2022年蘇教版中考數(shù)學(xué)壓軸題經(jīng)典模型教案專題05 倍長中線模型-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題5倍長中線模型
經(jīng)典例題

【例1】問題提出
（1）如圖，是的中線，則__________；（填“”“”或“”）

問題探究
（2）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的長；

問題解決
（3）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，是否存在這樣的點(diǎn)，使折線的長度最??？若存在，請確定點(diǎn)的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．

【例2】如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點(diǎn)，AF平分∠EAD，交CD于點(diǎn)F．
(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的條件下，求的值；
(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H，連接HG，當(dāng)CG=DF時(shí)，求證：HG⊥AG．

【例3】．將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起，，連接．
（1）如圖1,若三點(diǎn)在同一條直線上，則與的關(guān)系是；

（2）如圖2，若三點(diǎn)不在同一條直線上,與相交于點(diǎn)，連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（3）如圖3，在(2)的條件下作的中點(diǎn),連接，直接寫出與之間的關(guān)系．
【例4】（1）閱讀理解：
如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
可以用如下方法：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；
（2）問題解決：
如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

培優(yōu)訓(xùn)練

一、解答題
1．已知中，
（1）如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．
（2）如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．
（3）如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，，點(diǎn)M在的延長線上，連交的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．

2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．
（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）

3．已知：等腰和等腰中，，，．

（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；
（2）如圖2，連接、，延長交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；
（3）如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．
4．在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．
（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．

（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．

（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．

5．課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問題：
如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，求的取值范圍．

（1）小明的想法是，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；
（2）請按照上述提示，解決下面問題：
在等腰中，，，點(diǎn)邊延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)，連接，求證．

6．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），

①延長AD到M，使得DM＝AD；
②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；
③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是　；
方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．
（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
7．問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　（用字母表示）；
問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；

拓展應(yīng)用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．當(dāng)AM＝3時(shí)，求DE的長．
8．如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PA∥ON交OM于點(diǎn)A，PB∥OM交ON于點(diǎn)B（PA≥PB），在線段OB上取一點(diǎn)C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點(diǎn)E，延長CD交PB于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形AOBP是正方形時(shí)，求證：DF＝PF；
（2）如圖2，當(dāng)C為OB中點(diǎn)時(shí)，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點(diǎn)H，設(shè)OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．

9．（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是　 ??；
（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；
（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．

10．（1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E，使DE ＝ AD，連接BE．利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；
（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；
（3）問題拓展：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關(guān)系，并說明理由．

11．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，BD交CE于點(diǎn)P．
（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；
（2）點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，連接PA，PM，延長BP到點(diǎn)F，使PF＝PC，連接CF，
①如圖2，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是　 ?。?br /> ②如圖3，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．

12．（閱讀）婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線平分對邊．
證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；
（思考）命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為　 ?。ㄌ睢罢婷}”，“假命題”）；
（探究）（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長．

13．（1）方法呈現(xiàn)：
如圖①：在中，若，，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應(yīng)用：
如圖②，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

14．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．
①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；
②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．
（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．

15．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．
（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；

（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；

（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

16．在與中，，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；
（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與是否仍有具有（1）中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；
（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．
17．閱讀理解：

（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．
（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．
（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長至，使得，求證：．
18．已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．

（1）如圖1，①若，請直接寫出______；
②連接，若，求證：；
（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
19．在等腰和等腰中，，連為中點(diǎn)，連．

（1）如圖1，請寫出與的關(guān)系，并說明理由；
（2）將圖1中的旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．
20．請閱讀下列材料：
問題：在四邊形ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且∠AMD=90°
（1）如圖1，若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系；
小雪同學(xué)的思路是：延長DM至E使DM=ME，連接AE，BE，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請你參考小雪的思路，在圖1中把圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出上面問題AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系：
（2）如圖2，若在原條件的基礎(chǔ)上，增加AM平分∠BAD，（1）中結(jié)論還成立嗎？若不成立，寫出AB+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

21．閱讀材料，解答下列問題．
如圖1，已知△ABC中，AD 為中線．延長AD至點(diǎn)E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進(jìn)一步可得到AC=BE，AC//BE等結(jié)論．

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．
解決問題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連結(jié)并延長BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．
22．如圖1，已知正方形和等腰，，，是線段上一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接、．

（1）探究與的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，將圖1中的等腰繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若，求的最小值．

【壓軸必刷】2022中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題5倍長中線模型
經(jīng)典例題

【例1】問題提出
（1）如圖，是的中線，則__________；（填“”“”或“”）

問題探究
（2）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求的長；

問題解決
（3）如圖，在矩形中，，點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，是否存在這樣的點(diǎn)，使折線的長度最??？若存在，請確定點(diǎn)的位置，并求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）＞；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，折線的長度最小，最小長度為4．
【分析】
（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得；
（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，從而可得AE的長，再根據(jù)三角形的周長公式、兩點(diǎn)之間線段最短得出的周長最小時(shí)，點(diǎn)F的位置，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；
（3）如圖（見解析），先根據(jù)軸對稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出折線的長度最小時(shí)，四點(diǎn)共線，再利用直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)得出，，，然后利用軸對稱的性質(zhì)、角的和差可得，，由此利用勾股定理可求出的長，即折線的最小長度；設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得折線的長度最小時(shí)，點(diǎn)Q的位置．
【解析】
（1）如圖，延長AD，使得，連接CE
是的中線

在和中，

在中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，即

故答案為：；

（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接FG，則
四邊形ABCD是矩形，

垂直平分

點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

，，
則的周長為
要使的周長最小，只需
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值

∴
∴，即
解得；

（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則
∴折線的長度為
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)四點(diǎn)共線時(shí)，折線取得最小長度為
∵在矩形中，
∴，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)
∴
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱
∴，
，
∴

設(shè)交于點(diǎn)
在中，
∴
，即
又∵
∴是等邊三角形
∴
∵

∴點(diǎn)與的中點(diǎn)重合
綜上，當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，折線的長度最小，最小長度為4．

【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），利用軸對稱的性質(zhì)正確找出折線的最小長度是解題關(guān)鍵．
【例2】如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點(diǎn)，AF平分∠EAD，交CD于點(diǎn)F．
(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；
(2)在(1)的條件下，求的值；
(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H，連接HG，當(dāng)CG=DF時(shí)，求證：HG⊥AG．

【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析
【分析】
（1）延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G，利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD＝CG，據(jù)此知CG＝BC＝BE＋CE，根據(jù)EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得證；
（2）設(shè)CE＝a，BE＝b，則AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，據(jù)此可得答案；
（3）連接DG，證△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再證△AFH∽△DFG得，結(jié)合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，從而得出∠ADF＝∠FGH，根據(jù)∠ADF＝90°即可得證．
【解析】
解：(1)如圖1，延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G，

∵AD∥CG，
∴∠DAF=∠G，
又∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴EA=EG，
∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，
∴CF=DF，
又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G，
∴△ADF≌△GCF(AAS)，
∴AD=CG，
∴CG=BC=BE+CE，
∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；
(2)設(shè)CE=a，BE=b，則AE=2a+b，AB=a+b，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2，
解得b=3a，b=﹣a(舍)，
∴；
(3)如圖2，連接DG，

∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG，
∴△ADF≌△DCG(SAS)，
∴∠CDG=∠DAF，
∴∠HAF=∠FDG，
又∵∠AFH=∠DFG，
∴△AFH∽△DFG，
∴，
又∵∠AFD=∠HFG，
∴△ADF∽△HGF，
∴∠ADF=∠FGH，
∵∠ADF=90°，
∴∠FGH=90°，
∴AG⊥GH．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
【例3】．將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起，，連接．
（1）如圖1,若三點(diǎn)在同一條直線上，則與的關(guān)系是；

（2）如圖2，若三點(diǎn)不在同一條直線上,與相交于點(diǎn)，連接,猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（3）如圖3，在(2)的條件下作的中點(diǎn),連接，直接寫出與之間的關(guān)系．
【答案】（1）且；（2）；證明見解析；（3）且．
【分析】
（1）根據(jù)題意利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及延長AC交BD于點(diǎn)C’進(jìn)行角的等量代換進(jìn)行分析即可；
（2）根據(jù)題意在上截取,連接，并全等三角形的判定證明和，進(jìn)而利用勾股定理得出進(jìn)行分析求解即可；
（3）過點(diǎn)B作BM∥OC，交OF的延長線于點(diǎn)M，延長FO交AD于點(diǎn)N，證明?BFM??CFO，?AOD??OBM，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
【解析】
解：∵，
∴，
延長AC交BD于點(diǎn)C’，如下圖：

∵，
∴，
即，綜上且，
故答案為：且；

證明:在上截取,連接

在和中

在和中

即

；
且，理由如下：
過點(diǎn)B作BM∥OC，交OF的延長線于點(diǎn)M，延長FO交AD于點(diǎn)N，
∵BM∥OC，
∴∠M=∠FOC，
∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,
∴?BFM??CFO（AAS），
∴OF=MF，BM=CO，
∵DO=CO，
∴DO=BM，
∵BM∥OC，
∴∠OBM+∠BOC=180°，
∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∴∠OBM=∠AOD，
又∵AO=BO，
∴?AOD??OBM（SAS），
∴AD=OM=2OF ，∠BOM=∠OAD，
∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，
∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．
∴且．
【點(diǎn)睛】
本題考查等腰直角三角形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【例4】（1）閱讀理解：
如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
可以用如下方法：將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；
（2）問題解決：
如圖②，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交、于、兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）；（2）見詳解；（3），理由見詳解
【分析】
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，，在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案；
（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，可得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出，利用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）延長AB至N，使BN=DF，連接CN，可得，證明，得出，利用角的和差關(guān)系可推出，再證明，得出，即可得出結(jié)論．
【解析】
解：（1）∵
∴
∴
在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出：
，即
∴
故答案為：；
（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，

同（1）可得出，
∵
∴
在中，
∴；
（3），理由如下：
延長AB至N，使BN=DF，連接CN，

∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴（SAS）
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、角的和差等，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出與圖①中結(jié)構(gòu)相關(guān)的圖形．此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)
培優(yōu)訓(xùn)練

一、解答題
1．已知中，
（1）如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．
（2）如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．
（3）如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，，點(diǎn)M在的延長線上，連交的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析
【分析】
（1）通過證明，即可求解；
（2）過點(diǎn)A引交于點(diǎn)F，通過得到，再通過即可求解；
（3）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明、，即可解決．
【解析】
證明：（1）
由題意可得：
在和中

∴
∴
（2）過點(diǎn)A引交于點(diǎn)F，如下圖：

由題意可得：，且
則
又∵
∴平分，
∴
∴在和中

∴
∴
在和中

∴
∴
（3）證明：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，如下圖：

∵
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【點(diǎn)睛】
本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
2．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；
（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．
（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）

【答案】（1）17；（2）見解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【分析】
（1）根據(jù)SAS證明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的長；
（2）延長EF到點(diǎn)G，使FG＝FE，連接BG，證明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，從而證得結(jié)論；
（3）延長AE、BM交于點(diǎn)C，作MH⊥AC于點(diǎn)H，作MF⊥BG于點(diǎn)F，證明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再證明∠AME＝∠1，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可推導(dǎo)出∠3＝2∠1+∠2．
【解析】
解：（1）如圖1，∵AM⊥BM，

∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC＝BD＝17．
（2）證明：如圖2，延長EF到點(diǎn)G，使FG＝FE，連接BG，

∵F為BC中點(diǎn)，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，
∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如圖3，延長AE、BM交于點(diǎn)C，作MH⊥AC于點(diǎn)H，作MF⊥BG于點(diǎn)F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，
∴△BFM≌△AHM（AAS），
∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），
∵∠FEH＝90°，
∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，
∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），
∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，
∴∠3＝2∠1+∠2．

【點(diǎn)睛】
此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，證明三角形全等．
3．已知：等腰和等腰中，，，．

（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；
（2）如圖2，連接、，延長交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；
（3）如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）
【分析】
（1）由已知條件可得，對頂角，則，根據(jù)即可的；
（2）過點(diǎn)作的垂線交的延長線于,證明，得,進(jìn)而可得，再證明即可得證點(diǎn)為中點(diǎn)；
（3）延長至，使得，連接，設(shè)交于點(diǎn)，先證明，進(jìn)而證明，根據(jù)角度的計(jì)算以及三角形內(nèi)角和定理求得，進(jìn)而證明，再根據(jù),證明，根據(jù)已知條件求得最后證明即可．
【解析】
（1）設(shè)交于，如圖1，

是等腰和是等腰

即

故答案為
（2）如圖2，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于,

是等腰和是等腰

又

又

即是的中點(diǎn)
（3）延長至，使得，連接，設(shè)交于點(diǎn)，如圖

即

是等腰和是等腰

在與中，

（SAS）
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)

，
（SAS）

（SAS）
，

即
，

【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．
（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．

（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．

（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或
【分析】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證得再根據(jù)，即可得到，得到．
（2）延長與的延長線相交于點(diǎn)．證明，推出，求出的面積即可解決問題．
（3）位置關(guān)系的證明比較簡單，數(shù)量關(guān)系分四種情形：當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，畫出對應(yīng)的圖形，利用三角形和梯形的面積公式分別證明即可解決問題．
【解析】
（1）證明：如圖1，

直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
，
，
，
又為邊中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如圖2，延長與的延長線相交于點(diǎn)，

直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
，
，
，
，
又為中點(diǎn)，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，，
∵，，
，
，
，
，
，
．
（3）位置關(guān)系：，
數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論
∵直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
∴，
①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，

由（1）可知，
，
即，
，
，
，
∵，
．
②當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，
如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．

直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
，
，
，
又為邊中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
．
，
即，
，
，
，
∵，
．
③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)．

由（2）得：，
，，
∴，
即，
．
④當(dāng)直線與線段的延長線交于一點(diǎn)時(shí)，
如圖，延長交的延長線于點(diǎn)．

直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，
，
，
，
，
又為中點(diǎn)，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，
∴，
即，
．
綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．
【點(diǎn)睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，以及三角形和梯形的面積公式的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)．
5．課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問題：
如圖1，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，求的取值范圍．

（1）小明的想法是，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；
（2）請按照上述提示，解決下面問題：
在等腰中，，，點(diǎn)邊延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)，連接，求證．

【答案】（1）；（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)已知證明，進(jìn)而求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得的取值范圍；
（2）過點(diǎn)作交的延長線于，證明，得，再證明，進(jìn)而證明，即可證明
【解析】
（1）

，即

（2）如圖，過點(diǎn)作交的延長線于，

,,
,
,

即

，

又,

【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），

①延長AD到M，使得DM＝AD；
②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；
③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是　；
方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．
（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；（3）EF＝2AD，證明見解析．
【分析】
（1）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據(jù)AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可求的；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進(jìn)而可知AC∥BM；
（3）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）（2）的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進(jìn)而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系．
【解析】
（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案為：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，

由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．
7．問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　（用字母表示）；
問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；

拓展應(yīng)用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．當(dāng)AM＝3時(shí)，求DE的長．
【答案】問題背景： SAS；問題解決：完整過程見解析；拓展應(yīng)用： DE＝6．
【分析】
問題背景：先判斷出BD=CD，由對頂角相等∠BDE=∠CDA，進(jìn)而得出△ADC≌△EDB（SAS）；
問題解決：先證明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；
拓展應(yīng)用：如圖2，延長AM到N，使得MN=AM，連接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），則BN=AC，進(jìn)而判斷出∠ABN=∠EAD，進(jìn)而判斷出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．
【解析】
問題背景：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，

∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案為：SAS；
問題解決：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝AE，
∴＜AD＜；
拓展應(yīng)用：如圖2，延長AM到N，使得MN＝AM，連接BN，

由問題背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∴AC//BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC//BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵M(jìn)N＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．
【點(diǎn)睛】
此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，掌握倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
8．如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PA∥ON交OM于點(diǎn)A，PB∥OM交ON于點(diǎn)B（PA≥PB），在線段OB上取一點(diǎn)C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點(diǎn)E，延長CD交PB于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形AOBP是正方形時(shí)，求證：DF＝PF；
（2）如圖2，當(dāng)C為OB中點(diǎn)時(shí)，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點(diǎn)H，設(shè)OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）
【分析】
（1）連接AF，根據(jù)HL證Rt△ADF≌△APF即可證明DF=PF；
（2）延長AC、BF交于點(diǎn)G，根據(jù)AAS證△AOC≌△GBC，即可證明BE=DE，又因?yàn)锳D=AO，所以可得AE=AO+BE；
（3）證△ACE是等腰直角三角形，結(jié)合（2）的結(jié)論證明：即可得出△CDH的底和高，進(jìn)而求出面積．
【解析】
解：（1）如圖1，連接AF，

∵四邊形AOBP是正方形，△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD=AP，

在Rt△ADF和Rt△APF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△APF（HL），
∴DF=PF；
（2）AE=AO+BE，理由如下：如圖2，延長AC、BF交于點(diǎn)G，連接

∵C為OB中點(diǎn)， ∴OC=BC，
∵AO∥BP，
∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，
在△△AOC和△GBC中，
，
∴△AOC≌△GBC（AAS），
∴BG=AO，
∵△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，
∴AD=BG，∠CAE=∠G，
∴△AEG為等腰三角形，
∴AE=EG，

∵，
∴AE=AO+BE；
（3） ∵AO∥PB，
∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，
∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，
∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，
∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，
又∵∠OAC=∠CAE，由（2）知∠AEC=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH=∠CAE=∠CEA=45°，即△ACE是等腰直角三角形，
CH平分∠ACE，

如圖3，由（2）知：

∵OA=a，BE=b，

【點(diǎn)睛】
本題主要考查平形線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練應(yīng)用輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是　 ??；
（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；
（3）綜合應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）1＜AD＜6；（2）見解析；（3）結(jié)論：EF＝BE﹣FD，證明見解析．
【分析】
（1）先證明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；
（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．再證明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再證明EF＝FH，利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結(jié)論：EF＝BE﹣DF．
【解析】
（1）解：如圖1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案為1＜AD＜6．
（2）證明：如圖2中，延長ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）結(jié)論：EF＝BE﹣FD
證明：如圖3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握倍長中線、構(gòu)造全等三角形成為本題的關(guān)鍵．
10．（1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E，使DE ＝ AD，連接BE．利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；
（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；
（3）問題拓展：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）SAS，＜AD＜；（2）見解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由見解析
【分析】
（1）閱讀理解：由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．
（2）問題解決：延長ND至點(diǎn)F，使FD=ND，連接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性質(zhì)得出BF=CN，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．
（3）問題拓展：延長AD至E，使DE=AD，連接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠E，AB=CE，證出∠ACE=∠MAN，證明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，則2AD=MN．延長DA交MN于G，證出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可．
【解析】
解：（1）閱讀理解：如圖1中，∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE=AC=8，
在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE-AB＜AE＜BE+AB，
∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，
∴＜AD＜，
故答案為：SAS，＜AD＜；
（2）問題解決：證明：如圖2中，延長ND至點(diǎn)F，使FD=ND，連接BF、MF，

同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF=CN，
∵DM⊥DN，F(xiàn)D=ND，
∴MF=MN，
在△BFM中，由三角形的三邊關(guān)系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．
（3）問題拓展：解：結(jié)論：2AD=MN，AD⊥MN．
理由：如圖3中，延長AD至E，使DE=AD，連接CE，延長DA交MN于G．

由（1）得：△BAD≌△CED，
∴∠BAD=∠E，AB=CE，
∵∠BAM=∠NAC=90°，
∴∠BAC+∠MAN=180°，
即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，
∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，
∴∠ACE=∠MAN，
∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，
∴AB=MA，AC=AN，
∴CE=MA，
∴△ACE≌△NAM（SAS），
∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，
∴2AD=MN．
∵∠NAC=90°，
∴∠EAC+∠NAG=90°，
∴∠MNA+∠NAG=90°，
∴∠AGN=90°，
∴AD⊥MN．
【點(diǎn)睛】
此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；正確作出輔助線并證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
11．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，BD交CE于點(diǎn)P．
（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；
（2）點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，連接PA，PM，延長BP到點(diǎn)F，使PF＝PC，連接CF，
①如圖2，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是　 ?。?br /> ②如圖3，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）①AP＝2PM；②成立，證明見解析
【分析】
（1）由“SAS”可證△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算，得出結(jié)論；
（2）①由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，證出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延長PM＝MH，連接CH，由“SAS”可證△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可證△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可證△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．
【解析】
（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，
∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；
（2）①解：AP＝2PM，
理由如下：∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵AM⊥BC，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，
∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC，
∴AP＝2PM，
故答案為：AP＝2PM；
②解：①中的結(jié)論成立，
理由如下：延長PM至H，是MH＝PM，連接AF、CH，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPF＝60°，
∵PF＝PC，
∴△PCF為等邊三角形，
∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，
∴∠BCP＝∠ACF，
在△BCP和△ACF中，
，
∴△BCP≌△ACF（SAS），
∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＝60°，
在△CMH和△BMP中，
，
∴△CMH≌△BMP（SAS），
∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，
∴CH∥BP，
∴∠HCP+∠BPC＝180°，
∴∠HCP＝60°＝∠AFP，
在△AFP和△HCP中，
，
∴△AFP≌△HCP（SAS），
∴AP＝PH＝2PM．

【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
12．（閱讀）婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點(diǎn)的直線平分對邊．
證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；
（思考）命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為　 ?。ㄌ睢罢婷}”，“假命題”）；
（探究）（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長．

【答案】【思考】真命題；【探究】（1）證明見解析；（2）4．
【思考】
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計(jì)算．結(jié)論可得；
（1）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，利用同角的余角相等得出和，進(jìn)而得到；再證明，結(jié)論可得；
（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，易證，得到，．再進(jìn)一步說明，可得，結(jié)論可得．
【解析】
解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．
理由如下：如下圖，

∵，為的中點(diǎn)，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
即：．
∴命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．
故答案為：真命題．
【探究】
（1）如下圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵為等腰直角三角形，
∴．
在和中，

∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，

∴．
∴．
即是的中點(diǎn)．
（2）如下圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

∵，
∴．
在和中，

∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，

∴．
在和中，

∴．
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點(diǎn)添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
13．（1）方法呈現(xiàn)：
如圖①：在中，若，，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應(yīng)用：
如圖②，在中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．
【分析】
（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；
（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；
（3）如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．
【解析】
解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案為：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
證明：延長FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CF＝AB．
如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分線，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

【點(diǎn)睛】
此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
14．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求證：AB＝CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．
①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；
②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．
（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；
【分析】
（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【解析】
（1）①如圖1，

延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如圖2，

分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如圖3，

過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，
則∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中點(diǎn)，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
15．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．
（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；

（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；

（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析
【分析】
（1）延長到點(diǎn)，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進(jìn)而得到中線的取值范圍；
（2）延長到點(diǎn)使，連接，由（1）知，則可得，由可知，，由角度關(guān)系即可推出，故，即可得到；
（3）延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到．
【解析】
（1）延長到點(diǎn)，使，連接，
∵是的中線，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）證明:延長到點(diǎn)使,連接，
由（1）知，

∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延長到，使，連接，

，
，
，
，
，
點(diǎn)在一條直線上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
16．在與中，，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；
（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，與是否仍有具有（1）中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；
（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．
【答案】（1）；（2）具有，證明見解析；（3）14或．
【分析】
（1）；當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，∠ADE=90o，點(diǎn)為的中點(diǎn)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，再證△ACE≌△BCE（SAS）利用性質(zhì)得AE=BE即可；
（2）成立（具有）延長到點(diǎn)，使，連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可知是的中位線，有結(jié)論，先證，再證，即可；
（3）分兩種情況∠BCD再BC的左邊與右邊，構(gòu)造Rt△ECH，∠HCE =60o或Rt△CGE，∠GCE=30o，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）結(jié)論即可．
【解析】
（1）當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，∠ADE=90o，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴AF=EF=FD，
∴，
∵BC=AC，∠ACB=90o，CD=DE，∠CDE=90o，
∴∠DCE=∠DEC=45o，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90o+45o=135o，
∴∠ACE=360o-∠ACB-∠BCE=360o-90o-135o =135o=∠BCE，
∵CE=CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴，
故答案為：；

（2）成立（具有）
證明：

延長到點(diǎn)，使，連接，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）14或．
過E作EH⊥BC于H，
∴在Rt△ECD中，CE=2，
∵∠BCD=105o，
∴∠HCE=105o-∠DCE=60o，
∴CH=，EH=，
∵BC=，
∴BH=BC-CH=-，
∴FD2=；

延長BC，過E作EG⊥BC于G，
∵∠BCD=105o，∠DCE=45o，
∴∠GCE=180o-∠ACD-∠DCE=30o，
∴GE=，
∴CG=，
∴
∴FD2=．

綜上所述，的值為或．
【點(diǎn)睛】
本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形中位線，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，涉及的知識(shí)多，習(xí)題難度大，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出準(zhǔn)確的圖形，畫圖時(shí)應(yīng)注意分類來畫是解題關(guān)鍵．
17．閱讀理解：

（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．
（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．
（3）問題拓展：如圖3，在中，是邊上的中點(diǎn)，延長至，使得，求證：．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．
【分析】
（1）如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，
（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點(diǎn)，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關(guān)系，
（3）如圖3，延長AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由是邊上的中點(diǎn)，得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
【解析】
（1）如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，
∵AD為中線，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，

（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，
由D為BC中點(diǎn)，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG

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