第十五講 導數(shù)與函數(shù)的零點-2022年新高二年級數(shù)學暑假精品課程（人教A版2019）練習題

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第十五講 導數(shù)與函數(shù)的零點【考點剖析】考點一　判斷零點的個數(shù)【例1】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝－4ln x的零點個數(shù)．解　(1)∵f(x)是二次函數(shù)，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴設f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，∴g(x)的定義域為(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.當x變化時，g′(x)，g(x)的取值變化情況如下表：X(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)極大值極小值當0<x≤3時，g(x)≤g(1)＝－4<0，當x>3時，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.又因為g(x)在(3，＋∞)上單調遞增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1個零點，故g(x)僅有1個零點．規(guī)律方法　利用導數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法(1)構建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉化確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結合求解函數(shù)零點的個數(shù)．(2)利用零點存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．考點二　已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍【例2】 函數(shù)f(x)＝ax＋xln x在x＝1處取得極值．(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．解　(1)函數(shù)f(x)＝ax＋xln x的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝a＋ln x＋1，因為f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，當a＝－1時，f(x)＝－x＋xln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1處取得極小值，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0，1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)內有兩個不同的零點，可轉化為y＝f(x)與y＝m＋1圖象有兩個不同的交點．由(1)知，f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，f(x)min＝f(1)＝－1，由題意得，m＋1>－1，即m>－2，①當0<x<e時，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；當x>e時，f(x)>0.當x>0且x→0時，f(x)→0；當x→＋∞時，顯然f(x)→＋∞.由圖象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范圍是(－2，－1)．規(guī)律方法　與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題．考點三　函數(shù)零點的綜合問題【例3】 設函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.(1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a＋aln .(1)解　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點；當a>0時，因為y＝e2x單調遞增，y＝－單調遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調遞增．又f′(a)>0，假設存在b滿足0<b<時，且b<，f′(b)<0，故當a>0時，f′(x)存在唯一零點．(2)證明　由(1)，可設f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點為x0，當x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，所以當x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln ≥2a＋aln .故當a>0時，f(x)≥2a＋aln .規(guī)律方法　1.在(1)中，當a>0時，f′(x)在(0，＋∞)上單調遞增，從而f′(x)在(0，＋∞)上至多有一個零點，問題的關鍵是找到b，使f′(b)<0.2．由(1)知，函數(shù)f′(x)存在唯一零點x0，則f(x0)為函數(shù)的最小值，從而把問題轉化為證明f(x0)≥2a＋aln .  【真題演練】1．（2021·全國高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：有一個零點①；②．2．（2021·浙江高考真題）設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))    【過關檢測】1．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)在區(qū)間內有唯一零點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．2．（2021·黑龍江大慶市·鐵人中學高三一模（理））下列命題為真命題的是（    ）A．函數(shù)有兩個零點 B．“，”的否定是“，”C．若，則 D．冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)3．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)．若的零點恰有個，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．4．（2021·內蒙古赤峰市·高三二模（文））已知函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)（    ）A． B． C． D．5．（2021·山西高三一模（理））函數(shù)（，且）有兩個零點，則a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．6．（2020·綿陽市·四川省綿陽江油中學高三月考）函數(shù)的零點個數(shù)為（   ）A． B． C． D．7．（2021·安徽亳州市·高二期末（文））已知函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．8．（2021·江蘇連云港市·高二期末）已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）．A． B． C． D．9．（2021·全國高三其他模擬（理））若函數(shù)存在三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．10．（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學校高三月考（文））若函數(shù)在區(qū)間有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．11．（2021·河北滄州市·高二期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求的極值；（Ⅱ）若在上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．12．（2021·安徽安慶市·高三一模（理））函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）當時，求函數(shù)的零點個數(shù).