第2講 集合間的基本關系你能發(fā)現(xiàn)下面這兩個集合之間的關系么？，  子集：一般地，對于兩個集合，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，就稱集合是集合的子集，記作(或)，讀作“包含于”(或“包含”).(反面：與)我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為圖(如下圖所示): 集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，則集合和集合中的元素是一樣的，因此集合與集合相等，記作. 真子集：若集合，但存在元素，且，就稱集合是集合的真子集，記作?(或?)，讀作“真包含于”(或“真包含”). 空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.  規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.  例1.用適當?shù)姆柼羁眨?/span>①0    ； ②   ；  ③    ；  ④   ；⑤0    ；   ⑥   ；    ⑦    ；     ⑧    .【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.【解析】元素與集合間的關系分為“屬于”與“不屬于”兩種，集合間的關系分為“包含于”與“相等”兩種. 例2.下列表述正確的是(    )A.        B.        C.        D.【答案】B【解析】空集是任何集合的子集，所以A、D錯誤，B正確；集合之間不存在“屬于”關系，C錯誤.  例3.寫出下列集合的所有子集：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】(1)；(2)；(3)；(4)結論：若一個集合包含個元素，則其子集數(shù)為      個，其真子集數(shù)為       個.【答案】. 例4.已知集合滿足，寫出集合的所有可能情況.【答案】. 例5. (1)    已知集合，，試用列舉法寫出集合，并指出與的關系；(2)    已知集合，，試用列舉法寫出集合，并指出與，與的關系.【答案】(1)，；(2)，且，.【解析】(1)由于中的元素都是中的元素，所以，；(2)由于中的元素是且，所以中的元素是集合，并且是的子集，所以.，因為是中的元素；同時，因為空集是任何集合的子集.是中的元素，所以. 例6. (1)    若集合，，是的真子集，求的值.(2)設集合，，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，?，的解為或2或無解.當的解為時，由得；當的解為2時，由得；當無解時，.綜上所述，；（2），，或?.當，即時，則，0是方程的兩根，由韋達定理得，解得；當?時，分兩種情況：①若，則，解得；②若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得，此時，滿足題意.綜上所述，的取值范圍為. 例7. (1)    己知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為________.(2)    已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為__________.(3)    已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)由已知條件得，解得，所以的取值范圍為；(2)由已知條件得，解得，所以的取值范圍為；(3)，，且，當時，，解得；當時，無解；綜上所述，的取值范圍為.  跟蹤訓練    已知集合，，則使成立的實數(shù)的取值范圍為(  )A.         B.         C.         D.【答案】C【解析】由已知條件得，解得，故選C.     對于集合，“”不成立的含義是(    )A.是的子集                         B.中的元素都不是的元素C.中最少有一個元素不屬于           D.中至少有一個元素不屬于【答案】C【解析】“”成立的含義是集合中的任何一個元素都是的元素，不成立的含義是中至少有一個元素不屬于.     若集合中只有一個元素，則實數(shù)(   )A.         B.           C.0          D.0或【答案】D【解析】依題意方程只有一個解，當時，方程為，只有一個解，滿足題意；當時，則，.綜上所述，，故選D.     集合的真子集個數(shù)為__________.【答案】7【解析】，所以其真子集個數(shù)為7.     設集合，，若，則實數(shù)的取值范圍__________.【答案】     設集合，，若，求實數(shù)的值.【答案】或0【解析】依題意或，當時，解得或2；當時，解得或2，，且，或0.     已知集合，，若,求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】，，且，當時，，解得；當時，，解得，綜上所述，的取值范圍為.     集合，，則下列關系中，正確的是(  )A.?        B.?         C.        D.無法確定兩者關系【答案】A【解析】，，所以? ，選A.     已知，，則下列關系中，正確的是(   )  A.?         B.          C.?       D.無法確定兩者關系【答案】B【解析】若，則，當時，；當時，，所以.若，則，當時，，所以；當時，，所以，所以.綜上所述，，故選B.  設是整數(shù)集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有     個.【答案】7【解析】依題意可知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，不含“孤立元”說明中的三個數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，共7個.  已知集合，.若且? ，試求實數(shù)的值.【答案】或.【解析】，且? ，或.當時，，解得；當時，，解得.綜上所述，或.  

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