?2020-2021學(xué)年浙江省杭州市下城區(qū)觀成實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共10小題）.
1．已知人體紅細(xì)胞的平均直徑是0.00072 cm，用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．7.2×10﹣3cm B．7.2×10﹣4cm
C．7.2×10﹣5cm D．7.2×10﹣6cm
2．如圖所示，下列說法不正確的是（　?。?br />
A．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角 B．∠1和∠3是對頂角
C．∠3和∠4是同位角 D．∠2和∠4是同旁內(nèi)角
3．下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（　?。?br /> A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
4．下列計(jì)算：①x4?x4＝x16；②（a5）2＝a7；③（ab2）3＝ab6；④（﹣2a）2＝4a2．其中正確的有（　?。?br /> A．①④ B．②④ C．①③ D．④
5．如果（2x+1）（x﹣2）＝2x2+mx﹣2，那么m的值是（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
6．下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（　?。?br /> A．（﹣a﹣3b）（a+3b） B．（﹣2a﹣b）（2a﹣b）
C．（3a2﹣4b3）（3a2+4b3） D．（4a﹣b﹣c）（4a+b﹣c）
7．對x，y定義一種新運(yùn)算“※”，規(guī)定：x※y＝mx+ny（其中m，n均為非零常數(shù)），若1※1＝4，1※2＝3．則2※1的值是（　?。?br /> A．3 B．5 C．9 D．11
8．如圖，圖形W，X，Y，Z是形狀和大小相同，能完全重合的圖形．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可計(jì)算的圖形W的面積是（　?。?br />
A．4﹣π B．1﹣0.25π C．4﹣0.25π D．1﹣
9．如圖所示，三個(gè)天平的托盤中形狀相同的物體質(zhì)量相等，圖1、圖2所示的兩個(gè)天平處于平衡狀態(tài)，要使圖3所示的天平也保持平衡，可在它的右盤中放置（　?。?br />
A．3個(gè)〇 B．5個(gè)〇 C．4個(gè)〇 D．6個(gè)〇
10．如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：
①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；
②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；
③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；
④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（　?。?br />
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
二、填空題（每題4分，共24分）
11．分解因式：a2﹣4b2＝　 　．
12．把一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的邊上，如果∠1＝28°，那么∠2＝　 ?。?br />
13．若m+n＝3，則2m2+4mn+2n2﹣6的值為　 ?。?br /> 14．計(jì)算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的結(jié)果是　 　．
15．若y＝3n+1+3n，x＝3n﹣1+3n﹣2，其中n＞2且n為整數(shù)，則x與y之間的數(shù)量關(guān)系為　 　．
16．如圖，先將正方形ABCD沿BD方向平移，平移的距離為線段BD的一半，得到像A′B′C′D′，我們發(fā)現(xiàn)原圖形和像組成的圖中有3個(gè)正方形，再將正方形A′B'C′D′作類似的第二次、第三次…平移變換，如果經(jīng)過2022次平移變換，那么原圖形和所有像組成的圖形中共有　 　個(gè)正方形．

三、解答題（本大題7小題，共66分）
17．請將下列證明過程補(bǔ)充完整：
如圖所示，點(diǎn)E在直線DF上，點(diǎn)B在直線AC上，直線AF分別交BD，CE于點(diǎn)G，H．若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，請判斷∠A與∠F的大小關(guān)系，并說明理由．
解：∠A＝∠F．理由如下：
∵∠AGB＝∠DGF，（　 ?。?br /> ∠AGB＝∠EHF，
∴∠DGF＝∠EHF．（　 ?。?br /> ∴BD∥CE．（　 ?。?br /> ∴∠C＝∠ABD．（　 　）
∵∠D＝∠C，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF．（　 ?。?br /> ∴∠A＝∠F．

18．（1）計(jì)算：
①（4x3y2﹣6x2y）÷（﹣2x）；
②（）0﹣（）﹣2+（0.125）2021×82022；
（2）解方程（組）：
①；
②3x（x+2）﹣4（x2+8）＝（x+1）（1﹣x）．
19．如圖所示，線段AB，AD交于點(diǎn)A，C為線段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），且∠BCA為鈍角，過點(diǎn)C在BC的右側(cè)作射線CE⊥BC，過點(diǎn)D作直線DF∥AB，交CE于點(diǎn)G（點(diǎn)G與點(diǎn)D不重合）．
（1）按題目要求在圖上補(bǔ)全圖形；
（2）如果∠B＝25°，求∠CGD的度數(shù)．

20．（1）現(xiàn)有三個(gè)整式：a4+a2﹣1，﹣a2，a4+3a2+1，請你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解；
（2）已知A＝x3÷x2+x?x2，B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2．
①若4A÷B﹣2y＝0，請用含x的代數(shù)式表示y；
②若A＝B+1，求x5﹣x2﹣9x+5的值．
21．完全平方公式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學(xué)問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和為16，求△AFC的面積．

22．小明媽媽開了一家網(wǎng)店，專門銷售女式鞋子．一次，小明發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一條信息：
A款鞋的進(jìn)價(jià)比B款鞋進(jìn)價(jià)多40元，B款鞋的進(jìn)價(jià)為每雙160元．
（1）小明在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)如下表：
日期
A款女鞋銷量
B款女鞋銷量
銷售總額
5月1日
12雙
8雙
4480元
5月2日
8雙
10雙
3920元
請問兩種鞋的銷售價(jià)分別是多少？
（2）小明媽媽說：“兩款鞋的利潤率相同．”結(jié)合所給的信息，判斷小明媽媽的說法是否正確，如果正確，請說明理由；如果錯(cuò)誤，請給出一種調(diào)整售價(jià)的方案，使得兩款鞋的利潤率相同．
23．已知，如圖①，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G是△ABC三邊上的點(diǎn)，且FG∥AC，
（1）若∠EDC＝∠FGC，試判斷DE與BC是否平行，并說明理由．
（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，且MN∥AB，連接GM，若∠A＝60°，∠C＝55°，∠FGM＝4∠MGC，求∠GMN的度數(shù)．
（3）點(diǎn)M、N分別在射線AC、BC上，且MN∥AB，連接GM．若∠A＝α，∠ACB＝β，∠FGM＝n∠MGC，直接寫出∠GMN的度數(shù)（用含α，β，n的代數(shù)式表示）



參考答案
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．已知人體紅細(xì)胞的平均直徑是0.00072 cm，用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．7.2×10﹣3cm B．7.2×10﹣4cm
C．7.2×10﹣5cm D．7.2×10﹣6cm
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
解：0.00072 cm，用科學(xué)記數(shù)法可表示為7.2×10﹣4cm．
故選：B．
2．如圖所示，下列說法不正確的是（　?。?br />
A．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角 B．∠1和∠3是對頂角
C．∠3和∠4是同位角 D．∠2和∠4是同旁內(nèi)角
【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．
解：由圖可得，∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，∠1和∠3是對頂角，∠3和∠4是同位角，∠2和∠4是同位角，而不是同旁內(nèi)角，
故選：D．
3．下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（　?。?br /> A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay
B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4
C．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x
D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
【分析】根據(jù)分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，利用排除法求解．
解：A、是多項(xiàng)式乘法，不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、右邊不是積的形式，不是分解因式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、右邊不是積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、右邊是積的形式，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
4．下列計(jì)算：①x4?x4＝x16；②（a5）2＝a7；③（ab2）3＝ab6；④（﹣2a）2＝4a2．其中正確的有（　?。?br /> A．①④ B．②④ C．①③ D．④
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則逐一判斷即可．
解：①x4?x4＝x8；故①結(jié)論錯(cuò)誤；
②（a5）2＝a10；故②結(jié)論錯(cuò)誤；
③（ab2）3＝a3b6；故③結(jié)論錯(cuò)誤；
④（﹣2a）2＝4a2．故④結(jié)論正確．
故選：D．
5．如果（2x+1）（x﹣2）＝2x2+mx﹣2，那么m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【分析】利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則可求解．
解：∵（2x+1）（x﹣2）＝2x2﹣3x﹣2＝2x2+mx﹣2，
∴m＝﹣3．
故選：C．
6．下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是（　　）
A．（﹣a﹣3b）（a+3b） B．（﹣2a﹣b）（2a﹣b）
C．（3a2﹣4b3）（3a2+4b3） D．（4a﹣b﹣c）（4a+b﹣c）
【分析】用完全平方公式，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．
解：A選項(xiàng)中，（﹣a﹣3b）（a+3b）＝﹣（a+3b）2，只能用完全平方公式，不能用平方差公式，其他的均可用完全平方公式，
故選：A．
7．對x，y定義一種新運(yùn)算“※”，規(guī)定：x※y＝mx+ny（其中m，n均為非零常數(shù)），若1※1＝4，1※2＝3．則2※1的值是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．11
【分析】由已知條件，根據(jù)所給定義可得到關(guān)于m、n的方程組，則可求得m、n的值，再代入計(jì)算即可．
解：∵1※1＝4，1※2＝3，
∴，
解得：，
則x※y＝5x﹣y
∴2※1＝2×5﹣1＝9，
故選：C．
8．如圖，圖形W，X，Y，Z是形狀和大小相同，能完全重合的圖形．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可計(jì)算的圖形W的面積是（　　）

A．4﹣π B．1﹣0.25π C．4﹣0.25π D．1﹣
【分析】根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
解：圖形W的面積＝﹣＝1﹣，
故選：D．
9．如圖所示，三個(gè)天平的托盤中形狀相同的物體質(zhì)量相等，圖1、圖2所示的兩個(gè)天平處于平衡狀態(tài)，要使圖3所示的天平也保持平衡，可在它的右盤中放置（　?。?br />
A．3個(gè)〇 B．5個(gè)〇 C．4個(gè)〇 D．6個(gè)〇
【分析】題目中的方程實(shí)際是說明了兩個(gè)相等關(guān)系：設(shè)球的質(zhì)量是x，小正體的質(zhì)量是y，小正三角形的質(zhì)量是z．根據(jù)第一個(gè)天平得到：5x+2y＝x+3z；根據(jù)第二個(gè)天平得到：3x+3y＝2y+2z，把這兩個(gè)式子組成方程組，解這個(gè)關(guān)于y，z的方程組即可．
解：設(shè)球的質(zhì)量是x，小正方體的質(zhì)量是y，小正三角形的質(zhì)量是z．
根據(jù)題意得到：．
解得，
第三圖中左邊是：x+2y+z＝5x，因而需在它的右盤中放置5個(gè)球．
故選：B．
10．如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：
①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；
②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；
③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；
④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（　　）

A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐一進(jìn)行判斷求解即可．
解：

①若∠1＝∠2，則a∥e∥b，則∠3＝∠4，故此說法正確；
②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，則∠1＝∠5，則c∥d；故此說法正確；
③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，則∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此說法正確；
④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°時(shí)，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此說法錯(cuò)誤．
故選：B．
二、填空題（每題4分，共24分）
11．分解因式：a2﹣4b2＝?。╝+2b）（a﹣2b）　．
【分析】直接用平方差公式進(jìn)行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案為：（a+2b）（a﹣2b）．
12．把一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的邊上，如果∠1＝28°，那么∠2＝　62°　．

【分析】先根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和等于90°求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等解答．
解：如圖，∵∠1＝28°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣28°＝62°，
∵直尺的兩邊互相平行，
∴∠2＝∠3＝62°．
故答案為62°．

13．若m+n＝3，則2m2+4mn+2n2﹣6的值為　12?。?br /> 【分析】原式前三項(xiàng)提取2變形后，利用完全平方公式化簡，將m+n的值代入計(jì)算即可求出值．
解：∵m+n＝3，
∴2m2+4mn+2n2﹣6＝2（m+n）2﹣6＝18﹣6＝12．
故答案為：12．
14．計(jì)算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的結(jié)果是　　．
【分析】設(shè)a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，然后根據(jù)整式的乘法與加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解：設(shè)a＝1﹣﹣﹣﹣，b＝+++，
則原式＝a（b+）﹣（a﹣）?b
＝ab+a﹣ab+b
＝（a+b），
∵a+b＝1﹣﹣﹣﹣++++＝1，
∴原式＝．
故答案為：．
15．若y＝3n+1+3n，x＝3n﹣1+3n﹣2，其中n＞2且n為整數(shù)，則x與y之間的數(shù)量關(guān)系為　9x＝y(tǒng)?。?br /> 【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而得出答案．
解：∵y＝3n+1+3n＝9（3n﹣1+3n﹣2），x＝3n﹣1+3n﹣2，
∴9x＝y(tǒng)．
故答案為：9x＝y(tǒng)．
16．如圖，先將正方形ABCD沿BD方向平移，平移的距離為線段BD的一半，得到像A′B′C′D′，我們發(fā)現(xiàn)原圖形和像組成的圖中有3個(gè)正方形，再將正方形A′B'C′D′作類似的第二次、第三次…平移變換，如果經(jīng)過2022次平移變換，那么原圖形和所有像組成的圖形中共有　8087　個(gè)正方形．

【分析】平移一次得到3個(gè)正方形，平移兩次等到7個(gè)正方形，平移三次得到11個(gè)正方形，總結(jié)規(guī)律為4n﹣1．由此規(guī)律解答．
解：由分析得：平移n次得到的正方形個(gè)數(shù)為：3+4（n﹣1）＝4n﹣1，
當(dāng)平移2022次時(shí)得到的正方形個(gè)數(shù)為：4×2022﹣1＝8087．
故答案為：8087．
三、解答題（本大題7小題，共66分）
17．請將下列證明過程補(bǔ)充完整：
如圖所示，點(diǎn)E在直線DF上，點(diǎn)B在直線AC上，直線AF分別交BD，CE于點(diǎn)G，H．若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，請判斷∠A與∠F的大小關(guān)系，并說明理由．
解：∠A＝∠F．理由如下：
∵∠AGB＝∠DGF，（　對頂角相等?。?br /> ∠AGB＝∠EHF，
∴∠DGF＝∠EHF．（　等量代換?。?br /> ∴BD∥CE．（　同位角相等，得兩直線平行?。?br /> ∴∠C＝∠ABD．（　兩直線平行，同位角相等?。?br /> ∵∠D＝∠C，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF．（　內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?。?br /> ∴∠A＝∠F．

【分析】根據(jù)同位角相等判定DB∥EC，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等判定AC∥DF即可解答．
解：∵∠AGB＝∠DGF，（對頂角相等）
∠AGB＝∠EHF，
∴∠DGF＝∠EHF．（等量代換）
∴BD∥CE．（同位角相等，得兩直線平行）
∴∠C＝∠ABD．（兩直線平行，同位角相等）
∵∠D＝∠C，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
18．（1）計(jì)算：
①（4x3y2﹣6x2y）÷（﹣2x）；
②（）0﹣（）﹣2+（0.125）2021×82022；
（2）解方程（組）：
①；
②3x（x+2）﹣4（x2+8）＝（x+1）（1﹣x）．
【分析】（1）①根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則求出答案即可；
②先根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，積的乘方進(jìn)行計(jì)算，再求出答案即可；
（2）①根據(jù)①+②×3得出5x＝7，求出x，再把x＝代入②求出y即可；
②去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．
解：（1）①（4x3y2﹣6x2y）÷（﹣2x）
＝﹣2x2y2+3xy；

②（）0﹣（）﹣2+（0.125）2021×82022
＝1﹣16+（0.125×8）2021×8
＝﹣15+8
＝﹣7；

（2）①，
①+②×3，得5x＝7，
解得：x＝，
把x＝代入②，得﹣y＝1，
解得：y＝，
所以方程組的解是；

②3x（x+2）﹣4（x2+8）＝（x+1）（1﹣x），
去括號，得3x2+6x﹣4x2﹣32＝1﹣x2，
移項(xiàng)，得3x2+6x﹣4x2+x2＝1+32，
合并同類項(xiàng)，得6x＝33，
系數(shù)化成1，得x＝．
19．如圖所示，線段AB，AD交于點(diǎn)A，C為線段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），且∠BCA為鈍角，過點(diǎn)C在BC的右側(cè)作射線CE⊥BC，過點(diǎn)D作直線DF∥AB，交CE于點(diǎn)G（點(diǎn)G與點(diǎn)D不重合）．
（1）按題目要求在圖上補(bǔ)全圖形；
（2）如果∠B＝25°，求∠CGD的度數(shù)．

【分析】（1）依據(jù)過點(diǎn)C在BC的右側(cè)作射線CE⊥BC，過點(diǎn)D作直線DF∥AB，交CE于點(diǎn)G，畫出圖形即可．
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠1＝∠B，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠2+∠HCG＝180°，進(jìn)而得出∠CGD﹣∠B＝90°可得結(jié)果．
解：（1）補(bǔ)全圖形如圖：

（2）過點(diǎn)C作CH∥AB，
∴∠1＝∠B＝25°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵AB∥DF（已知），
∴CH∥DF（平行于同一直線的兩直線平行）．
∴∠2+∠HCG＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
∵CE⊥BC（已知），
∴∠1+∠HCG＝90°（垂直的定義）．
∴∠CGD+（90°﹣∠B）＝180°，
即∠CGD﹣∠B＝90°．
∴∠CGD＝90°﹣25°＝65°．
20．（1）現(xiàn)有三個(gè)整式：a4+a2﹣1，﹣a2，a4+3a2+1，請你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解；
（2）已知A＝x3÷x2+x?x2，B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2．
①若4A÷B﹣2y＝0，請用含x的代數(shù)式表示y；
②若A＝B+1，求x5﹣x2﹣9x+5的值．
【分析】根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
解：（1）a4+a2﹣1+（﹣a2）＝a4﹣1；
（2）①4（x3÷x2+x?x2）÷[（x+1）2﹣（x﹣1）2]﹣2y
＝4x（x2+1）÷[（x2+2x+1﹣（x2﹣2x+1）]﹣2y）
＝4x（x2+1）÷[（x2+2x+1）﹣（x2﹣2x+1）]﹣2y
＝4x（x2+1）÷4x﹣2y
＝x2﹣2y+1．
∴4A÷B﹣2y＝x2﹣2y+1＝0；
∴y＝．
②∵A＝B+1，
∴x3÷x2+x?x2＝（x+1）2﹣（x﹣1）2+1，
∴x+x3＝4x+1，
即x5﹣x2﹣9x+5
＝x2（x3﹣1）﹣9x+5
＝x2?3x﹣9x+5
＝3（x3﹣3x）+5
＝3×1+5
＝8．
21．完全平方公式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學(xué)問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2．
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：
（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值
（2）如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝6，兩正方形的面積和為16，求△AFC的面積．

【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的適當(dāng)變形即可解答；
（2）設(shè)AC＝a，BC＝CF＝b，根據(jù)題目表示出面積與長度，進(jìn)而利用完全平方公式變形可解答．
解：（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3
∴[（9﹣x）+（6﹣x）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9，
∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7；
（2）設(shè)AC＝a，BC＝CF＝b，
∴a+b＝6，a2+b2＝16，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝10，
∴S△ACF＝ab＝×10＝5．
22．小明媽媽開了一家網(wǎng)店，專門銷售女式鞋子．一次，小明發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一條信息：
A款鞋的進(jìn)價(jià)比B款鞋進(jìn)價(jià)多40元，B款鞋的進(jìn)價(jià)為每雙160元．
（1）小明在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)如下表：
日期
A款女鞋銷量
B款女鞋銷量
銷售總額
5月1日
12雙
8雙
4480元
5月2日
8雙
10雙
3920元
請問兩種鞋的銷售價(jià)分別是多少？
（2）小明媽媽說：“兩款鞋的利潤率相同．”結(jié)合所給的信息，判斷小明媽媽的說法是否正確，如果正確，請說明理由；如果錯(cuò)誤，請給出一種調(diào)整售價(jià)的方案，使得兩款鞋的利潤率相同．
【分析】（1）設(shè)A款女鞋的銷售價(jià)為x元/雙，B款女鞋的銷售價(jià)為y元/雙，根據(jù)5月1日和5月2日兩天的銷售數(shù)量及銷售總額，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）分別求出兩款鞋的利潤率，比較后可得出媽媽的說法錯(cuò)誤，方案一：A款女鞋的銷售價(jià)增加m元，根據(jù)A款女鞋的利潤率為25%，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；方案二：B款女鞋的銷售價(jià)降低n元，根據(jù)B款女鞋的利潤率為20%，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
解：（1）設(shè)A款女鞋的銷售價(jià)為x元/雙，B款女鞋的銷售價(jià)為y元/雙，
依題意得：，
解得：．
答：A款女鞋的銷售價(jià)為240元/雙，B款女鞋的銷售價(jià)為200元/雙．
（2）A款女鞋的進(jìn)價(jià)為160+40＝200（元/雙），
A款女鞋的利潤率為×100%＝20%，
B款女鞋的利潤率為×100%＝25%．
∵20%≠25%，
∴媽媽的說法錯(cuò)誤．
方案一：A款女鞋的銷售價(jià)增加m元，
依題意得：×100%＝25%，
解得：m＝10；
方案二：B款女鞋的銷售價(jià)降低n元，
依題意得：×100%＝20%，
解得：n＝8．
答：媽媽的說法錯(cuò)誤，調(diào)整售價(jià)的方案為：A款女鞋的銷售價(jià)增加10元或B款女鞋的銷售價(jià)降低8元．
23．已知，如圖①，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G是△ABC三邊上的點(diǎn)，且FG∥AC，
（1）若∠EDC＝∠FGC，試判斷DE與BC是否平行，并說明理由．
（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，且MN∥AB，連接GM，若∠A＝60°，∠C＝55°，∠FGM＝4∠MGC，求∠GMN的度數(shù)．
（3）點(diǎn)M、N分別在射線AC、BC上，且MN∥AB，連接GM．若∠A＝α，∠ACB＝β，∠FGM＝n∠MGC，直接寫出∠GMN的度數(shù)（用含α，β，n的代數(shù)式表示）

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠FGB＝∠C，由已知證出∠ADE＝∠FGB，得出∠ADE＝∠C，即可得出結(jié)論；
（2）求出∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝65°，由平行線的性質(zhì)得出∠FGB＝∠C＝55°，由已知得出∠FGM+∠MGC+∠FGB＝5∠MGC+55°＝180°，得出∠MGN＝25°，由平行線的性質(zhì)得出∠MNC＝∠B＝65°，∠MNC＝∠MGN+∠GMN，即可得出答案；
（3）分兩種情況，解法同（2）．
解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵FG∥AC，
∴∠FGB＝∠C，
∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠FGC+∠FGB＝180°，∠EDC＝∠FGC，
∴∠ADE＝∠FGB，
∴∠ADE＝∠C，
∴DE∥BC；
（2）∵∠A＝60°，∠C＝55°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣55°＝65°，
∵FG∥AC，
∴∠FGB＝∠C＝55°，
∵∠FGM＝4∠MGC，
∴∠FGM+∠MGC+∠FGB＝5∠MGC+55°＝180°，
∴∠MGN＝25°，
∵M(jìn)N∥AB，
∴∠MNC＝∠B＝65°，∠MNC＝∠MGN+∠GMN，
∴∠GMN＝∠MNC﹣∠MGN＝65°﹣25°＝40°；
（3）①如圖②所示：
∵∠A＝α，∠ACB＝β，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∵FG∥AC，
∴∠FGB＝∠C＝β，
∵∠FGM＝n∠MGC，
∴∠FGM+∠MGC+∠FGB＝（n+1）∠MGC+β＝180°，
∴∠MGN＝，
∵M(jìn)N∥AB，
∴∠MNC＝∠B＝180°﹣α﹣β，∠MNC＝∠MGN+∠GMN，
∴∠GMN＝∠MNC﹣∠MGN＝180°﹣α﹣β﹣＝（180°﹣β）﹣α．
②如圖③所示：
設(shè)∠MGN＝x，
則∠GMN＝∠GMA+∠NMC＝α+180°﹣nx，
∵（n﹣1）x+β＝180°，
∴x＝，
∴∠GMN＝α+180°﹣nx＝α+180°﹣n＝α+．




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