【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（理科）計(jì)數(shù)原理（精解精析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．(2021年高考全國乙卷理科)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( )
A．60種B．120種C．240種D．480種
【答案】C
解析：根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解．
2．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)的展開式中x3y3的系數(shù)為( )
A．5B．10C．15D．20
【答案】C
【解析】展開式的通項(xiàng)公式為（且）
所以的各項(xiàng)與展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：
和
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為
所以的系數(shù)為
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題．
3．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的展開式中的系數(shù)為( )
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【解析】因?yàn)椋缘南禂?shù)為，故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，是常規(guī)考法。
4．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)的展開式中的系數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故含的系數(shù)為，故選C．
5．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)展開式中的系數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】因?yàn)?則展開式中含的項(xiàng)為,展開式中含的項(xiàng)為,故前系數(shù)為,選C．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問題,第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng),分析好的項(xiàng)共有幾項(xiàng),進(jìn)行加和．這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況,尤其是兩個(gè)二項(xiàng)式展開式中的不同．
6．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的展開式中的系數(shù)為( )
A．B．C．40D．80
【答案】 C
【解析】,
由展開式的通項(xiàng)公式: 可得:
當(dāng) 時(shí), 展開式中的系數(shù)為 ,
當(dāng) 時(shí), 展開式中的系數(shù)為 ,
則的系數(shù)為．
故選C．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式
【點(diǎn)評(píng)】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng)．
(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng),可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解．
7．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有( )
A．12種B．18種C．24種D．36種
【答案】 D
【命題意圖】本題主要考查基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，以考查考生的邏輯分析能力和運(yùn)算求解能力
為主．
【解析】解法一：分組分配之分人
首先分組
將三人分成兩組，一組為三個(gè)人，有種可能，另外一組從三人在選調(diào)一人，有種可
能；
其次排序
兩組前后在排序，在對(duì)位找工作即可，有種可能；共計(jì)有36種可能．
解法二：分組分配之分工作
工作分成三份有種可能，在把三組工作分給3個(gè)人有可能，共計(jì)有36種可能．
解法三：分組分配之人與工作互動(dòng)
先讓先個(gè)人個(gè)完成一項(xiàng)工作，有種可能，剩下的一項(xiàng)工作在有3人中一人完成有
種可能，但由兩項(xiàng)工作人數(shù)相同，所以要除以，共計(jì)有36種可能．
解法四：占位法
其中必有一個(gè)完成兩項(xiàng)工作，選出此人，讓其先占位，即有中可能；剩下的兩項(xiàng)工作
由剩下的兩個(gè)人去完成，即有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能．
解法五：隔板法和環(huán)桌排列
首先讓其環(huán)桌排列，在插兩個(gè)隔板，有種可能，在分配給3人工作有種可能，按分
步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能．
【知識(shí)拓展】計(jì)數(shù)原理屬于必考考點(diǎn)，?？碱}型有1．排列組合；2．二項(xiàng)式定理，幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題，排列組合這種排序問題?？?，已經(jīng)屬于高考常態(tài)，利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)或求奇偶項(xiàng)和也已經(jīng)屬于高考常態(tài)，尤其是利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)更為突出．
8．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會(huì)合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )
( )
A．24B．18C．12D．9
【答案】B
【解析】有種走法，有種走法，由乘法原理知，共種走法
故選B．
9．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)的展開式中，的系數(shù)為( )
A．10B．20C．30D．60
【答案】C
解析：在的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選 C．
考點(diǎn)：本題主要考查利用排列組合知識(shí)計(jì)算二項(xiàng)式展開式某一項(xiàng)的系數(shù)．
【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)問題，先分析該項(xiàng)的構(gòu)成，結(jié)合所給多項(xiàng)式，分析如何得到該項(xiàng)，再利用排列組知識(shí)求解．
10．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知的展開式中的系數(shù)為5，則等于( )
A．－4B．－3C．－2D．－1
【答案】D
解析：中含的項(xiàng)為：，即
考點(diǎn)：（1）10．7．1求二項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù)；
難度：B
備注：高頻考點(diǎn)
11．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)設(shè)m為正整數(shù)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若13=7，則＝( )
A．5B．6 QUOTE C．7D．8
【答案】Ｂ
解析：由題知=，=，∴13=7，即=，
解得=6，故選B．
考點(diǎn): （1）10．7．2求最大系數(shù)或系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）13．1．1函數(shù)與方程思想．
難度：Ａ
備注：高頻考點(diǎn)
12．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組
由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有( )
A．12種B．10種C．9種D．8種
【答案】A
解析：第一步，為甲地選一名老師和兩個(gè)學(xué)生，，有=12種選法；
第二步，為乙地選1名教師和2名學(xué)生，有1種選法
故不同的安排方案共有2×6×1=12種
考點(diǎn)：（1）10．6．2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；（2）10．6．5組合問題．
難度：A
備注：高頻考點(diǎn)
二、填空題
13．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________(用數(shù)字作答)．
【答案】
解析：
其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：
當(dāng)，解得
的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種．。(用數(shù)字填寫答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有12+4=16種，
方法二，間接法：種．
15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)的展開式中，的系數(shù)是．(用數(shù)字填寫答案)
【答案】10
【解析】設(shè)展開式的第項(xiàng)為，∴．
當(dāng)時(shí)，，即．故答案為10．
16．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)的展開式中的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則__________．
【答案】
分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．
考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．
17．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)的展開式中，的系數(shù)為15，則=________．(用數(shù)字填寫答案)
【答案】
解析：故
考點(diǎn)：（1）求二項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)或指定項(xiàng)系數(shù)；（2）組合數(shù)的運(yùn)算。
難度：B
備注：?？碱}
18．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)的展開式中的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)
【答案】 20
解析:展開式的通項(xiàng)為,
∴,
∴的展開式中的項(xiàng)為,故系數(shù)為20．
考點(diǎn):(1)求二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)系數(shù)(2)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式(3)函數(shù)與方程的思想
難度:B

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