專題03 分式及其運(yùn)算-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（廣東專用）（原卷版）

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專題03 分式及其運(yùn)算【母題來(lái)源】2021年中考廣東廣州卷【母題題文1】（2021·廣東廣州·中考真題）已知（1）化簡(jiǎn)A；（2）若，求A的值．【母題來(lái)源】2021年中考廣東深圳卷【母題題文2】（2021·廣東深圳·中考真題）先化簡(jiǎn)再求值：，其中．1.分式的定義一般地，如果A，B表示兩個(gè)整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。2.與分式有關(guān)的條件①分式有意義：分母不為0（）②分式無(wú)意義：分母為0（）③分式值為0：分子為0且分母不為0（）④分式值為正或大于0：分子分母同號(hào)（或）⑤分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號(hào)（或）⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）3.分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，即注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意C0這個(gè)限制條件和隱含條件B0。4.分式的約分定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。注意：①分式的分子與分母為單項(xiàng)式時(shí)可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分子分母相同因式的最低次冪。      ②分子分母若為多項(xiàng)式，約分時(shí)先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。③最簡(jiǎn)分式的定義5.分式的通分①分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。②分式的通分最主要的步驟是最簡(jiǎn)公分母的確定。最簡(jiǎn)公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。確定最簡(jiǎn)公分母的一般步驟：Ⅰ 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；Ⅱ 單獨(dú)出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）的冪的因式連同它的指數(shù)作為一個(gè)因式；Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最大的。Ⅳ 保證凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取。注意：分式的分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先因式分解。個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。6.分式的四則運(yùn)算與分式的乘方①分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為②分式的乘方：把分子、分母分別乘方，式子。③分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個(gè)整數(shù)，整式前面是負(fù)號(hào)，要加括號(hào)，看作是分母為1的分式，再通分。④分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先乘方、再乘除、后加減，同級(jí)運(yùn)算中，誰(shuí)在前先算誰(shuí)，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，也要注意靈活，提高解題質(zhì)量。注意：在運(yùn)算過(guò)程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對(duì)有無(wú)錯(cuò)誤或分析出錯(cuò)的原因。加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)分式（或整式）。 7.整數(shù)指數(shù)冪①引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實(shí)數(shù)，并且正正整數(shù)冪的法則對(duì)對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪一樣適用。即★        ★           ★         ★  （）★          ★  （）    ★ （）（任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1）其中m，n均為整數(shù)。②科學(xué)記數(shù)法若一個(gè)數(shù)x是0<x<1的數(shù)，則可以表示為（，即a的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù)）的形式，n的確定n=從左邊第一個(gè)0起到第一個(gè)不為0的數(shù)為止所有的0的個(gè)數(shù)的相反數(shù)。如0.000000125=。若一個(gè)數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表示為（，即a的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù)）的形式，n的確定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個(gè)數(shù)少1。如120 000 000=。一、單選題1．（2019·湖南益陽(yáng)·一模）要使分式有意義，則應(yīng)滿足的條件是（    ）A． B． C． D．2．（2021·廣東·珠海市紫荊中學(xué)三模）有一種病毒的直徑約為0.000000078米，數(shù)0.000000078用科學(xué)記數(shù)法表示為（    ）A． B． C． D．3．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)東校三模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（   ）A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b4．（2021·廣東·廣州市第十六中學(xué)二模）分式，，的最簡(jiǎn)分母是（    ）A． B． C． D．5．（2021·廣東高要·二模）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（   ）A． B．C． D． 6．（2021·河北競(jìng)秀·一模）下面是某同學(xué)“化簡(jiǎn)”的過(guò)程，共四步．解：原式＝……第一步＝.....第二步＝.....第三步＝2....第四步請(qǐng)判斷：該同學(xué)的化簡(jiǎn)過(guò)程從第（　?。┎介_(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤．A．一 B．二 C．三 D．四7．（2021·河北正定·八年級(jí)期中）在中，是分式的有（    ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2021·山東·濟(jì)南市萊蕪實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）分式，，，中，最簡(jiǎn)分式有（    ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2021·山東青島·八年級(jí)單元測(cè)試）下列各式從左到右變形正確的是（    ）A．+=3（x+1）+2y B．=C．= D．=10．（2021·湖南·衡南縣北斗星中學(xué)八年級(jí)期中）若A、B表示不等于0的整式，則下列各式成立的是（    ）A．＝ B．＝C．＝ D．＝11．（2021·河北正定·八年級(jí)期中）已知a，b均為正數(shù)，設(shè)．下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，正確的有（    ）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)12．（2021·山東·東平縣江河國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）若等于2，則x等于（　?。?/span>A． B．﹣ C．2 D．﹣213．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一支部隊(duì)排成a米長(zhǎng)隊(duì)行軍，在隊(duì)尾的戰(zhàn)士要與最前面的團(tuán)長(zhǎng)聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團(tuán)長(zhǎng)、為了回到隊(duì)尾，他在追上團(tuán)長(zhǎng)的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么他需要的時(shí)間是（　　?。?/span>A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘14．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)分別取、、、…、、、、、…、、、時(shí)，計(jì)算分式的值，再將所得結(jié)果相加，其和等于（  ）A． B． C． D．  二、填空題15．（2021·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果是________16．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)月考）計(jì)算：（1﹣）÷＝___．17．（2021·湖南·衡南縣北斗星中學(xué)八年級(jí)期中）若（A、B為常數(shù)），則A?B的值為___________．18．（2021·湖南·衡南縣北斗星中學(xué)八年級(jí)期中）已知＝，則＝___________．19．（2021·湖南·衡南縣北斗星中學(xué)八年級(jí)期中）分式有意義的條件是___________．20．（2021·湖南·汨羅市弼時(shí)鎮(zhèn)弼時(shí)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）每年四月北京很多地方楊絮、柳絮如雪花般飛舞．據(jù)測(cè)定，楊絮纖維的直徑約為米，將用科學(xué)記數(shù)法可表示為_______________．21．（2021·湖南·新化縣東方文武學(xué)校八年級(jí)期中）當(dāng)x_______時(shí)，分式的值為零．22．（2021·河南淇縣·八年級(jí)期中）已知，則分式的值為_________．23．（2021·江蘇·常州實(shí)驗(yàn)初中八年級(jí)月考）（﹣3）0＝___，（﹣）﹣2＝___．24．（2021·北京八中八年級(jí)期中）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為__；當(dāng)時(shí)分式的值為__． 三、解答題25．（2021·重慶八中二模）（1）（x+2y）2﹣y（x+4y）；（2）（﹣1）÷．   26．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中   27．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校一模）先化簡(jiǎn)再求值：，其中．  28．（2021·遼寧·沈陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）先化簡(jiǎn)，再求值；其中a是滿足的一個(gè)整數(shù)，擇一個(gè)合適數(shù)，代入求值．   29．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)三模）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中．   30．（2021·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）計(jì)算：．   31．（2021·廣東·江門市第二中學(xué)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a．   32．（2021·廣東·鐵一中學(xué)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是不等式組的整數(shù)解．     33．（2021·江蘇·南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則．”《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題新結(jié)論的重要方法．閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過(guò)對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：，這樣，分式就拆分成一個(gè)分式與一個(gè)整式的和的形式．根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題：（1）假分式可化為帶分式__________形式；（2）利用分離常數(shù)法，求分式的取值范圍；（3）若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：，求的最小值．