2021-2022學(xué)年蘇教版初二數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)練習(xí)第11講.根系關(guān)系及應(yīng)用題（含答案）

這是一份2021-2022學(xué)年蘇教版初二數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)練習(xí)第11講.根系關(guān)系及應(yīng)用題（含答案），共13頁。試卷主要包含了x2，那么x1＋x2等內(nèi)容，歡迎下載使用。
                 考古發(fā)現(xiàn)   題型切片（兩個(gè)）對(duì)應(yīng)題目題型目標(biāo)根與系數(shù)關(guān)系例1；例2；例3；例7；演練1；演練2；演練3；一元二次方程的應(yīng)用題例4；例5；例6；演練4；演練5． 本講主要分為兩個(gè)版塊，模塊一主要講解了一元二次方程的補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)，韋達(dá)定理，在這一板塊重點(diǎn)進(jìn)行了由定理直接進(jìn)行的代數(shù)式的變形，對(duì)于這個(gè)補(bǔ)充版塊，有的班級(jí)理解能力強(qiáng)些，老師們可能會(huì)有一些富余時(shí)間，故給老師們預(yù)備了對(duì)韋達(dá)定理的進(jìn)一步探索。模塊二練習(xí)了各個(gè)類型的應(yīng)用題，希望同學(xué)們能從不同的方面深入理解一元二次方程，并再次練習(xí)了解方程應(yīng)用題的一般步驟：審、設(shè)、列、解、答，希望老師注意強(qiáng)調(diào)應(yīng)用題的答千萬不要忘記。     一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根和系數(shù)有如下關(guān)系：.   【引例】       先閱讀，再填空解題：⑴方程x2－x－12＝0 的根是：x1＝，x2＝4，則x1＋x2＝1，x1·x2＝；⑵方程2x2－7x＋3＝0的根是：x1＝，x2＝3，則x1＋x2＝，x1·x2＝；⑶方程x2－3x＋1＝0的根是：x1＝      ， x2＝        ．則x1＋x2＝        ，x1·x2＝         ；⑷根據(jù)以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果關(guān)于x的一元二次方程mx2＋nx＋p＝0（m≠0且m、n、p為常數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1＋x2、x1·x2與系數(shù)m、n、p有什么關(guān)系？請(qǐng)寫出來你的猜想并說明理由．⑸在⑶的條件下，求下列各式的值：①；②   （十一學(xué)校期末）【解析】       ⑶，；，；⑷；⑸①②   【例1】         不解方程，求下列方程兩根的積與和．⑴          ⑵⑶          ⑷【解析】       ⑴     ⑵⑶      ⑷ 【例2】         已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．⑴求實(shí)數(shù)的取值范圍； ⑵當(dāng)時(shí)，求的值．                                       (畢節(jié)中考)【解析】       ⑴由題意有，解得．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．⑵由得．若，即，解得． ∵＞，不合題意，舍去． 若，即∴ ，由⑴知．故當(dāng)時(shí)，． 【例3】         已知一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根又不互為相反數(shù).                                                       ⑴ 求的取值范圍；⑵ 當(dāng)在取值范圍內(nèi)取最小偶數(shù)時(shí)，方程的兩根為，求的值. （北京八中期中試題）【解析】       ⑴根據(jù)題意，可得            ∴且且．⑵依題意有，原方程可化為．方法一：∴∴ 方法二：， 【探究對(duì)象】根系關(guān)系的進(jìn)一步應(yīng)用【探究方式】在做含參一元二次方程根系關(guān)系的問題時(shí)，先考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為0→再判斷→然后根據(jù)題意看是否有兩根的特殊關(guān)系（如例3，已知中強(qiáng)調(diào)兩根不互為相反數(shù)，則根據(jù)根系關(guān)系能夠得出）．在這里主要探討一下根的正負(fù)性問題：利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不直接求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．②當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根． 【探究1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax+a2－9=0         （1）a為何值時(shí)，方程有兩個(gè)正根？         （2）a為何值時(shí)，方程有一正根、一負(fù)根？分析：此題根據(jù)上面的總結(jié)很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3 【探究2】已知關(guān)于x的一元二次方程（m+2）x2+2mx+ =0．        （1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；        （2）若 ，試判斷方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的符號(hào)，并證明你的結(jié)論．分析：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根          ∴ 解得：m＜6；          又因?yàn)?/span>m+2≠0，則m≠－2；所以m的取值范圍是m＜6且m≠－2；     （2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為α與β，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，又知，則，          逆用上述結(jié)論可知，方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根． 【探究3】已知方程，k為實(shí)數(shù)且k≠0，證明：此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一根大于1，另一根小于1．分析：先判斷=4+4k2>0，所以方程有兩不等實(shí)根，設(shè)為、，且      由根系關(guān)系得 ，，拓展逆用上述結(jié)論：                              ∴與中必有一個(gè)大于0，另一個(gè)小于0      即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一根大于1，另一根小于1．    列一元二次方程解應(yīng)用題的時(shí)候，要注意檢驗(yàn)得到的根是否符合題意．   【引例】       ⑴某汽車銷售公司2009年盈利1500萬元， 2011年盈利2160萬元，且從2009年到2011年，每年盈利的年增長(zhǎng)率相同．設(shè)每年盈利的年增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（    ）．                                                （西城期末）A．　　　  　　B．  　C．　　　　　     　 D． ⑵某種商品原價(jià)是120元，經(jīng)兩次降價(jià)后的價(jià)格是100元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，可列方程為          ．                   (臺(tái)州中考)【解析】       ⑴A；⑵．   【例4】         某商品進(jìn)價(jià)為40元的襯衫按50元售出時(shí).每月能賣500件.這種襯衫每漲價(jià)1元，其銷售量減少10件.如果商場(chǎng)計(jì)劃每月賺8000元利潤.售價(jià)應(yīng)定為多少?【解析】       設(shè)漲價(jià)元，則售價(jià)為元，每月賣出件．根據(jù)題意列出方程解得：答：當(dāng)售價(jià)定在60元或者80元時(shí)，每月賺8000元．【例5】         如圖①，要設(shè)計(jì)一幅寬cm，長(zhǎng)cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為，如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？分析：由橫、豎彩條的寬度比為，可設(shè)每個(gè)橫彩條的寬為，則每個(gè)豎彩條的寬為．為更好地尋找題目中的等量關(guān)系，將橫、豎彩條分別集中，原問題轉(zhuǎn)化為如圖②的情況，得到矩形．結(jié)合以上分析完成填空：⑴ 如圖②，用含的代數(shù)式表示： =____________________________cm；=____________________________cm；矩形的面積為_____________cm；⑵ 列出方程并完成本題解答．  （三帆中學(xué)期末試題） 【解析】       ⑴ ⑵ 根據(jù)題意，得.整理，得.解方程，得（不合題意，舍去）.則．答：每個(gè)橫、豎彩條的寬度分別為cm，cm. 【例6】         如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面．請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問題：⑴ 在第n個(gè)圖中，每一橫行共有    塊瓷磚，每一豎列共有    塊瓷磚；（均用含n的代數(shù)式表示）⑵ 設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y，請(qǐng)寫出y與⑴中的行列的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量n的取值范圍）⑶ 按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)n的值；⑷ 若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題⑶中，共需花多少元錢購買瓷磚？⑸ 是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．【解析】       ⑴ ；．⑵ ，即．⑶ 當(dāng)y=506時(shí)，，即解得（舍去）．⑷ 白瓷磚塊數(shù)是（塊）．黑瓷磚塊數(shù)是（塊）．共需（元）．⑸ 化簡(jiǎn)為解得（舍去）．∵n的值不為正整數(shù)，∴不存在黑、白瓷磚塊數(shù)相等的情形．   【例7】         關(guān)于的方程的兩根和為，兩根的平方和為，兩根的立方和為，試求的值．【解析】       設(shè)方程的兩根為、，則，．∴，．．∴．
 訓(xùn)練1.        關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，⑴ 求的取值范圍;⑵若、滿足等式求的值.                （崇文區(qū)初三期末）【解析】       由，整理，得 ． ⑴ ∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．解之，得 ．⑵ ∵方程的兩個(gè)實(shí)根是、，∴∵∴∴.  訓(xùn)練2.          ⑴已知是實(shí)數(shù)，若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，則的最小值是____________.⑵如果是質(zhì)數(shù)，且那么的值為 （   ）A.          B. 或          C.          D.  或   【解析】       ⑴.提示：依題意有，化簡(jiǎn)得∴，∴的最小值為．　⑵B．提示：方法一：有兩種情況：① 若，則；②若，根據(jù)題意，、是方程的根，則，因?yàn)?/span>是質(zhì)數(shù)且和為奇數(shù)，所以兩數(shù)分別為和．此時(shí) ．方法二：兩式相減，消，，所以有或 訓(xùn)練3.        為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，某地區(qū)規(guī)定：如果每戶居民一個(gè)月的用電量不超過度時(shí)，每度電按0.40元交費(fèi)；如果每戶居民一個(gè)月的用電量超出度時(shí)，則該戶居民的電費(fèi)將使用二級(jí)電費(fèi)計(jì)費(fèi)方式，即其中有度仍按每度電0.40元交費(fèi)，超出a度部分則按每度電元交費(fèi)．下表是該地區(qū)一戶居民10月份、11月份的用電情況．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求在該地區(qū)規(guī)定的電費(fèi)計(jì)費(fèi)方式中，度用電量為多少？                  （西城期末）月份用電量所交電費(fèi)總數(shù)（元）10月803211月10042 【解析】       因?yàn)?/span>，，所以 . 由題意得　. 去分母，得 .整理，得 .解得  ，. 因?yàn)?/span>  ，所以  不合題意，舍去.所以  ．答：在該地區(qū)規(guī)定的電費(fèi)計(jì)費(fèi)方式中，a度用電量為90度.  訓(xùn)練4.        ⑴兩個(gè)相鄰的自然數(shù)的平方和比這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)的2倍大51，試求這兩個(gè)自然數(shù)．⑵某兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為5，把這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的乘積為736，求原來的兩位數(shù)．【解析】       ⑴設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)分別為．根據(jù)題意得解得：（舍）所以這兩個(gè)自然數(shù)為5和6⑵設(shè)這個(gè)數(shù)為，新的數(shù)為根據(jù)題意得：解得所以這個(gè)兩位數(shù)為23或32
  知識(shí)模塊一  根與系數(shù)的關(guān)系  鞏固練習(xí) 【練習(xí)1】   ⑴方程的兩個(gè)解分別為、，則的值為（     ）  A．         B．          C．7          D．3 ⑵設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為__________________．                                  【解析】       ⑴D；⑵7．  【練習(xí)2】   已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，求的值．【解析】       因?yàn)?/span>是方程的根，所以，即．，．同理．所以．  【練習(xí)3】   已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于6，求的值．【解析】       設(shè)方程的兩個(gè)根為，，則，．∵，∴．∴．解得，．又．當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意．舍去．當(dāng)時(shí)，，所以，即為所求．    題型二  一元二次方程的應(yīng)用問題  鞏固練習(xí) 【練習(xí)4】   某市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少．【解析】       設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，則，即，解得（舍去），答：這種藥品平均每次降價(jià)20%． 【練習(xí)5】   一條長(zhǎng)64m的鐵絲被剪成兩段，每段均折成一個(gè)正方形，若兩個(gè)正方形的面積和等于，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，【解析】       設(shè)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．∴，整理，得，解得，則或．答：這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為4cm，12cm．