1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )
A．y＝eq \r(x) B．y＝|sin x|
C．y＝cs x D．y＝ex－e－x
解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq \r(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)y＝eq \r(x)為非奇非偶函數(shù)，排除A；因?yàn)閥＝|sin x|為偶函數(shù)，所以排除B；因?yàn)閥＝cs x為偶函數(shù)，所以排除C；因?yàn)閥＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函數(shù)y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D.
答案：D
2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是( )
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cs x
解析：A項(xiàng)中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；B項(xiàng)中的函數(shù)是偶函數(shù)但不存在零點(diǎn)；C項(xiàng)中的函數(shù)是奇函數(shù)；D項(xiàng)中的函數(shù)既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)．
答案：D
3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(ln|x|)
解析：A項(xiàng)，y＝eq \f(1,x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；易知B正確；C項(xiàng)，y＝lg x是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(ln|x|)是遞減的．
答案：B
4．設(shè)f(x)＝x＋sin x(x∈R)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)在R上單調(diào)遞增
C．f(x)的值域?yàn)镽 D．f(x)是周期函數(shù)
解析：因?yàn)閒(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)閒′(x)＝1＋cs x≥0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故B正確；因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)的值域?yàn)镽，故C正確；f(x)不是周期函數(shù)，故選D.
答案：D
5．f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．
答案：C
6．若f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，則f(x－1)＜e－eq \f(1,e)的解集為( )
A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：因?yàn)閒(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，則f(x)＝ex－e－x在R上單調(diào)遞增，且f(1)＝e－eq \f(1,e).則由f(x－1)＜e－eq \f(1,e)，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－eq \f(1,e)的解集為(－∞，2)．故選A.
答案：A
7．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3，0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝__________．
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x)的周期為6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
8．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則不等式f(x－2)≥0的解集是__________．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
9．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，f(3)＝3，則f(－1)＝________．
解析：因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，則f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
10．函數(shù)f(x)＝ex＋3x(x∈R)可表示為奇函數(shù)h(x)與偶函數(shù)g(x)的和，則g(0)＝________．
解析：由題意可知h(x)＋g(x)＝ex＋3x①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－3x，因?yàn)閔(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，所以－h(huán)(x)＋g(x)＝e－x－3x②.
由(①＋②)÷2得g(x)＝eq \f(ex＋e－x,2)，
所以g(0)＝eq \f(e0＋e0,2)＝1.
答案：1
B組 能力提升練
11．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足f(2x
－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的x的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
解析：法一：偶函數(shù)滿(mǎn)足f(x)＝f(|x|)，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，
有f(2x－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))?f(|2x－1|)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，
進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式|2x－1|＜eq \f(1,3)，
解這個(gè)不等式即得x的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))).故選A.
法二：設(shè)2x－1＝t，若f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
則f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，如圖，
∴f(t)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，有
－eq \f(1,3)＜t＜eq \f(1,3)，即－eq \f(1,3)＜2x－1＜eq \f(1,3)，
∴eq \f(1,3)＜x＜eq \f(2,3)，故選A.
答案：A
12．若函數(shù)f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－a)是奇函數(shù)，則使f(x)>3成立的x的取值范圍為( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：f(－x)＝eq \f(2－x＋1,2－x－a)＝eq \f(2x＋1,1－a·2x)，由f(－x)＝－f(x)得eq \f(2x＋1,1－a·2x)＝－eq \f(2x＋1,2x－a)，即1－a·2x＝－2x＋a，化簡(jiǎn)得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－1).由f(x)>3得0

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