2021-2022學(xué)年蘇教版初二數(shù)學(xué)下冊專項(xiàng)練習(xí)第6講.平移和幾何最值問題（含答案）

這是一份2021-2022學(xué)年蘇教版初二數(shù)學(xué)下冊專項(xiàng)練習(xí)第6講.平移和幾何最值問題（含答案），共17頁。
                   “最值”動物  題型切片（三個）對應(yīng)題目題型目標(biāo)平移例1，例2，練習(xí)1；面積例3，例4，例5，練習(xí)2，練習(xí)3最值問題例6，例7，練習(xí)4，練習(xí)5．本講內(nèi)容主要分為三個題型，題型一為平移，主要是使相等或有特殊關(guān)系的線段通過平移構(gòu)造到同一三角形或四邊形中，本題型中探討的例1主要是過中點(diǎn)平移，在本講起承上啟下的作用，既可以做上講的總結(jié)，也可以引入本講題型一；題型二的面積問題可以與多個知識點(diǎn)進(jìn)行綜合，本講的側(cè)重點(diǎn)主要在于思路導(dǎo)航中的幾組面積之間的等量關(guān)系，題目較為靈活，綜合性強(qiáng)；最后是題型三——最值問題，主要是“將軍飲馬”模型在四邊形部分的應(yīng)用，同學(xué)們做起這部分題應(yīng)該有一種得心應(yīng)手的感覺，題目難度不大，主要在立體圖形展開圖部分，老師需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)要注意分類討論．本講的最后一部分是2013年清華附中期末考試真題，本題實(shí)質(zhì)為尋找三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，而找費(fèi)馬點(diǎn)的過程即為旋轉(zhuǎn)的過程，其旋轉(zhuǎn)角為60°，而60°旋轉(zhuǎn)不論是在三角形還是四邊形中都為?？純?nèi)容，需要同學(xué)們熟練掌握．此題在題干部分已提示作法，并通過⑴⑵兩問進(jìn)行了逐步引導(dǎo)，具有很強(qiáng)的可操作性和訓(xùn)練價值．
  若，并相交，平移與共頂點(diǎn)，會出現(xiàn)平行四邊形和等腰；若，無交點(diǎn)，平移與共頂點(diǎn)，同樣會產(chǎn)生平行四邊形和等腰． 【引例】       如圖所示，為等邊三角形，是內(nèi)任一點(diǎn)，，，，若的周長為12，則等于多少？【解析】       過F作，過D作∵，，∴四邊形FPEN和四邊形MDPF是平行四邊形∵△ABC是等邊三角形∴∴△AFN和△MBD是等邊三角形∴PF=MD=MB,PE=FN=AF,PD=FM     ∵等邊周長為12∴PF+PD+PE=BM+MF+AF=AB=4  【鋪墊】       在中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．如圖1，若在邊上，此時，可得結(jié)論：⑴ 當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，如圖2，上述結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論并證明．⑵ 當(dāng)點(diǎn)在外部，如圖3， 題中的結(jié)論還成立嗎？直接寫出你的結(jié)論，不用證明．【解析】       ⑴結(jié)論不變，仍為⑵ 結(jié)論變化了，為兩問均可過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得到平行四邊形和等腰△．   【例1】         如圖，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在平面上移動，始終保持EF∥AB，線段CF的中點(diǎn)為M，DH的中點(diǎn)為N，則線段MN的長為(    )A．     B．     C．     D．（2013年八中期中）..【解析】如圖，B 【例2】         一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形． 請解答下列問題：⑴ 寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；⑵ 探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．                            （北京中考）【解析】       ⑴ 矩形或正方形或等腰梯形．         ⑵ 結(jié)論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長．已知：四邊形中，對角線、交于點(diǎn)，，且求證：．證明：過點(diǎn)作，在上截取，使，連接、．故，四邊形是平行四邊形．所以是等邊三角形，．所以．①當(dāng)與不在同一條直線上時（如圖1），在中，有．所以．②當(dāng)與在同一條直線上時（如圖2），則．因此．綜合①、②，得．即等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長．   【探究】平移的輔助線構(gòu)造方法【探究一】平移共端點(diǎn)1. 兩線段相交有交點(diǎn)【變式1】如圖，，，，，則線段的長為       ．【解析】如圖，3．2. 兩線段相交無交點(diǎn)【變式2】如圖，，，，，則線段的長為       ． 【解析】如圖，．3. 過中點(diǎn)平移如例1 【探究二】平移使重合1. 平行【變式3】已知平行四邊形對角線上有點(diǎn)，連接、，且，求證：平行四邊形是菱形．【解析】如圖，四邊形為等腰梯形，對角線相等可得． 2. 共線【變式4】在凸四邊形ABCD中，∠BAD + ∠CBA ≤ 180°，點(diǎn)E、F為邊CD上的兩點(diǎn)，且DE = FC．求證：AD + BC ≤ AE + BF．【解析】 利用平移，如圖(1)，將△ADE沿著DC的方向平移，使得DE和FC重合得到△GFC，故AD + BC = GF + BC，AE + BF = GC + BF，可證AD + BC ≤ AE + BF .    上圖中的面積關(guān)系依次是：；；；；；  【例3】         ⑴如圖，、、三點(diǎn)共線，分別以、為邊向直線同側(cè)作正方形和，若AB=a，BC=b，則△ADF的面積        ．                  （十一學(xué)校期中）⑵如圖，在矩形中，過上一點(diǎn)分別作矩形兩邊的平行線和，那么圖中矩形的面積，矩形的面積         ．   【解析】       ⑴ 連接，可知，∴⑵∵，，，∴．【例4】         如圖，矩形內(nèi)有一點(diǎn)． 求證：⑴ ；⑵ ．【解析】       ⑴ 如圖1，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、．，同理可證． ⑵ 方法一：如圖1，在、、、中，，，∵，，∴．方法二：如圖2，過點(diǎn)作且，連接、．可知四邊形、是平行四邊形∴，，∵∴利用任意對角線垂直的四邊形的對邊平方和相等的結(jié)論可得，即． 【備選】如圖，當(dāng)點(diǎn)在矩形外時，S△BPC、S△PAD、S△PAB、S△PCD有什么關(guān)系？AP2、CP2、BP2、DP2 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解析】       ，，證明方法同例題4 【例5】         正方形ABCD邊長為2，若P為BC邊上任意一動點(diǎn)（可與B、C重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為F、G、E，請求出DE+CG+BF的最值，并說明理由．  【解析】      ，，∵，∴．  最值問題主要是利用三大變換實(shí)現(xiàn)線段的集散，解題核心思想：①兩點(diǎn)之間線段最短；②點(diǎn)到直線之間垂線段最短；③三角形兩邊之和大于第三邊．  【例6】         ⑴ 如圖1所示，正方形的面積為，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個最小值為（     ） A．        B．        C．         D．⑵ 如圖2，邊長為6的菱形中，，、分別為、邊上的動點(diǎn)，則的最小值為     ．                         （人大附期中）⑶ 如圖3，長方體的長為，寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（    ）A．       B．       C．       D．          圖1                                圖2                       圖3 【解析】       ⑴  A．分析：．⑵ ，如圖，將點(diǎn)對稱到點(diǎn)，過點(diǎn)作垂線，垂足即為，     交于點(diǎn)．．⑶ 先把問題轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)間線段最短問題．故需要把長方體的表面展開，有三種可能：①       按右上展開②       按右前展開③       按后上展開．綜上，選B． 【例7】         如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．⑴證明：⑵當(dāng)點(diǎn)在何處時，的值最小，并說明理由；⑶當(dāng)的最小值為時，則正方形的邊長為        ．(2013清華附期末)【解析】       ⑴∵是等邊三角形，∴，.∵，∴，即.又∵，∴（SAS）⑵如圖，連接，當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時，的值最小．理由如下：連接，由⑴知，，∴.∵，，∴是等邊三角形，∴.∴根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得最短∴當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時，的值最小，即等于的長⑶正方形的邊長為   過點(diǎn)作交的延長線于，∴90°－60°＝30°.設(shè)正方形的邊長為，則，.在中，∵，∴ 解得，（舍去負(fù)值）.∴正方形的邊長為 【分析】本題實(shí)質(zhì)為尋找三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，而找費(fèi)馬點(diǎn)的過程即為旋轉(zhuǎn)的過程，其旋轉(zhuǎn)角為60°，而60°旋轉(zhuǎn)不論是在三角形還是四邊形中都為常考內(nèi)容，需要同學(xué)們熟練掌握．此題在題干部分已提示作法，并通過⑴⑵兩問進(jìn)行了逐步引導(dǎo)，具有很強(qiáng)的可操作性和訓(xùn)練價值，程度好的班級可適當(dāng)拓展費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)知識點(diǎn)．
 訓(xùn)練1.        如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，在上，且，與相交于．求證：． 【分析】       由45°角想到等腰直角三角形，所以平移使其過點(diǎn)或點(diǎn)，或者平移使其過點(diǎn)或點(diǎn)，將離散的線段集中在特殊三角形中，就能解決問題． 【解析】       方法一：如圖1，分別過、作、的平行線相交于點(diǎn)，連接，可得到弦圖模型的全等、平行四邊形以及等腰直角三角形，從而可證方法二：如圖2，分別過點(diǎn)、點(diǎn)作平行線，可得、平行四邊形、等腰直角三角形．從而可證．方法三四：如圖3，4，分別過、點(diǎn)作平行線．從而可證． 訓(xùn)練2.        已知：如圖1，為邊長為2的等邊三角形，、、分別為、、中點(diǎn)，連接、、．將向右平移，使點(diǎn)與點(diǎn)重合；將向下平移，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖2．⑴設(shè)、、的面積分別為、、，則      （用“、、”填空）⑵已知：如圖3，，，設(shè)、、的面積分別為、、；問：上述結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【解析】       ⑴ ．⑵ 結(jié)論成立．證明：如圖，延長到使，延長到使，連接．∵，，，∴是等邊三角形．∵，∴．在上取點(diǎn)，使．∵，，∴．在和中，∴．同理可證：，∴，．由圖形可知：，∴，即． 訓(xùn)練3.        如圖，中，，、是、上的點(diǎn)且．求證：．【分析】       方法一：通過構(gòu)造平行四邊形把和平移成共頂點(diǎn)的線段（如上圖，作中位線，利用斜邊大于直角邊）．方法二：通過構(gòu)造平行四邊形平移，使得和共頂點(diǎn)．【解析】       下面寫出方法二的解析：（如下圖2） 過點(diǎn)作，且，連接、．∴，又∵∴∴    ∴即，當(dāng)且僅當(dāng)為的中位線時，取到等號．另外，此題還可以如圖1，3，4那樣平移，每次均產(chǎn)生一個平行四邊形、一對全等三角形，和一個新的等腰三角形．訓(xùn)練4.        如圖⑴，四邊形中，若，則必然等于．請運(yùn)用結(jié)論證明下述問題：如圖⑵，在平行四邊形中取一點(diǎn)，使得，求證：．           【分析】       此題為信息題，難點(diǎn)在于如何理解已知條件，經(jīng)觀察我們發(fā)現(xiàn)，若和，位置為時可得出和相等（本質(zhì)為四點(diǎn)共圓）．圖⑵中，與關(guān)系并不像條件所示，因此，需要改變角位置，而這點(diǎn)可以通過構(gòu)造平行四邊形來解決．而構(gòu)造平行四邊形，恰可以達(dá)到改變角位置作用，為使與成形，我們可有如下四種方法．【解析】       分別過點(diǎn)、作，，交于點(diǎn)，連接．∵， ∴，，，∵，     ∴，∴四邊形為平行四邊形     ∴∵       ∴≌∴在四邊形中，∴     ∴  
題型一   平移 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】如圖，將一塊斜邊長為12cm，的直角三角板，繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到的位置，再沿    向右平移，使點(diǎn)剛好落在斜邊上，那么此三角板向右平移的距離為__________．【解析】         ． 題型二   面積 鞏固練習(xí) 【練習(xí)2】如圖，□ABCD中，、交于點(diǎn)，作□，連結(jié)交于點(diǎn)，作□，連結(jié)交于點(diǎn)，……，以此類推．若，，，則□的面積是               ．（2013人大附期中）【解析】        【練習(xí)3】⑴如圖1，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，CH⊥BD于點(diǎn)H，試證明CH=EF+EG；⑵若點(diǎn)E在BC的延長線上，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC的延長線于點(diǎn)G，CH⊥BD于點(diǎn)H，則EF、EG、ＣH三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；                           圖1【解析】       ⑴證明：過E點(diǎn)作EN⊥CH于N． ∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四邊形EFHN是矩形．∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC． ∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB． ∴∠NEC =∠ACB．∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，又EC=EC，∴△EGC≌△CNE．∴EG=CN． ∴CH=CN+NH=EG+EF   ⑵ 猜想． 題型三   最值問題 鞏固練習(xí)【練習(xí)4】如圖，長方體的邊長為2，寬為，高為，螞蟻從點(diǎn)A沿著正方體的表面爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是       ． （假設(shè)下面能爬） 【解析】       前上（后下）兩面展開的最短距離一樣；前右（后左）兩面展開的最短距離一樣；下右（上左）兩面展開的最短距離一樣．綜上，最短距離為． 【練習(xí)5】如圖，，點(diǎn)位于內(nèi)，，點(diǎn)、分別是射線、上的動點(diǎn)，求的最小周長．            【解析】       分別作點(diǎn)關(guān)于、的對稱點(diǎn)、，連接、、，顯然的周長，由兩點(diǎn)間線段最短，，故的最小周長為，∵，，∴是等邊三角形，∴．