線段和(差)的最值問題的理論根據(jù)：1.兩點之間線段最短；2.垂線段最短；最值問題處理思路1.分析定點、動點，尋找不變特征；2.確定路徑：通過起點、終點、特殊點猜測運動路徑,并結(jié)合不變特征進行驗證；3.若屬于常見模型、結(jié)構(gòu),調(diào)用模型、結(jié)構(gòu)解決問題；若不屬于常見模型，要結(jié)合所求目標,根據(jù)不變特征轉(zhuǎn)化為基本定理或表達為函數(shù)解決問題。4.設計方案,求出路徑長。
【例5】如圖,在l1上找點A,在l2上找點B,使得PA+AB的值最小.
如圖,點A、B即為所求的點.
一個定點----垂線段最短
問題：哪一種作法是正確的？
1.如圖,∠BAC=30o,M為AC上一點,AM=2,點P是AB上的一動點,PQ⊥AC,垂足為點Q,則PM+PQ的最小值為_____．
1.如圖,正方形ABCD的邊長是4,∠DAC的角平分線交DC于點E,點P、Q分別是邊AD和AE上的動點(兩動點不重合),求PQ+DQ最小值。
2.如圖,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若點M、N分別是線段AC、AB上的兩個動點,請求出BM＋MN的最小值.
無定點----垂線段最短(兩平行線間的距離)
1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90o,AC=7,BC=8,點F在邊AC上,并且CF=2,點E為邊BC上的動點,△CEF沿直線EF翻折,點C落在點P處,則點P到邊AB距離的最小值是？
【簡答】E是動點,導致EF、EC、EP都在變化,但FP=FC=2不變,∴P在⊙F上運動,如圖.由垂線段最短可知,FH⊥AB時,FH最短,當F,P,H三點共線時,PH最短,∵△AFH∽△ABC,∴AF:FH:AH=5:4:3,又∵AF=5,故FH=4,又∵FP=2,故PH最短為2.
【例2】如圖,已知正方形ABCD,點E為正方形ABCD外一點,AE= ,DE=1,求線段CE的最大值？
解：將△EDC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90o至△HDA,則有： △EDC≌△HDA,CE=AH,DE=DH,∠EDH=90o, ∵在等腰直角△EDH中, ∴EH=√2DE=√2。 ∴AH≤AE+EH=2√2+√2=3√2, 又∵CE=AH, ∴CE≤3√2.
兩個定點----兩點之間線段最短
2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=3,△ACD為等邊三角形,則BD的最大值為____.

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