數(shù)學魯教版 (五四制)5 角平分線學案

這是一份數(shù)學魯教版 (五四制)5 角平分線學案，共7頁。
第十章    三角形的有關證明10.5    角平分線知 識 梳 理知識點1  角平分線的性質建理角平分線上的點到_______________________________。符號語言：如圖所示，∵點P在∠AOB的平分線OC上，_____________________。    ∴PD = PE。知識點2  角平分線性質定理的逆定理逆定理：在一個角的內部，并目_____________________，在這個角的平分線上。符號語言，如上圖所示，    ∵PD＝PE，    ∴點P在∠AOB的平分線OC上。注意  （1）角平分線性質定理中的距離是指點到角的兩邊垂線段的長（2）定理中的條件是指在角的內部有點滿足到角的兩邊的距離相等，那么過南的頂點和該點的射線必平分這個角。知識點3  三角形三內角平分線的性質定理：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到_____________________________。注意  三角形三條角平分線的交點稱為三角形的內心，無論是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形，其內心一定在其內部。考 點 突 破考點1:  角平分線的性質典例1  如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DF⊥AB于點E，點F在AC上，BE＝CF。求證:BD＝DF。 思路導析:  要證BD＝DF，可考慮證明△BDE≌△FDC。由已知BE＝CF，∠BED＝∠C＝90o，若能證明DE＝CD或證明另一銳角對應相等即可。由AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，易證得DE＝CD，故可從證DE＝CD入手。證明:∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD。在△BDE和△FDC中，∵DE＝CD，∠BED＝∠C＝90°，BE＝FC，∴△BDE≌△FDC。∴BD＝DF。友情提示  角平分線的性質定理和其他知識聯(lián)系比較緊密，如果圖中不滿足角平分線的基本圖形，應考慮添加輔助線。變式1  如圖所示，點P是∠AOB平分線OC上一點，PD⊥OB，垂足為D。若PD＝2，則點P到邊OA的距離是（     ）A.1      B.2       C.      D.4    變式2  如圖所示，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，則DE＝_________ cm。考點2:  角平分線的性質定理的逆定理典例2  如圖所示，BM，CN是△ABC的兩條角平分線，相交于點P。求證:點P在∠BAC的平分線上。   思路導析:  要證點P在∠BAC的平分線上，即證點P到AB，AC的距離相等，從已知可知點P在BM上，所以點P到AB，BC兩邊的距離相等，點P又在CN上，所以點P到AC，BC兩邊的距離相等，從而由等量代換可得證。證明:過點P分別作PD，PE，PF垂直于AB，BC，CA，垂足分別為點D，E，F。∵點P在∠ABC的平分線BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE。同理可證PE＝PF∴PD＝PF。又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴點P在∠BAC的平分線上。友情提示  證明點在角的平分線上，關鍵是要證明這個點到角兩邊的距離相等，即證明線段相等常用的方法有:利用全等三角形、角平分線的性質和利用l面吹相等，但要特別注意的是點到角兩邊的距離。變式3  如圖所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F。求證:DE＝DF。   考點3:尺規(guī)作圖典例3  如圖所示，求作點P，使PA＝PB，并使點P到∠MON的兩邊距離相等。   思路導析:  由于PA＝PB，故點P必在AB的垂直平分線上；又點P到∠MON的兩邊距離相等，故點P應在∠MON的平分線上，所以點P應是線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線的交點。解:如圖所示:   變式4  如圖所示是一塊三角形草坪，現(xiàn)在要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（    ）A.△ABC的三條中線的交點          B.△ABC三邊的中垂線的交點C.△ABC三條角平分線的交點        D.△ABC三條高所在直線的交點鞏 固 提 高1.如圖所示，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結論錯誤的是（     ）A.PC＝PD      B.∠CPO＝∠DOP     C.∠CPO＝∠DPO      D.OC＝OD2.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點E，F。下列給出四個結論:①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點到B，C兩點距離相等；④到AE，AF距離相等的點，到DE，DF的距離也相等。其中正確的結論有（    ）A.1個      B.2個       C.3個       D.4個   3.如圖所示，在△ABC中，∠A＝40°，D點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，則∠BDC的度數(shù)是（    ）A.80°      B.140°      C.110°      D.120°4.如圖所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為（     ）A.6       B.7      C.8      D.9    5.如圖所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB的度數(shù)是（    ）A.30°      B.35°      C.45°      D.60°6.如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折疊，使點B落在斜邊AC上。若AB＝3，BC＝4，則BD＝__________。    7.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB，垂足是點E，若AB＝7，則△DEB的周長是___________。8.如圖所示，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，點C為射線OP上一點，作CD⊥OA于點D，在∠POB的內部作CE∥OB，則∠DCE＝________度。    9.如圖所示，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分別為AC，CD的中點，∠D＝a，則∠BEF的度數(shù)為_________________。（用含a的式子表示）10.有公路l2同側2異側的兩個城鎮(zhèn)A，B，如圖所示電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點C的位置（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）。     11.如圖所示，點P是∠BAC內的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F，AE＝AF。求證:（1）PE＝PF；（2）點P在∠BAC的平分線上。    真 題 訓 練1（2018·宜昌）尺規(guī)作圖經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（   ）   2、（2018·州）如圖所示，∠AOB＝60°，以點O為圓心，以任意長為半徑作弧交OA，OB于C，D兩點；分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；以O為端點作射線OP，在射線OP中截取OM＝6，則M點到OB的距離為（     ）A.6      B.2      C.3       D.3   3.（2018·常德）如圖所示，已知BD是△ABC的角平分線，ED是BC的垂直平分線，∠BAC＝90°，AD＝3，則CE的長為（     ）A.6      B.5       C.4      D.34.（2018·東營）如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以頂點C為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，BC于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線CP交AB于點D。若BD＝3，AC＝10，則△ACD的面積是________________。     參考答案及解析知識梳理知識點1:  這個角的兩邊的距離相等     PD⊥OA，PE⊥OB知識點2:  到角的兩邊距離相等的點     PD⊥OA，PE⊥OB知識點3:  三條邊的距離相等考點突破1.B     2.3.提示:連接AD，證明△AED≌△AFD4.C鞏固提高1.B     2.D     3.C     4.D     5.B      6.     7. 7       8.  1309.270°－3a10.解:根據(jù)題意知，點C應滿足兩個條件，一是在線段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點C應是它們的交點。（1）作兩條公路夾角的平分線OD或OE；（2）作線段AB的垂直平分線FG；則射線OD，OE與直線FG的交點C1，C2就是所求的位置。 11.證明:（1）如圖所示，連接AP。   ∵∠AEP＝∠AFP＝90°，AE＝AF， AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP.∴PE＝PF。（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP＝∠FAP。∴AP是∠BAC的平分線。故點P在∠BAC的平分線上。真題訓練1.B    2.C     3.D     4. 15