2020.12松江區(qū)高三數(shù)學(xué)一模試卷參考答案 一、填空題1． ； 2． ；  3．  ； 4．   ；5．   ；  6． ；7． ；8． 240  ；9． ；10． ；11．；12．    二、選擇題13．C   14．B   15．A   16．C 17.如圖1，在三棱柱中，已知，，，且平面.過、、三點(diǎn)作平面截此三棱柱，截得一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐（如圖2）．  （1）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．（2）求四棱錐的體積和表面積．  解：（1）∵  ∴即為異面直線與所成的角，              ………2分∵平面，∴平面，∴ ，∵     ………5分∴   ∴ ， 即異面直線與所成的角為 .  ………7分  (或 ， 或 )   （2）                  ……………10分                              ……………14分18.已知 （1）求的最小正周期和值域；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍． 解：（1） ………3分∴的為最小正周期，      ………5分值域為                  ……………7分（2）記 ，則  ，…………………8分 由恒成立，知恒成立，  即恒成立，    ∵  ∴         ……………11分∵  在時(shí)單調(diào)遞增    ∴的取值范圍是……………14分 19. 某網(wǎng)店有3(萬件)商品，計(jì)劃在元旦旺季售出商品(萬件)．經(jīng)市場調(diào)查測算，花費(fèi)(萬元)進(jìn)行促銷后，商品的剩余量與促銷費(fèi)之間的關(guān)系為（其中為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，只能售出1(萬件)商品． （1）要使促銷后商品的剩余量不大于(萬件), 促銷費(fèi)至少為多少 (萬元)? （2）已知商品的進(jìn)價(jià)為32(元/件), 另有固定成本3(萬元)．定義每件售出商品的平均成本為（元）.若將商品售價(jià)定為：“每件售出商品平均成本的倍”與“每件售出商品平均促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)促銷費(fèi)為多少(萬元)時(shí)，該網(wǎng)店售出商品的總利潤最大？此時(shí)商品的剩余量為多少?解：（1）由，當(dāng)時(shí)，，得 ∴ ……………4分由 解得                                 ……………7分  （2）網(wǎng)店的利潤 (萬元)，由題意可得：                     ……………10分 ……………12分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；所以當(dāng)促銷費(fèi)為7萬元時(shí)，網(wǎng)店利潤的最大為42萬元，此時(shí)商品的剩余量為(萬件).                                                    ……………14分  20. 已知橢圓 （）的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且長軸長為短軸長的倍. 直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)和． （1）求橢圓的方程；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程；（3）若直線的方程為， 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線、 分別與軸交于、兩點(diǎn)，求證： 為定值.     解：（1）由題意得 ，，               ……… ……2分  解得 ，， 所以橢圓的方程為 .   …………4分          （2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、，直線的方程為.  …5分由方程組 ，得 所以，                   ………7分解得.∴直線的方程為          …………10分（3）由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為                …………11分將，代入得：，                         …………13分對(duì)于直線， 令  得 ∴  …………14分對(duì)于直線 ：，  令          得                ，∴                            …………16分21.對(duì)于由個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集，記.若集合滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都存在集合的兩個(gè)子集，使得成立，稱集合為“滿集”.特別規(guī)定.（1）分別判斷集合與是否是“滿集”，請(qǐng)說明理由；（2）若由小到大能排列成公差為的等差數(shù)列，求證：集合為“滿集”的必要條件是，或； （3）若由小到大能排列成首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，求證：集合是“滿集”；. [解答]：（1）集合是“滿集”，集合不是“滿集”.             …………2分        對(duì)于集合，，且共有4個(gè)子集： 當(dāng)分別取時(shí)，由 故是“滿集”；                                              ……………3分      對(duì)于集合，，且共有4個(gè)子集： 當(dāng)時(shí)，不存在的兩個(gè)子集，使得，故不是“滿集”                                             ……………4分（2）∵由小到大能排列成公差為的等差數(shù)列，∴，記               ……………5分∵為“滿集”，∴對(duì)任意的正整數(shù)，都存在集合的兩個(gè)子集，使得成立，當(dāng)時(shí)，由，及 知或，若，則， ，此時(shí)，……7分若，則，在的真子集中，最大，必有，此時(shí)，.綜上可得：                                           ………………8分若，當(dāng)時(shí)，∵， ∴不存在的子集，使得，∴，綜合得：集合為“滿集”的必要條件是，或             ………………10分（3）由已知： …………11分對(duì)任意，∵，∴存在和，使得，同理有， ，其中，經(jīng)過有限次的操作后，必存在  ， ∴…………14分當(dāng) 時(shí)，            …………16分此時(shí)取 ，則有 .               ∴集合是“滿集”.                                             …………18分

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