人教A版（2019）必修二高中數(shù)學(xué) 期中必考點03 平面向量的應(yīng)用（學(xué)生版+解析版）練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?必考點03 平面向量的應(yīng)用

題型一向量在平面幾何證明問題中的應(yīng)用
【例1】（1）四邊形中，，，則這個四邊形是（???????）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】A
【解析】由題意，
即，且
故四邊形為平行四邊形
又
故
即四邊形為菱形
故選：A
（2）在中，，動點M滿足，則直線AM一定經(jīng)過的（???????）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心
【答案】B
【解析】延長AC，使得AC=CD，
則，
因為，所以，
因為，所以，
所以是等腰三角形，
所以點M在BD的中垂線上，所以AM平分，
直線AM一定經(jīng)過的內(nèi)心.
故選：B.

【解題技巧提煉】用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路
(1)向量的線性運算法的四個步驟：
①選取基底；
②用基底表示相關(guān)向量；
③利用向量的線性運算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；
④把計算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．
(2)向量的坐標(biāo)運算法的四個步驟：
①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；
②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；
③用向量的坐標(biāo)運算找到相應(yīng)關(guān)系；
④利用向量關(guān)系回答幾何問題．
題型二向量在物理中的應(yīng)用
【例2】（1）物體受到一個水平向右的力及與它成60°角的另一個力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（???????）
A．3N B． C．2N D．
【答案】C
【解析】由題得,
所以,所以,所以,
所以和大小相等，都為2.故選：C

（2）某人在靜水中游泳時速度為4km/h，水的流向是由西向東，水流速度為2km/h，此人必須沿與水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).
【答案】120
【解析】設(shè)表示人游泳的速度，表示水速，
由題意可知，若人能沿正北方向前進(jìn)，則人游泳的速度與水速的合速度方向為正北，
因為，，所以，所以，
即此人必須沿與水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).

故答案為：.
【解題技巧提煉】用向量方法解決物理問題的“三步曲”

題型三利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例3】（2021?天津）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】（1）中，，，
，，．
（2）中，由余弦定理可得．
（3）由（2）可得，
，，
．
【解題技巧提煉】
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系．
題型四面積問題
【例4】（2021?新高考Ⅱ）在中，角，，所對的邊長為，，，，．
（Ⅰ）若，求的面積；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【解析】，
根據(jù)正弦定理可得，
，，
，，，
在中，運用余弦定理可得，
，
，
．
，
為鈍角三角形時，角必為鈍角，
，，
，，
三角形的任意兩邊之和大于第三邊，
，即，即，，
為正整數(shù)，．
【解題技巧提煉】
1．求三角形面積的方法
(1)若已知三角形的一個角(角的大小或該角的正、余弦值)及該角的兩邊長度，代入公式求面積；
(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，或直接代入海倫公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．
2．已知三角形面積求邊、角的方法
(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；
(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．
題型五判斷三角形的形狀
【例5】（1）在中，若，則的形狀是
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．銳角三角形 D．不能確定
【答案】A
【解析】因為在中，滿足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因為C是三角形的內(nèi)角，所以，
所以為鈍角三角形，故選A.
（2）在△中，若滿足，則該三角形的形狀為（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
所以或，
因為，，
所以或，
所以或，
所以是直角三角形或等腰三角形，故選：D
【解題技巧提煉】
1．判斷三角形形狀的2種常用途徑

2．判斷三角形的形狀的注意點
在判斷三角形的形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解．
題型六化簡與證明
【例6】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S﹐且滿足．
（1）求角C的大??；
（2）求的最大值．
【解析】（1）由題意可知．
所以．
因為，
所以；
（2）由已知

．
因為,
所以即時，取最大值.
所以的最大值是．
【解題技巧提煉】
解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個角的三角函數(shù)表示，結(jié)合角的范圍確定最值.或范圍
題型七解三角形的實際應(yīng)用
【例7】（1）福建省寧德市2021屆高三畢業(yè)班第二次（5月）質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)理試題）如圖，為了測量某濕地A，B兩點間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點C，D，E．從D點測得∠ADC＝67.5°，從C點測得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，從E點測得∠BEC＝60°．若測得DC＝2，CE＝(單位：百米)，則A，B兩點的距離為（）

A． B．2
C．3 D．2
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
則∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，則AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，
則∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
則有＝，變形可得BC＝＝＝，
在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
則AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，
則AB＝3．故選：.
（2）（2021?甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有，，三點，且，，在同一水平面上的投影，，滿足，．由點測得點的仰角為，與的差為100；由點測得點的仰角為，則，兩點到水平面的高度差約為　　

A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】過作于，過作于，
則，，，，，，
，
則在中，，
在△中，由正弦定理知，，，
，
故選：．

【例8】已知島A南偏西38°方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/小時的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？
（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為x海里/小時，結(jié)合題意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.

由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故緝私艇以14海里/小時的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船．
【解題技巧提煉】
1.求解距離問題，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．
2.高度也是兩點之間的距離，其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識求出該高度．
3.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．

題型一向量在平面幾何證明問題中的應(yīng)用
1．如圖，在等腰梯形中，. 點在線段上運動，則的取值范圍是(???????)

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，以AB中點為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
則，，，，
易知，，故AD方程為：，
故設(shè)，
則，，
，
，
∵，
∴最小值為，最大值為，
∈.
故選：B.

題型二向量在物理中的應(yīng)用
2．加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中重要組成部分，某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為500，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（???????）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10，≈1.732）

A．81 B．87 C．89 D．91
【答案】B
【解析】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為，，，，
，
，解得．
學(xué)生的體重約為．
故選：B．
題型三利用正弦定理、余弦定理解三角形
3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
(1)求角A；
(2)若，BC邊上的高為，求c.
【解析】(1)由已知條件得,
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又∵, ∴, ∴,∴;
(2)由三角形面積公式得
∵，，
∴，即，
由余弦定理得, 將代入可得，
解得或（舍去），
故.
題型四面積問題
4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，且滿足．
(1)求角C的大??；
(2)若，求的面積．
【解析】(1)由題意，，結(jié)合正弦定理
故
又，故
故，即，又

(2)由題意，又
故

即，又

由，
代入可得：

題型五判斷三角形的形狀
5．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則的形狀為（???????）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．不確定
【答案】C
【解析】因為，
所以
，
所以
則，即，故.
因為，，
所以，
當(dāng)時，所以或.若，則.
若，則.
當(dāng)時，（舍去），
因此的形狀為直角三角形.
故選：C
題型六三角形的最值或范圍問題
6．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
【解析】(1)由正弦定理得，
又∵，
∴，又∵，∴，∴，
故在中，；
(2)由余弦定理得：，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
∴面積.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故面積的最大值為.
題型七解三角形的實際應(yīng)用
7．如圖，航空測量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000，速度為50.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為（，）（???????）

A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點，經(jīng)過420s后的位置為點，山頂為點，作于點，
則，所以，
在中，，
由正弦定理得，
則，
因為，
所以，
所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為.
故選：B.

8．為加快推進(jìn)“5G+光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在東北某地地面有四個5G基站A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在松花江的南岸，距離為；基站A，B在江的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（???????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在中，，
所以，有，所以，
在中，，
由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，得

，
所以，即兩個基站A、B之間的距離為.
故選：D
9．當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示裝置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角是（）

A．150° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】設(shè)竹竿與地面所成的角是，影子長為，由正弦定理得
，
所以，
因為，
所以當(dāng)，即時，取得最大值，
所以竹竿與地面所成的角為時，影子最長，
故選：B

1．已知，點M是△ABC內(nèi)一點且，則△MBC的面積為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中點，因為，所以，故，所以，因為，因此,
故選：C.

2．在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（???????）
A．北偏西， B．北偏西，
C．北偏東， D．北偏東，
【答案】A
【解析】如圖，船從點出發(fā)，沿方向行駛才能垂直到達(dá)對岸，

，，則，則，
因為為銳角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行駛，才能垂直到達(dá)對岸.
故選：A.
3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則必為（???????）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】因為，由正弦定理可得，即，
又因為，
所以，即，
因為，所以，
所以，所以為鈍角三角形.
故選：A.
4．在中，若，，，則（???????）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】，，，
，
由正弦定理可得，，
．
故選：D．
5．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a，b，c成等差數(shù)列，且，則的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，故可得，又因為a，b，c成等差數(shù)列，即，故可得，由余弦定理可得，
故選：A.
6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則△ABC的面積為（??????????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為在△ABC中，，所以，
因為，，
所以△ABC的面積為.
故選：B
7．【多選】在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．
B．
C．若，則的面積是15
D．若，則外接圓半徑是
【答案】AD
【解析】依題意，設(shè)，所以，
A：由正弦定理得：，故選項A正確；
B：，
所以，故選項B錯誤；
C：若，則，所以，所以，
所以，故的面積是：，
故選項C錯誤；
D：若，則，所以，所以，
所以，則利用正弦定理得：的外接圓半徑是：，
故選項D正確.?????
故選：AD
8．【多選】已知點為外接圓的圓心，，，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】令，則，所以（舍）或，
所以，
所以.
故選：BD.
9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______．
【答案】
【解析】由余弦定理知：，而，
所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：
10．校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上，若國歌時長為50 s，升旗手應(yīng)以________m/s的速度勻速升旗.

【答案】##
【解析】，，故，
根據(jù)正弦定理：，即，，
，故.
故答案為：.
11．已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如圖）．若A船的航行速度為40nmile/h，1h后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時A，B兩船相距________nmile．

【答案】
【解析】由題意，，
，
由正弦定理，即，解得．
故答案為：．
12．如圖，在中，點D是邊上一點，

(1)求的大??；
(2)若的面積為，求邊的長．
【解析】(1)，因為，
所以，
；
(2)由正弦定理可知：
，
因為的面積為，
所以，于是，
由余弦定理可知：
.
13．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，
(1)求角的大小；
(2)若，為邊上一點，，且___，求的面積．從①為的平分線，②為的中點，這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的橫線上并作答．
【解析】(1)中，由正弦定理及，
知，所以，
由余弦定理知，所以，所以，又，所以；
(2)選①
為的平分線，，所以，
因為，所以，即，
由余弦定理得，，所以，
解得或（舍，所以的面積；
選②
因為為的中點，，則，因為，
所以，
由余弦定理可得，即，
整理得，
由余弦定理得，，所以，
所以的面積．

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