專題19.19  一次函數(shù)最值問題（專項練習）題型一：一次函數(shù)性質(zhì)（增減性）最值問題一、單選題1． 設(shè)，關(guān)于的一次函數(shù)，當時的最小值是（   ）A． B． C． D．2． 設(shè)0＜k＜2，關(guān)于x的一次函數(shù)y=（k-2）x+2，當1≤x≤2時，y的最小值是（　?。?/span>A．2k-2             B．k-1           C．k          D．k+13.一次函數(shù)的大致圖象如圖所示，關(guān)于該次函數(shù)，下列說法錯誤的是　　A． B．y隨x的增大而增大C．該函數(shù)有最小值 D．函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限 二、填空題4．已知一次函數(shù)，當時，的最小值是________．5．在一次函數(shù)中，當  時，y的最小值為____________. 6. 已知一次函數(shù)y＝﹣2x+5，若﹣1≤x≤2，則y的最小值是_____．7．在一次函數(shù)中，隨的增大而____________（填“增大”或“減小”），當  時，y的最小值為____________. 8．在一次函數(shù)y＝﹣2x+3中，y隨x的增大而_____（填“增大”或“減小”），當﹣1≤x≤3時，y的最小值為_____． 題型 二：幾圖形中最值問題；一、選擇題9．一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點,,點,分別是,的中點,是上一動點.則周長的最小值為（    ）A．4 B． C． D． 二、填空題10．已知點P(x，y)是一次函數(shù)y＝x+4圖象上的任意一點，連接原點O與點P，則線段OP長度的最小值為_____．  11．如圖, 在平面直角坐標系中, 一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸交于點A, 與y軸交于點B, 點P在線段AB上, PC⊥x軸于點C, 則△PCO周長的最小值為_____              12．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0）、B（0，4）．O為坐標原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，則當P點坐標為      時，PC+PD的最小值為            ．                       三、解答題13．一次函數(shù)y=kx＋b的圖象與x、y軸分別交于點A(2，0)，B(0，4)．(1)求該函數(shù)的解析式；(2)O為坐標原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點的坐標．      14．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，以線段為邊在第二象限內(nèi)作等腰直角，使.(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)求出點的坐標；(3)若點是軸上一動點，直接寫出的最小值. 題型三：一次函數(shù)中最值應(yīng)用解答題15．某年5月，我國南方某省A、B兩市遭受嚴重洪澇災害，1.5萬人被迫轉(zhuǎn)移，鄰近縣市C、D獲知A、B兩市分別急需救災物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運物資支援災區(qū)．已知C市有救災物資240噸，D市有救災物資260噸，現(xiàn)將這些救災物資全部調(diào)往A、B兩市．已知從C市運往A、B兩市的費用分別為每噸20元和25元，從D市運往往A、B兩市的費用別為每噸15元和30元，設(shè)從D市運往B市的救災物資為x噸．（1）設(shè)C、D兩市的總運費為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）經(jīng)過搶修，從D市到B市的路況得到了改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少元()，其余路線運費不變．若C、D兩市的總運費的最小值不小于10320元，求的取值范圍．   16．新冠肺炎肆虐全球，但病毒無情人有情，最美逆行者不顧個人安危奔赴疫情前線．某公司前往慰問醫(yī)護人員，欲購進甲，乙兩種呼吸機．若購進甲種臺，乙種臺，則共需要成本元；若購進甲種臺，乙種臺．則共需要成本元．（1）求甲，乙兩種呼吸機每臺成本分別為多少元？（2）該公司決定購進甲，乙兩種呼吸機共臺，且購進甲種呼吸機臺數(shù)不低于乙種臺數(shù)的一半，則如何購買兩種機器能使花費最少？最少費用為多少？ 17．某天，一蔬菜經(jīng)營戶從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了黃瓜和茄子共 60 千克，（每種蔬菜不少于 10 千克），到菜市場去賣，黃瓜和茄子當天的批發(fā)價和零售價如表表示：品名黃瓜茄子批發(fā)價/（元/千克）2.42.2零售價/（元/千克）3.63（1）若他當天批發(fā)兩種蔬菜共花去 140 元，則賣完這些黃瓜和茄子可賺多少元？（2）設(shè)全部售出 60 千克蔬菜的總利潤為 y（元），黃瓜的批發(fā)量 a（千克），請寫出 y 與 a 的函數(shù)關(guān)系式，并求最大利潤為多少？
參考答案 題型一：一次函數(shù)性質(zhì)（增減性）最值問題一、單選題1．【答案】D【解析】把一次函數(shù)整理，得判斷出，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當時的最小值.【詳解】  故取最小值為3，故選:D.【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)，當時，隨的增大而增大.當時，隨的增大而減小.2．【答案】A【解析】先根據(jù)0＜k＜2判斷出k-2的符號，再判斷出函數(shù)的增減性，根據(jù)1≤x≤2即可得出結(jié)論．【詳解】∵0＜k＜2，∴k-2＜0，∴此函數(shù)是減函數(shù)，∵1≤x≤2，∴當x=2時，y最小=2（k-2）+2=2k-2．故選A．【考點】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，當k＜0，y隨x的增大而減小。3．【答案】C【解析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性確定有關(guān)k的不等式組，求解即可．【詳解】觀察圖象知：y隨x的增大而增大，且交與y軸負半軸，函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以，k - 1> 0 ,  - k<0 ,  解得：，該函數(shù)沒有最小值，故選C．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解系數(shù)對函數(shù)圖象的影響，難度不大．二、填空題4．【答案】3【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出當時，y的取值范圍即可．【詳解】∵k=-1＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當時，∴x = - 1 時，函數(shù)值最小，最小值為3. 故答案為：3．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．5【答案】3【詳解】k=2>0，∴y隨x的增大而增大，∴當x=0時，y有值小值，把x=0代入y=2x+3得y=0+3=3．故答案為3．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降；當b＞0時，直線與y軸交于正半軸；當b＜0時，直線與y軸交于負半軸．6．【答案】1解：∵一次函數(shù)y＝﹣2x+5，k＝﹣2＜0，∴y隨x的增大而減小，∵﹣1≤x≤2，∴當x＝2時，y的最小值是1，故答案為：1【點撥】此題主要考查了一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出其增減性是解答此題的關(guān)鍵．7．【答案】增大    3    【解析】由題意得：∵一次函數(shù)y=2x+3中，k=2＞0，
∴y隨x的增大而增大，∵此函數(shù)為增函數(shù)，∴當0≤x≤5時，y的最小值為x=0時，y最小=3．8．【答案】減小    ﹣3    【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得一次函數(shù)，y隨x的增大而減?。蝗缓笥嬎?/span>時得函數(shù)值即可得到y的最小值．【詳解】∵k＝﹣2＜0，∴一次函數(shù)y＝﹣2x+3，y隨x的增大而減??；當x＝3時，y＝﹣2x+3＝﹣3．∴當﹣1≤x≤3時，y的最小值為﹣3．故答案為減小，﹣3．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；，y隨x的增大而減少，函數(shù)從左到右下降. 題型 二：幾何圖形中最值問題一、選擇題9．【答案】D【解析】作C點關(guān)于y軸的對稱點，連接，與y軸的交點即為所求點P，用勾股定理可求。【詳解】如圖，作C點關(guān)于y軸的對稱點，連接交y軸與點P，此時PC+PD的值最小且∵,分別是,的中點，,∴C（1，0），D（1,2）在Rt△中，由勾股定理可得又∵D（1,2），∴CD=2∴此時周長為PC+PD+CD=，故選D【點撥】本題考查最短路徑問題，把圖形作出來是解題關(guān)鍵，再結(jié)合勾股定理解題.二、填空題10.【答案】【解析】線段OP長度的最小值，就是O點到直線y＝x+4垂線段的長度，求得直線與坐標軸的交點，然后根據(jù)三角形面積即可求得線段OP長度的最小值．【詳解】如圖，一次函數(shù)y＝x+4中，令y＝0，求得x＝3；令x＝0，則y＝4，∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，線段OP長度的最小值，就是O點到直線y＝x+4垂線段的長度，∴OP⊥AB，∵OA?OB＝，∴OP＝．故答案為．【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，理解“垂線段最短”是本題的解題關(guān)鍵．11．  【答案】【解析】先根據(jù)一次函數(shù)列出周長的式子，再根據(jù)垂線公理找到使周長最小時點P的位置，然后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意，可設(shè)點P的坐標為，周長為則求周長的最小值即為求OP的最小值如圖，過點O作，由垂線公理得，OP的最小值為OD，即此時點P與點D重合由直線的解析式得，，則是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，解得則周長的最小值為故答案為：．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線公理等知識點，依據(jù)題意列出周長的式子，從而找到使其最小的點P位置是解題關(guān)鍵．12.【答案】（0，1）；2．【解析】先由中點坐標公式求得點D、C的坐標，然后作點C關(guān)于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸與點P，由題意可知點O是CC′的中點，故此OP==1，從而可求得點P的坐標，由兩點之間的距離公式可求得C′D的長度即可．解：如圖所示；作點C關(guān)于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸與點P．∵A（2，0）、B（0，4），點C、D分別為OA、AB的中點，∴D（1，2）、C（1，0）．∵點C′與點C關(guān)于y軸對稱，∴點C′（﹣1，0），PC=PC′．∴O為CC′的中點．∴OP==1．∴P（0，1）．∴PD+PC=PD+PC′=C′D．由兩點間的距離公式可知；C′D==2．故答案為：（0，1）；2．                       考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)．三、解答題13.【答案】（1）y＝－2x＋4；（2）2；點P的坐標為(0，1)．【解析】 (1)、將A、B兩點的坐標代入解析式求出k和b的值，從而得出函數(shù)解析式；(2)、首先得出點C關(guān)于y軸的對稱點為C′，然后得出點D的坐標，根據(jù)C′、D的坐標求出直線C′D的解析式，從而求出點P的坐標，然后根據(jù)勾股定理得出C′D的長度，從而得出答案.試題解析：(1)將點A、B的坐標代入y＝kx＋b并計算得k＝－2，b＝4．∴解析式為：y＝－2x＋4； （2）存在一點P，使PC+PD最小．
∵0（0，0），A（2，0），且C為AO的中點，∴點C的坐標為（1，0），   則C關(guān)于y軸的對稱點為C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D為AB的中點，    ∴點D的坐標為（1，2），
連接C′D，設(shè)C′D的解析式為y=kx+b，
有，    解得，   ∴y=x+1是DC′的解析式，    ∵x=0，∴y=1，
即P（0，1）．   ∵PC+PD的最小值=C′D，∴由勾股定理得C′D=2．14．【答案】(1)   (2)  (3)【解析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得；
(2)作軸，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性質(zhì)可知，故可得出C點坐標；
(3)作軸,并延長至點F使得,連接交x軸與點P,此時有最小值即BF，從而得出答案．【詳解】(1)由題意得：將和點代入，
即：，   即，;(2)如圖所示：作軸， ,在和中， ,,    C點坐標為.(3)作軸,并延長至點F使得,過F點作FH⊥y軸，垂足為H連接交x軸與點P,此時有最小值即BF，,有最小值即.【點撥】本題考查一次函數(shù)的綜合問題，畫出圖像利用數(shù)形結(jié)合解題是解題關(guān)鍵.題型三：一次函數(shù)中最值應(yīng)用15．【答案】（1）w=10x+10200(60≤x≤260)；（2）0＜m≤8．【解析】（1）根據(jù)題意可以求得w與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）根據(jù)題意，利用分類討論的數(shù)學思想可以解答本題．【詳解】（1）由題意可得：w=20(x﹣60)+25(300﹣x)+15(260﹣x)+30x=10x+10200，∴w=10x+10200(60≤x≤260)；（2）由題意可得：w=10x+10200﹣mx=(10﹣m)x+10200，當0＜m＜10時，x=60時，w取得最小值，此時w=(10﹣m)×60+10200≥10320，解得：0＜m≤8，當m＞10時，x=260時，w取得最小值，此時，w=(10﹣m)×260+10200≥10320，解得：m≤．∵＜10，∴m＞10這種情況不符合題意，由上可得：m的取值范圍是0＜m≤8．【點撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)和不等式的性質(zhì)解答．16．【答案】（1）4000元；3000元  （2）購進甲種呼吸機臺，乙種臺；元【解析】設(shè)甲種呼吸機每臺成本為元，乙種呼吸機每臺成本為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解；（2）設(shè)購進甲種呼吸機臺，則購進乙種呼吸機臺，根據(jù)題意寫出費用w關(guān)于a的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】設(shè)甲種呼吸機每臺成本為元，乙種呼吸機每臺成本為元，根據(jù)題意得：        解得答：甲種呼吸機每臺成本為4000元，乙種呼吸機每天成本為3000元．（2）設(shè)購進甲種呼吸機臺，則購進乙種呼吸機臺，依題意有解得隨的增大而增大當時，有最小值，此時元答：購進甲種呼吸機臺，乙種臺時花費最少，最少費用為元．【點撥】此題主要考查二元一次方程組與一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到數(shù)量關(guān)系列式求解．17．【答案】（1）64元；（2）y=0.4a+48（10?a?50），最大利潤為68元【解析】（1）根據(jù)題意和表格可以求得購買的黃瓜和茄子的質(zhì)量，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)題意可以求得y與a的關(guān)系式，進而可以求得y的最大值．【詳解】(1)設(shè)一蔬菜經(jīng)營戶從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了黃瓜xkg，2.4x+2.2(60?x)=140解得，x=4060?x=20，則賣完這些黃瓜和茄子可賺：(3.6?2.4)×40+(3?2.2)×20=64(元)，即賣完這些黃瓜和茄子可賺64元； (2)由題意可得，y=(3.6?2.4)×a+(3?2.2)×(60?a)=0.4a+48∵10?a?50，∴當a=50時，y=0.4a+48取得最大值，此時y=68，即y與a的函數(shù)關(guān)系式是y=0.4a+48，最大利潤為68元．【點撥】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意自變量的取值范圍．

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