /> ②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是　?。?br /> (2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)(AB≠BC)，如圖2所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；
(3)小紅沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形，沿對(duì)稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對(duì)稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為　?。?br /> 拓展應(yīng)用
(4)在圖2中，若∠B=30°，AB=4，當(dāng)△AB′D恰好為直角三角形時(shí)，BC的長度為　　．

【答案】(1)①BD′//AC，菱形；(2)見解析；(3)1：1或：1；(4)4或6或8或12.
【解析】
(1)①．②將剪下后展開，得到的圖形是菱形；
故答案為，菱形；
(2)①選擇②證明如下：
四邊形是平行四邊形，
，
，
將沿翻折至△，
，
，
，
是等腰三角形；
將剪下后展開，得到的圖形四邊相等，
將剪下后展開，得到的圖形四邊是菱形．
②選擇①證明如下，
四邊形是平行四邊形，
，
將沿翻折至△，
，
，
，
，
，
，
．
(3)①當(dāng)矩形的長寬相等時(shí)，滿足條件，此時(shí)矩形紙片的長寬之比為；，
，
②當(dāng)矩形的長寬之比為時(shí)，滿足條件，此時(shí)可以證明四邊形是等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形；
綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長寬之比為或；
(4)，，
，
，
四邊形是等腰梯形，
，，
△是直角三角形，
當(dāng)，時(shí)，如圖3中，

設(shè)，
，
解得，
，
，
，
，
當(dāng)，時(shí)，如圖4，

，，
，
，
四邊形是等腰梯形，
，
四邊形是矩形，
，
，
，，
；
當(dāng)，時(shí)，如圖5，

，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，如圖6，

，，
，
，
四邊形是等腰梯形，
，
四邊形是矩形，
，
，，
；
已知當(dāng)?shù)拈L為4或6或8或12時(shí)，△是直角三角形．
故答案為：平行，菱形，或，4或6或8或12；

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查折疊圖形的性質(zhì)與運(yùn)用，解題的關(guān)鍵時(shí)能夠知道在折疊過程中的變量與形成的新的關(guān)系.
45．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2）．點(diǎn)E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐標(biāo)為（，3）；（3）F坐標(biāo)為（0，﹣）．
【解析】
（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得： ，
解得： ，即二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+x+2，
聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：，
消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，
解得：x=0或x=3，
則E（3，1）；
（2）如圖①，過M作MH∥y軸，交CE于點(diǎn)H，

設(shè)M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），
∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
S四邊形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH?3=﹣m2+3m+3，
當(dāng)m=﹣=時(shí)，S最大=，此時(shí)M坐標(biāo)為（，3）；
（3）連接BF，如圖②所示，

當(dāng)﹣x2+x+20=0時(shí)，x1=，x2=，
∴OA=，OB=，
∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴ ，即 ，
解得：OF=，
則F坐標(biāo)為（0，﹣）．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，以及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
46．如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q兩點(diǎn)分別從A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線AB﹣BC運(yùn)動(dòng)，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；點(diǎn)Q在BD上以2cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥AD，垂足為點(diǎn)N．連接PQ，以PQ，PN為鄰邊作?PQMN．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），?PQMN與矩形ABCD重疊部分的圖形面積為y（cm2）
（1）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，x等于多少；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分時(shí)，直接寫出x的值．

【答案】（1）s；（2）y=；（3）當(dāng)x=s或時(shí)，直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．
【解析】
(1)當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，BQ=2PB，
∴2x=2（2﹣2x），
∴x=s．
(2)①如圖1中，當(dāng)0＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN．

y=2x×x=2x2．
②如圖②中，當(dāng)＜x≤1時(shí)，重疊部分是四邊形PQEN．

y=(2﹣x+2x)×x=x2+x.
③如圖3中，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，重疊部分是四邊形PNEQ．

y=(2﹣x+2)×[x﹣2(x﹣1)]=x2﹣3x+4；
綜上所述，y=
（3）①如圖4中，當(dāng)直線AM經(jīng)過BC中點(diǎn)E時(shí)，滿足條件．

則有：tan∠EAB=tan∠QPB，
∴=，
解得x=．
②如圖5中，當(dāng)直線AM經(jīng)過CD的中點(diǎn)E時(shí)，滿足條件．

此時(shí)tan∠DEA=tan∠QPB，
∴=，
解得x=，
綜上所述，當(dāng)x=或時(shí)，直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分．
故答案為：(1)s；(2)y=；(3)x=或．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
47．菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E恰好在y軸上，過點(diǎn)D和BC的中點(diǎn)H的直線交AC于點(diǎn)F，線段DE，CD的長是方程x2﹣9x+18=0的兩根，請(qǐng)解答下列問題：
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)H，則k=　 　；
（3）點(diǎn)Q在直線BD上，在直線DH上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)F，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）（﹣，3）（2） （3）（，）或（﹣，5）或（，﹣）
【解析】
（1）x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x=3或6，
∵CD＞DE，
∴CD=6，DE=3，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC==3，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，
Rt△DEM中，∠DEM=30°，
∴DM=DE=，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD=AC?BD=CD?OM，
∴=6OM，OM=3，
∴D（﹣，3）；
（2）∵OB=DM=，CM=6﹣=，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中點(diǎn)，
∴H（3，），
∴k=3×=；
故答案為：；
（3）
①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB是等邊三角形，
∵H是BC的中點(diǎn)，
∴DH⊥BC，
∴當(dāng)Q與B重合時(shí)，如圖1，四邊形CFQP是平行四邊形，
∵FC=FB，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，
∴FB=2=CP，
∴P（，）；
②

如圖2，∵四邊形QPFC是平行四邊形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，
∴CQ=6，
連接QA，
∵AE=EC，QE⊥AC，
∴QA=QC=6，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，
∴∠QAB=90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移規(guī)律可得P到Q的平移規(guī)律，則P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③
如圖3，四邊形CQFP是平行四邊形，
同理知：Q（﹣，6），F(xiàn)（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題主要考查平行四邊形、菱形的圖像和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)等，綜合性較大，需綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)充分利用已知條件求解.
48．拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)M（，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)A為拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A′；已知C為A′B的中點(diǎn)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作CD⊥x軸，PE⊥x軸，垂足分別為D，E．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，是否存在點(diǎn)P使以點(diǎn)C，D，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x（2）存在點(diǎn)P（+，）或（﹣，）使得四邊形CDPE是平行四邊形
【解析】
（1）依題意得：拋物線y=ax2+bx經(jīng)過頂點(diǎn)M（，3）和（0，0），∴點(diǎn)A與原點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=對(duì)稱，∴A（2，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)C，D，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則PE∥CD且PE=CD．
由頂點(diǎn)M（，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（，﹣3），可得：BF=3．
連接MB交x軸于F．
∵CD⊥x軸，BM⊥x軸，∴CD∥BF．
∵C為A′B的中點(diǎn)，∴CD是△A′BF的中位線，得PE=CD=BF=．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)該在x軸的上方．
可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），∴y=﹣x2+2x=，解得：x=±，滿足0＜x＜2．
綜上所述：存在點(diǎn)P（+）或（﹣）使得四邊形CDPE是平行四邊形．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題是二次函數(shù)的綜合題．主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
49．已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E．
（1）延長DE交⊙O于點(diǎn)F，延長DC，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，如圖1．求證：PC=PB；
（2）過點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè)，如圖2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大?。?br />
【答案】（1）詳見解析；（2）∠BDE=20°．
【解析】
（1）如圖1，∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F=∠PBC，
∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠F+∠DCB=180°，
∵∠PCB+∠DCB=180°，
∴∠F=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB；
（2）如圖2，連接OD，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四邊形DHBC是平行四邊形，
∴BC=DH=1，
在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，
∴BC=AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
設(shè)DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH=∠ACB=60°，
∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE=∠CBD=20°．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決第（2）問，作出輔助線，求得∠ODH=20°是解決本題的關(guān)鍵.
50．空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．
（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；
（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請(qǐng)你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．

【答案】（1）利用舊墻AD的長為10米．（2）見解析.
【解析】
（1）設(shè)AD=x米，則AB=米
依題意得，＝450
解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用舊墻AD的長為10米．
（2）設(shè)AD=x米，矩形ABCD的面積為S平方米
①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意
得：
S=，0＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50時(shí)，S隨x的增大而增大
當(dāng)x=a時(shí)，S最大=50a-a2

②如按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得
S=，a≤x＜50+
當(dāng)a＜25+＜50時(shí)，即0＜a＜時(shí)，
則x=25+時(shí)，S最大=（25+）2=，
當(dāng)25+≤a，即≤a＜50時(shí)，S隨x的增大而減小
∴x=a時(shí)，S最大==，
綜合①②，當(dāng)0＜a＜時(shí)，-（）=＞0
＞，此時(shí)，按圖2方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米
當(dāng)≤a＜50時(shí)，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等．
∴當(dāng)0＜a＜時(shí)，圍成長和寬均為（25+）米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；
當(dāng)≤a＜50時(shí)，圍成長為a米，寬為（50-）米的矩形菜園面積最大，最大面積為（）平方米．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題以實(shí)際應(yīng)用為背景，考查了一元二次方程與二次函數(shù)最值的討論，解得時(shí)注意分類討論變量大小關(guān)系．
51．如圖1，有一組平行線，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在上，過點(diǎn)D且垂直于于點(diǎn)Ｅ，分別交于點(diǎn)F，G，．
（1）AE=____，正方形ABCD的邊長＝____；
（2）如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)在直線上，以為邊在的左側(cè)作菱形，使點(diǎn)分別在直線上．
①寫出與的函數(shù)關(guān)系并給出證明；
②若=30°，求菱形的邊長．

【答案】（1）1，；（2）①∠B′AD′=90°﹣α，證明見解析；②菱形的邊長為．
【解析】
（1）由題意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，
，
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的邊長=，
故答案為：1，；
（2）①∠B′AD′=90°﹣α；
理由：過點(diǎn)B′作B′M垂直于l1于點(diǎn)M，
在Rt△AED′和Rt△B′MA中，
，
∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），
∴∠D′AE+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°﹣α；
②過點(diǎn)E作ON垂直于l1分別交l1，l2于點(diǎn)O，N，
若α=30°，則∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′=，
由勾股定理可知菱形的邊長為：．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了幾何變換綜合題涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等，認(rèn)真識(shí)圖、熟練應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
52．已知，如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）如圖2，點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)G不與點(diǎn)B、C重合），連接AG交DF于點(diǎn)H，連接HC，過點(diǎn)A作AK∥HC，交DF于點(diǎn)K．
①求證：HC=2AK；
②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí)，恰有HD=n?HK（n為正整數(shù)），求n的值．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）n=4．
【解析】
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如圖2，作BN∥HC交EF于N，

∵△ADE≌△BFE，
∴BF=AD=BC，
∴BN=HC，
由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，
∴AK=BN，
∴HC=2AK；
（3）如圖3，作GM∥DF交HC于M，

∵點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)，
∴CG=CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
∴==，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴===，
∴=，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴△AHK∽△HGM，
∴==，
∴=，即HD=4HK，
∴n=4．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
此題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)于三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力，熟練掌握判定條件和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
53．如圖，（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在線段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)N, FN⊥BC.
（1）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)（如圖1），AE與EF相等嗎？
（2）點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y.
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值.

【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②當(dāng)x=2,y最大值=2.
【解析】
（1）如圖，在AB上取AG=EC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ，
又∵∠B=90°，
∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，
∴∠ECF=135°，
∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AGE和△ECF中，
,
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF；

(2)①∵由（1）證明可知當(dāng)E不是中點(diǎn)時(shí)同理可證AE=EF，
∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，
∴△ABE≌△ENF，
∴FN=BE=x，
∴S△ECF= (BC-BE)·FN，
即y= x(4-x），
∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，
②，
當(dāng)x=2，y最大值=2.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線、熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
54．如圖，已知拋物線過點(diǎn)A(,-3) 和B(3,0)，過點(diǎn)A作直線AC//x軸，交y軸與點(diǎn)C.
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D，連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（4 ,6）或（,- ）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）或（-2，15）
【解析】
（1）把，和點(diǎn)，代入拋物線得：，
解得：，，
則拋物線解析式為；
（2）當(dāng)在直線上方時(shí)，
設(shè)坐標(biāo)為，則有，，
當(dāng)時(shí)，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，也滿足；
當(dāng)在直線下方時(shí)，同理可得：的坐標(biāo)為，，
綜上，的坐標(biāo)為，或，或，或；
（3）在中，，，
根據(jù)勾股定理得：，
，
，
，
邊上的高為，
過作，截取，過作，交軸于點(diǎn)，如圖所示：

在中，，即，
過作軸，
在中，，，即，，
設(shè)直線解析式為，
把坐標(biāo)代入得：，即，即，
聯(lián)立得：，
解得：或，即，或，，
則拋物線上存在點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
55．如圖，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為軸，OA為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)D，E分別是線段AC，OC上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.
（1）求直線AC的解析式；
（2）用含的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，△ODE為直角三角形？
（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱軸平行于軸的拋物線？并請(qǐng)選擇一種情況，求出所確定拋物線的解析式.

【答案】（1）；（2）D（，）；（3），，，；（4）
【解析】
（1）根據(jù)題意，得CO=AB=BC?tan∠ACB=4，則A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，得：
4k+3=0，k=-，
∴直線AC：；
（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F，H，

則有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，
DH=，HC=，
∴D（，）；
（3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=，
則OD2=DH2+OH2==，
DE2=DH2+HE2==，
當(dāng)△ODE為Rt△時(shí)，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，
即①，
或②，
或③，
上述三個(gè)方程在0≤≤內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解為
，，，；
（4）當(dāng)DO⊥OE，及DE⊥OE時(shí)，即和時(shí)，以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)不確定對(duì)稱軸平行于軸的拋物線，其它兩種情況都可以各確定一條對(duì)稱軸平行于軸的拋物線D（，），E（4-，0），
當(dāng)時(shí)，D（，），E（3，0），因?yàn)閽佄锞€過O（0，0），
所以設(shè)所求拋物線為，將點(diǎn)D，E坐標(biāo)代入，求得，，
∴所求拋物線為.
（當(dāng)時(shí)，所求拋物線為）.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查的是代數(shù)幾何綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解題的關(guān)鍵.
56．如圖1，拋物線平移后過點(diǎn)A（8，,0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)C，與原拋物線相交于點(diǎn)D．
（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積；
（2）如圖2，直線AB與軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N，設(shè)，試探求：
①為何值時(shí)為等腰三角形；
②為何值時(shí)線段PN的長度最小，最小長度是多少．

【答案】（1）平移后拋物線的解析式，= 12；（2）①，②當(dāng)＝3時(shí)，PN取最小值為．
【解析】
（1）設(shè)平移后拋物線的解析式，
將點(diǎn)A（8，,0）代入，得=，
所以頂點(diǎn)B（4,3），
所以S陰影=OC?CB=12；
（2）設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，將A（8，0）、B（4，3）分別代入得
，解得：，
所以直線AB的解析式為，作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q，
①當(dāng)MN＝AN時(shí)， N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.
當(dāng)AM＝AN時(shí)，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，
解得：
t＝12（舍去）；
當(dāng)MN＝MA時(shí)，故是鈍角，顯然不成立,
故；
②由MN所在直線方程為y=，與直線AB的解析式y(tǒng)=﹣x+6聯(lián)立，
得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，
由判別式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，
又因?yàn)?＜xN＜8，
所以xN的最小值為6，此時(shí)t=3，
當(dāng)t=3時(shí)，N的坐標(biāo)為（6，），此時(shí)PN取最小值為．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，平移的性質(zhì)，割補(bǔ)法，三角形面積，分類思想，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，根的判別式，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
57．將一副三角尺按圖1擺放，等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB，與AC相交于點(diǎn)G，．
（1）求GC的長；
（2）如圖2，將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使直角邊DF經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊DE與AC相交于點(diǎn)H，分別過H、C作AB的垂線，垂足分別為M、N，通過觀察，猜想MD與ND的數(shù)量關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想．
（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，當(dāng)D′E′恰好經(jīng)過（1）中的點(diǎn)G時(shí)，請(qǐng)直接寫出DD′的長度．

【答案】（1）2；（2）DM=DN；（3）
【解析】
（1）如圖1．

在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，∴AC=BC?tan60°=6，AB=2BC=4．
∵DF是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD=2．
在Rt△ADG中，AG4，∴CG=AC=AG=6﹣4=2．
（2）如圖2中，結(jié)論：DM=DN．
理由：∵△ABC為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=BD=AD．
又∠B=60°，∴△BDC為等邊三角形，∴∠CDB=60°．
又∠EDF=90°，∴∠HDA=30°．
∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，又HM⊥AD，∴MD=AM．
在等邊三角形 BCD中，CN⊥BD，∴ND=NB．
又AD=BD，∴MD=ND．

（3）如圖3中，作GK∥DE交AB由K．

在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．
則AH=AG?cos30°=2，可得AK=2AH=4，此時(shí)K與B重合，∴DD′=DB=2．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
本題考查了幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換平移變換、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
58．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，連接BD，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OE．當(dāng)OE=DE時(shí)，求AE的長；
（2）如圖2，連接BE，EC，過點(diǎn)E作EF⊥EC交AB于點(diǎn)F，連接CF，與BE交于點(diǎn)G．當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，求BG的長；
（3）如圖3，連接EC，點(diǎn)H在CD上，將矩形ABCD沿直線EH折疊，折疊后點(diǎn)D落在EC上的點(diǎn)D'處，過點(diǎn)D′作D′N⊥AD于點(diǎn)N，與EH交于點(diǎn)M，且AE=1．
①求 的值；
②連接BE，△D'MH與△CBE是否相似？請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）AE=；（2）BG=；（3）①；②相似，理由見解析.
【解析】
（1）如圖1，連接OA，

在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，BD=，
∵O是BD中點(diǎn)，
∴OD=OB=OA=，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OE=DE，
∴∠EOD=∠ODE，
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴，
∴DO2=DE?DA，
∴設(shè)AE=x，
∴DE=5﹣x，
∴（）2=5（5﹣x），
∴x=，
即：AE=；
（2）如圖2，

在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AE=CD=3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CED=∠AFE，
∵∠D=∠A=90°，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2，
∴BF=AB﹣AF=1，
過點(diǎn)G作GK⊥BC于K，
∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，
∵∠KCG=∠BCF，
∴△CHG∽△CBF，
∴，
設(shè)BK=GK=y，
∴CK=5﹣y，
∴y=，
∴BK=GK=，
在Rt△GKB中，BG=；
（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，
∵AE=1，AD=5，
∴DE=4，
∵DC=3，
∴EC=5，
由折疊知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，
∴D'C=1，
設(shè)D'H=DH=z，
∴HC=3﹣z，
根據(jù)勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，
∴z=，
∴DH=，CH=，
∵D'N⊥AD，
∴∠AND'=∠D=90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M=∠ECH，
∵∠MED'=∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由：由折疊知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
∴∠MD'H+∠ED'N=90°，
∵∠END'=90°，
∴∠ED'N+∠NED'=90°，
∴∠MD'H=∠NED'，
∵D'N∥DC，
∴∠EHD=∠D'MH，
∴∠EHD'=∠D'MH，
∴D'M=D'H，
∵AD∥BC，
∴∠NED'=∠ECB，
∴∠MD'H=∠ECB，
∵CE=CB=5，
∴
∴△D'MH∽△CBE．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
此題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握判定兩三角形相似的方法是解本題的關(guān)鍵．
59．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線相交于A（1，），B（4，0）兩點(diǎn)．

（1）求出拋物線的解析式；
（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作PM∥OA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M（，）．
【解析】
（1）∵A（1，），B（4，0）在拋物線的圖象上，∴，解得，∴拋物線解析式為；
（2）存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意，理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，∵A（1，），
∴D坐標(biāo)為（1，0）；
②當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)D（0，d），
則，，
且，
∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，∴
，即，
解得d=，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）；
綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點(diǎn)F，
∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽R(shí)t△MFP，
∴=，∴MF=PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=，
∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，
設(shè)BC=a，則CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF=，
∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴，
∴a=PF，
∴NC=a=PF，
∴==，
∴MN=NC==a，
∴MC=MN+NC=（）a，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣a，（）a），
又M點(diǎn)在拋物線上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】
在這類綜合練習(xí)題中，求點(diǎn)坐標(biāo)通常過點(diǎn)作x軸，y軸的垂線，并根據(jù)題意找到相似關(guān)系，或者根據(jù)題求出點(diǎn)所在圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式，代入求解.計(jì)算量較大，需要有較強(qiáng)的計(jì)算功底.
60．在平面直角坐標(biāo)系中，已知M1（3，2），N1（5，－1），線段M1N1平移至線段MN處（注：M1與M，N1與N分別為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.
（1）若M（－2，5），請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo).
（2）在（1）問的條件下，點(diǎn)N在拋物線上，求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.
（3）在（2）問條件下，若拋物線頂點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)C（0，m）是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，線段EC與線段BO相交于F，且OC︰OF=2︰，求m的值.
（4）在（3）問條件下，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)（即BP長為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時(shí)的△ABP面積的，求此時(shí)BP的長度.

【答案】（1）N（0,2）；（2）y=x2+ x+2；（3）m=－1；（4）BP=2或
【解析】
（1）N（0,2）
（2）∵N（0,2）在拋物線y=x2+ x+k上
∴k=2
∴拋物線的解析式為y=x2+ x+2
（3）∵y=x2+ x+2=（x+2）2
∴B（－2，0）、A（0,2）、E（－，1）

∵CO：OF=2:
∴CO=－m, FO=－m, BF=2+m
∵S△BEC= S△EBF+ S△BFC=
∴(2+m)(－m+1) =
整理得：m2+m = 0
∴m=－1或0
∵m < 0 ∴m =－1
（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①∠BPE>∠APE時(shí)，連接A1B
則對(duì)折后如圖2，A1為對(duì)折后A的所落點(diǎn)，△EHP是重疊部分.

∵E為AB中點(diǎn)，∴S△AEP= S△BEP= S△ABP
∵S△EHP= S△ABP
∴= S△EHP= S△BHP= S△ABP
∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四邊形A1BPE為平行四邊形
∴BP=A1E=AE=2
即BP=2
②當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意
③當(dāng)∠BPE

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