第15講 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域為. 2.指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)圖象          定義域值域過定點圖象過定點，即當時，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低．   例1.在下列的關(guān)系式中，哪些不是指數(shù)函數(shù)，為什么？(1)  (2)  (3)  (4)      (5)   (6)   (7) (8)(，且)【答案】(1)(2)(3)(5)(6)(7)不是 例2.比較下列各題中兩個值的大小：(1)       (2)   (3)       (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)    例3.函數(shù)的圖象一定通過點          .【答案】 例4.若函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則一定有(    )A.      B.C.      D.【答案】A【解析】依題意該函數(shù)為增函數(shù)且在軸截距為負，所以，解得，選A.    例5. 二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可能是  (    ) A     B    C    D【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)可知同號且不相等，則二次函數(shù)的對稱軸可排除B與D，C錯誤：易知，所以，此時單調(diào)遞增，A正確：易知，所以，此時單調(diào)遞減. 例6.解方程：  .【答案】【解析】由得，所以，解得. 例7.求下列不等式的解集：（1） ；      (2) 【答案】(1)；(2)時解集為，時解集為【解析】(1)由得，所以，解得，故解集為；(2)當時，由得，解得；當時，由得，解得或，綜上所述，時解集為，時解集為.例8.求函數(shù)的定義域和值域：（1）；      (2)  ；           （3）；      (4)【答案】(1)定義域為，值域為；(2)定義域為，值域為；(3)定義域為，值域為；(4)定義域為，值域為.【解析】(1)定義域為，且為減函數(shù)，，值域為；（2）由得，，解得，定義域為，由可知，值域為；（3）定義域為，且為減函數(shù)，，值域為；（4）由解得，定義域為，由可知，且，則，值域為. 例9.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；       (2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)單調(diào)減區(qū)間為.【解析】(1)定義域為，是由，復合而成的，為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性的同增異減性可知：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)定義域為，是由和復合而成的，為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間為. 例10.           方程的實數(shù)解的個數(shù)為        .【答案】2【解析】由得，畫出函數(shù)的圖象，由圖可知函數(shù)的圖象有兩個交點，故方程的實數(shù)解的個數(shù)為2. 跟蹤訓練    下列函數(shù)中，可以稱為指數(shù)函數(shù)的是(   )A.   B.   C.    D.【答案】A     下列關(guān)系式中正確的是 (    )A.     B.C.     D. 【答案】C     設(shè)滿足，下列不等式中正確的是(    )A.    B.    C.    D. 【答案】C【解析】A錯誤：由指數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)且可知；B錯誤：由指數(shù)函數(shù)在上為減函數(shù)且可知；C正確：由冪函數(shù)在上為增函數(shù)且可知；D錯誤：由冪函數(shù)在上為增函數(shù)且可知，故選C.     函數(shù)的圖象如圖，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(   )A．  B．C．  D．【答案】D【解析】由圖知為減函數(shù)，，又，，即，選D.     指數(shù)函數(shù)①，②，③，④的圖象如圖,則與1的大小關(guān)系是(      )A.      B.    C.      D.【答案】B【解析】 作直線與四個圖形分別交于四點，則，由圖可知，故選B.     函數(shù)圖象的大致形狀是  (      )   A      B       C     D【答案】D【解析】易知且，選D.     已知指數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過點，則__________.【答案】【解析】設(shè)該指數(shù)函數(shù)為，將點代入得，解得，，.     函數(shù)的圖象恒過定點____________.【答案】      如果指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】在上是減函數(shù)，，解得，所以的取值范圍是.  若函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則的取值范圍分別是_____________.【答案】，【解析】依題意該函數(shù)為減函數(shù)且在軸截距為負，所以，解得，所以的取值范圍分別是，.  方程的實根的個數(shù)為___________.【答案】2【解析】由得，作出和的圖象，由圖可知兩個函數(shù)圖象有2個交點，故方程由2個實根.  解方程：(1) ；    (2)【答案】(1)；(2)【解析】(1)，，，，，；(2)，，，，，. 解不等式：(1) ；    (2)【答案】(1)；(2)時，時.【解析】(1)，解得；(2)若，則，解得；若，則，解得.  求函數(shù)的值域.【答案】【解析】當時，，是減函數(shù)，值域為，即.  討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】定義域為，是由和復合而成的，為減函數(shù)，在，即上為減函數(shù)，在，即上為增函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.        已知函數(shù).(1)    判斷的單調(diào)性和奇偶性；(2)    當時，解不等式.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)；(2).【解析】(1)定義域為，任取且，則，當時，，，則，即；當時，，，則，即，綜上所述，對任意的，均有，故在上單調(diào)遞增，，為奇函數(shù)；(2)由是奇函數(shù)知等價于，由在上單調(diào)遞增，所以，解得.     

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