第04講向量綜合(分層訓(xùn)練)-2022年春季高一數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義（蘇教版2019必修第二冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

基礎(chǔ)組
一、選擇題(共8小題)
1．(2020秋?惠農(nóng)區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m→=22，-22，n→=sinx，csx，x∈0，π，若m→∥n→，則tanx的值( )
A．4；B．3；C．﹣1；D．0
【答案】C．
【解析】m→∥n→，∴22csx+22sinx＝0，∴csx＝﹣sinx，∴tanx=sinxcsx=-1．
2．(2020秋?武陵區(qū)校級月考)向量a→=13，1，b→=csα，sinα，α為第三象限角，且a→∥b→，則cs2021π2+α=( )
A．-1010；B．1010；C．-31010；D．31010
【答案】D．
【解析】∵向量a→=(13，1)，b→=(csα，sinα)，α為第三象限角，且a→∥b→，
∴13csα=1sinα，∴csα=13sinα，∴cs2α+sin2α=109sin2α=1，解得sinα=-310，
∴cs(2021π2+α)=cs(π2+α)＝﹣sinα=310=31010．
3．(2020春?九龍坡區(qū)期末)已知向量a→=(2，1)，b→=(2csα，sinα)且α∈(0，π)，若a→∥b→，則α＝( )
A．π4；B．3π4；C．π3；D．2π3
【答案】A．
【解析】a→∥b→，∴2sinα﹣2csα＝0，∴tanα＝1，∵α∈0，π，∴α=π4．
4．(2020?德陽模擬)平行四邊形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，點E、F分別滿足AE→=2ED→，DF→=FC→，且AF→?BE→=-6．則向量AD→在AB→上的投影為( )
A．2；B．﹣2；C．32；D．-32
【答案】C．
【解析】如圖，AE＝2，DE＝1，DF＝FC＝2．
∵AF→?BE→=-6=(AD→+DF→)?(BA→+AE→)＝(AD→+12AB→)?(-AB→+23AD→)=23AD→2-23AB→?AD→-12AB→2
=23×32-23×3×4×cs∠DAB-12×42．∴cs∠DAB=12．AD→在AB→上的投影為|AD→|cs∠DAB＝3×12=32．
5．(2020?桃城區(qū)校級模擬)已知在△ABC中，AB＝AC＝2，AB→?CA→=-2，點P滿足CP→=13CB→+12CA→，則PA→?PB→=( )
A．-89；B．89；C．-23；D．23
【答案】A．
【解析】AB→?CA→=-2，得csA=12，∵A∈0，π，∴A=π3，∴△ABC為等邊三角形．
以AC的中點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，OB分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(1，0)，B(0，3)，C(﹣1，0)，∴CB→=(1，3)，CA→=(2，0)．
∵CP→=13CB→+12CA→，∴CP→=13(1，3)+12(2，0)＝(43，33)，
∵C(﹣1，0)，∴點P的坐標(biāo)為(13，33)，∴PA→?PB→=(23，-33)?(-13，233)=-29-23=-89．
6．(2020秋?安徽月考)若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足AM→=34AB→+14AC→，則|MB→MC→|＝( )
A．14；B．4；C．13；D．3
【答案】C．
【解析】∵AM→=34AB→+14AC→=34(AM→+MB→)+14(AM→+MC→)
=34AM→+34MB→+14AM→+14MC→=AM→+(34MB→+14MC→)，
∴34MB→+14MC→=0→，得|MB→MC→|=|MB|→|MC→|=13．
7．(2020秋?香坊區(qū)校級月考)如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線與AB，AD所在直線分別交于點M，N，若AB→=mAM→，AN→=nAD→(m＞0，n＞0)，則1m+n的最小值為( )
A．22；B．1；C．22；D．2
【答案】D．
【解析】因為AO→=12AB→+12AD→，又AB→=mAM→，AN→=nAD→，所以AO→=m2AM→+12nAN→，
又O，M，N三點共線，故可得：m2+12n=1，即m+1n=2，則n=12-m，
所以1m+n=1m+12-m=2-m2+2m=2-(m-1)2+1，因為m＞0，所以當(dāng)m＝1時，(1m+n)min＝2．
8．(2020秋?贛州期中)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→．若AE→?AF→=92，CE→?CF→=1，則λ+μ＝( )
A．712；B．2；C．29；D．56
【答案】A．
【解析】由已知條件得：|AB→|=|AD→|=2，＜AB→，AD→＞=60°，且AB→?AD→=2×2×cs60°=2．
因為點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE→=λBC→，DF→=μDC→，
所以由AE→?AF→=92，CE→?CF→=1得：(AB→+BE→)?(AD→+DF→)=(AB→+λAD→)?(AD→+μAB→)=92，
整理得：(1+λμ)AB→?AD→+μAB→2+λAD→2=92，即2(λ+μ)+λμ=54??①，
且CE→?CF→=EC→?FC→=(1-λ)AD→?(1-μ)AB→=1，即1-(λ+μ)+λμ=12??②，
聯(lián)立①②解得λ+μ=712．
二、多選題(共4小題)
9．(2020秋?秦淮區(qū)校級月考)如圖所示，在△ABC中，點D在邊BC上，且CD＝2DB，點E在邊AD上，且AD＝3AE，則( )
A．CE→=13AD→+AC→；B．CE→=13AD→-AC→；C．CE→=29AB→+89AC→；D．CE→=29AB→-89AC→
【答案】BD．
【解析】因為CE→=CA→+AE→，AE→=13AD→，AD→=AB→+BD→，BD→=12BC→，BC→=BA→+AC→，
所以CE→=13AD→-AC→，BD→=13(BA→+AC→)，所以AD→=AB→+BD→=AB→+13BA→+13AC→，
所以AE→=13(AB→+13BA→+13AC→)，所以CE→=CA→+13AB→+19BA→+19AC→=29AB→-89AC→．
10．(2020秋?北碚區(qū)校級月考)如圖，平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=π3，E為CD的中點，AE與DB交于F，則下列敘述中，一定正確的是( )
A．BF→在AB→方向上的投影為0；B．AF→=13AB→+23AD→；
C．AF→?AB→=1；D．若α=12∠FAB，則tanα=33
【答案】ABC．
【解析】平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=π3，所以AB⊥BD，
E為CD的中點，AE與DB交于F，所以BF→在AB→方向上的投影為0，所以A正確；
AF→=23AE→，AE→=12AB→+AD→，∴AF→=13AB→+23AD→．所以B正確；
AF→?AB→=(13AB→+23AD→)?AB→=13AB→2+23AD→?AB→=13×12+23×1×2×12=1，所以C正確；
若α=12∠FAB≠π6，則tanα≠33，所以D不正確．
11．(2020秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知平面向量OA→、OB→、OC→為三個單位向量，且OA→?OB→=0，若OC→=xOA→+yOB→(x，y∈R)，則x+y的可能取值為( )
A．0；B．1；C．2；D．2
【答案】ABC．
【解析】∵|OA→|=|OB→|=|OC→|=1，OA→?OB→=0，∴OA→⊥OB→，設(shè)OA→=(1，0)，OB→=(0，1)，
∴OC→=(x，y)，x2+y2＝1，設(shè)x＝csθ，y＝sinθ，則x+y＝csθ+sinθ=2sin(θ+π4)，
∴-2≤x+y≤2，∴x+y的可能取值為0，1，2．
12．(2020秋?福州期中)已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，如下四個結(jié)論正確的是( )
A．AB→⊥AC→；B．四邊形ABCD為平行四邊形；C．AC→與BD→夾角的余弦值為729145；D．|AB→+AC→|=85
【答案】BD．
【解析】∵已知A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，
∴AB→=( 2，﹣3)，AC→=(7，1)，DC→=(2，﹣3)，BD→=( 3，7)，
∴AB→?AC→=2×7﹣3×1＝11≠0，故A錯誤；
由AB→=DC→，可得四邊形ABCD為平行四邊形，故B正確；
cs＜AC→，BD→＞=AC→?BD→|AC→|?|BD→|=3×7+1×749+1?9+49=281029=1429145，故C錯誤；
∵AB→+AC→=(9，﹣2)，∴|AB→+AC→|=81+4=85，故D正確．
三、填空題(共4小題)
13．(2017?河?xùn)|區(qū)校級模擬)△ABC的外接圓圓心為P，若點P滿足AP→=25(AB→+AC→)，則cs∠BAC＝______．
【答案】14
【解析】設(shè)BC邊中點為M，則AB→+AC→=2AM→，由題設(shè)AP→=25(AB→+AC→)，∴5AP→=4AM→
∴A、P、M共線，且AP＝4PM，而∠BPM＝2∠BAM，∴∠BPM＝∠BAC，即cs∠BAC=PMPB=14．
14．(2021?浙江模擬)如圖，已知有兩個以O(shè)為圓心的同心圓，小圓的半徑為1，大圓的半徑為2，點A為小圓上的動點，點P，Q是大圓上的兩個動點，且AP→?AQ→=1，則|PQ→|的最大值是______．
【答案】23．
【解析】由題意AP→?AQ→=(OP→-OA→)?(OQ→-OA→)=OP→?OQ→-OA→?OQ→-OP→?OA→+1＝1，
所以O(shè)P→?OQ→-OA→?OQ→-OP→?OA→=0，
由(OP→+OQ→-OA→)2=OP→2+OQ→2+OA→2+2(OP→?OQ→-OA→?OQ→-OP→?OA→)＝9，
所以|OP→+OQ→-OA→|＝3，又|OP→+OQ→|﹣|OA→|≤|OP→+OQ→-OA→|≤|OP→+OQ→|+|OA→|，
所以2≤|OP→+OQ→|≤4，又|OP→+OQ→|2+|OP→-OQ→|2＝2(|OP→|2+|OQ→|2)＝16，
所以0≤|OP→-OQ→|≤23，即0≤|PQ→|≤23，|PQ→|的最大值是23．
15．(2021?浙江模擬)已知O為△ABC的外接圓圓心，且AO→?AB→=2AO→?AC→，則|AB→||AC→|的值為______．
【答案】2．
【解析】如圖所示，AO→?AB→=|AO→||AB→|cs∠BAO，AO→?AC→=|AO→||AC→|cs∠CAO，
由O為△ABC的外心，得向量AO→在AB→上的投影12|AB→|，AO→在AC→上的投影為12|AC→|，
即|AO→|cs∠BAO=12|AB→|，|AO→|cs∠CAO=12|AC→|，從而12|AB→|2＝2×12|AC→|2，
所以|AB→|=2|AC→|，因此|AB→||AC→|=2．
16．(2020秋?松江區(qū)期末)已知向量|a→|＝|b→|＝|c→|＝1，若a→?b→=12，且c→=xa→+yb→，則x+y的最大值為______．
【答案】233．
【解析】∵|a→|＝|b→|，且a→?b→=12，∴a→與b→的夾角為60°，設(shè)a→=(1，0)，則b→=(12，32)，
∵c→=xa→+yb→，∴c→=(x+12y，32y)，又|c→|＝1，∴(x+12y)2+(32y)2＝1，化簡得x2+xy+y2＝1，
∴(x+y)2﹣1＝xy≤(x+y)24，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)=33時，等號成立，∴x+y≤233．
提高組
一、選擇題(共8小題)
1．(2020?北海一模)已知向量a→=(1，8)，b→=(2x，4)，若a→∥b→，則x＝( )
A．﹣2；B．﹣1；C．1；D．2
【答案】B．
【解析】根據(jù)題意，向量a→=(1，8)，b→=(2x，4)，若a→∥b→，則有8×2x＝4，即2x=12，解得x＝﹣1．
2．(2020春?金華期中)已知向量a→=(3csθ，3sinθ)，b→=(0，-3)，θ∈(π2，π)，則向量a→、b→的夾角為( )
A．3π2-θ；B．θ-π2；C．π2+θ；D．θ
【答案】A．
【解析】∵a→=(3csθ，3sinθ)，b→=(0，﹣3)，∴|a→|＝3，|b→|＝3，a→?b→=3csθ×0+3sinθ×(﹣3)＝﹣9sinθ，
設(shè)向量a→與b→夾角為α，則csα=a→?b→|a→|?|b→|=-sinθ＝cs(3π2-θ)，
又∵θ∈(π2，π)，3π2-θ∈(π2，π)，且α∈[0，π]，∴α=3π2-θ．
3．(2020秋?市中區(qū)校級月考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，若對任意實數(shù)k，不等式|kAB→+tBC→|＞1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是( )
A．-∞，-33∪33，+∞；B．-∞，-233∪233，+∞；C．233，+∞；D．33，+∞
【答案】B．
【解析】因為△ABC是邊長為1的等邊三角形，所以AB→?BC→=cs120°=-12，
由|kAB→+tBC→|＞1兩邊平方得k2(AB→)2+2ktAB→?BC→+t2(BC→)2＞1，
即k2﹣kt+t2﹣1＞0，構(gòu)造函數(shù)f(k)＝k2﹣tk+t2﹣1，由題意，△＝t2﹣4(t2﹣1)＜0，解得t＜-233或t＞233．
4．(2020春?焦作期中)已知△ABC內(nèi)接于圓O，且線段AB的延長線與線段OC的延長線相交．設(shè)OC→=λOA→+μOB→，則λ+μ的取值范圍是( )
A．(﹣1，1)；B．(﹣1，0)；C．(0，1)；D．(-12，12)
【答案】C．
【解析】設(shè)線段AB的延長線與線段OC的延長線相交于點D，則易知點D是圓O外一點，如圖
設(shè)OD→=tOC→(t＞1)，由B，A，D三點共線且D在圓O外可得：AD→=kAB→(k＞1)，
又∵OD→=OA→+AD→，∴OD→=kOB→+(1-k)OA→，故tOC→=kOB→+(1-k)OA→(t＞1，k＞1)，
則OC→=ktOB→+1-ktOA→(k＞1，t＞1)．又∵OC→=λOA→+μOB→，∴λ=1-kt，μ=kt，
∴λ+μ=1t∈(0，1)．
5．(2020春?荊州期末)△ABC中，AD→=DC→，點M在BD上，且滿足AM→=37AB→+tAC→，則實數(shù)t的值為( )
A．67；B．47；C．27；D．59
【答案】C．
【解析】如圖，因為AD→=DC→，所以AD→=12AC→，則AM→=AD→+DM→=12AC→+DM→，
因為M在BD上，不妨設(shè)DM→=kDB→=k(AB→-AD→)＝k(AB→-12AC→)，
則AM→=12AC→+DM→=12AC→+k(AB→-12AC→)=12(1﹣k)AC→+kAB→，因為AM→=37AB→+tAC→，
所以k=3712(1-k)=t，解得t=27．
6．(2017?上海)如圖所示，正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為2，若P為該正八邊形邊上的動點，則A1A3→?A1P→的取值范圍為( )
A．[0，8+62]；B．[-22，8+62]；C．[-8-62，22]；D．[-8-62，8+62]
【答案】B．
【解析】由題意，正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一個內(nèi)角為135°，
且|A1A2→|=|A1A8→|=2，|A1A3→|=|A1A7→|=22+2，|A1A4→|=|A1A6→|=2+22，|A1A5→|=4+22．
再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及值域可得，
當(dāng)P與A8重合時，A1A3→?A1P→最小為2×22+2×cs112.5°=2×22+2×(-2-22)=-22．
結(jié)合選項可得A1A3→?A1P→的取值范圍為[-22，8+62]．
7．(2020秋?昌江區(qū)校級期末)已知D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且滿足AE→=34AC→，AF→=23AB→，AD→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，DF→=μ(BD→sinB|BD→|+AD→csB|AD→|)(λ，μ∈R)DE→?DA→=DE→?DC→，則|EF→||BC→|=( )
A．12；B．23；C．32；D．22
【答案】D．
【解析】∵AD→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)，
∴AD→?BC→=λ(AB→|AB→|csB+AC→|AC→|csC)?BC→=λ(-|AB→|?|BC→|csB|AB→|csB+|AC→|?|BC→|csC|AC→|csC)＝λ(-|BC→|+|BC→|)＝0，
∴AD⊥BC．∵DE→?DA→=DE→?DC→，∴DE→?(DA→-DC→)=DE→?CA→=0，即DE⊥AC．
∵DF→=μ(BD→sinB|BD→|+AD→csB|AD→|)，∴DF→?BA→=μ(|BD→|?|BA→|csBsinB|BD→|+-|AD→|?|BA→|sinBcsB|AD→|)＝0，∴DF⊥AB．
如圖所示，連接EF，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴A、E、D、F四點共圓，∴∠AEF＝∠ADF，
∵AD⊥BC，∴∠B＝∠ADF，∴∠B＝∠AEF，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AEAB=AFAC，
∵AE→=34AC→，AF→=23AB→，∴34ACAB=23ABAC，即AC=223AB，∴EFBC=AEAB=34×223ABAB=22，即|EF→||BC→|=22．
8．(2019秋?鼓樓區(qū)校級期末)在正△ABC內(nèi)有一點M，滿足等式CM→=mCA→+nCB→，∠MCA＝45°，則mn=( )
A．3-12；B．2-22；C．6-22；D．3-1
【答案】A．
【解析】如圖，過M作DM∥BC交AC于點D，作EM∥AC交BC于點E，
則CM→=CD→+CE→=CDACCA→+CECBCB→．因為CM→=mCA→+nCB→，由向量的基本定理可得m=CDAC，n=ECCB，
因為△ABC為正三角形，所以AC＝BC，所以mn=CDCE．在△CDM中，∠MCD＝45°，∠CMD＝15°，
所以CDCE=CDCM=sin15°sin45°=6-2422=3-12．
二、多選題(共3小題)
9．(2020秋?興寧市校級期末)已知向量a→=(sinα，csα)，b→=(1，2)，則下列命題正確的是( )
A．若a→∥b→，則tanα=12；B．若a→⊥b→，則tanα=12；
C．若f(α)=a→?b→取得最大值時，則tanα=12；D．|a→-b→|的最大值為5+1
【答案】ACD．
【解析】a→∥b→，則2sinα﹣csα＝0，∴tanα=12，即命題A正確；
若a→⊥b→，則a→?b→=sinα+2csα=0，∴tanα＝﹣2，即命題B錯誤；
若f(α)=a→?b→=sinα+2csα=5sin(α+β)，(其中tanβ＝2)取得最大值，則α+β=π2，
∴α=π2-β，tanα=ctβ=12，即命題C正確；
a→-b→=(sinα-1，csα-2)，
∴|a→-b→|=(sinα-1)2+(csα-2)2=6-2(sinα+2csα)=6-25sin(α+γ)，
其中tanγ＝2，∴sin(α+γ)＝﹣1時，|a→-b→|取得最大值6+25=5+1，即命題D正確．
10．(2020秋?菏澤期中)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的點，且AE→=EB→，AD→=2DC→，BD與CE交于點O，則( )
A．OC→+EO→=0→；B．AB→?CE→=0；C．|OA→+OB→+OC→+OD→|=3；D．ED→在BC→方向上的投影為76
【答案】BD．
【解析】以AB的中點E為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則由|AB|＝2可得A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，3)，E(0，0)，D(-13，233)，
設(shè)O(0，y)，則y∈(0，3)，因為B，O，D三點共線，則BO→∥DO→，
又BO→=(-1，y)，DO→=(13，y-233)，所以13y=-1×(y-233)，
解得y=32，即O是CE的中點，所以O(shè)C→=EO→，A錯誤，
在等邊三角形ABC中，因為點E是AB的中點，所以CE⊥AB，則AB→?CE→=0，B正確，
因為OA→+OB→+OC→+OD→=(﹣1，-32)+(1，-32)+(0，3-32)+(-13，233-32)＝(-13，-33)，
所以|OA→+OB→+OC→+OD→|＝|(-13，-33)|=(-13)2+(-33)2=23，C錯誤，
因為ED→=(-13，233)，BC→=(-1，3)，所以ED→在BC→方向上的投影為ED→?BC→|BC→|=13+22=76，D正確．
11．(2020秋?河北月考)已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，P為平面ABCD內(nèi)一點，則(PA→+PB→)?(PC→+PD→)( )
A．最小值為﹣4；B．最大值為﹣4；C．無最小值；D．無最大值
【答案】AD．
【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系
則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)．
設(shè)P(x，y)，則PA→=(-x，-y)，PB→=(2-x，-y)，PC→=(2-x，2-y)，PD→=(-x，2-y)，
所以(PA→+PB→)?(PC→+PD→)=(2-2x，-2y)?(2-2x，4-2y)=(2-2x)2+(2y-2)2-4，
所以當(dāng)x＝1，y＝1時，(PA→+PB→)?(PC→+PD→)取得最小值﹣4，無最大值．
三、填空題(共5小題)
12．(2020?上海)已知A1、A2、A3、A4、A5五個點，滿足AnAn+1→?An+1An+2→=0(n＝1，2，3)，|AnAn+1→|?|An+1An+2→|＝n+1(n＝1，2，3)，則|A1A5→|的最小值為______．
【答案】63．
【解析】設(shè)|A1A2→|=x，則|A2A3→|=2x，|A3A4→|=3x2，|A4A5→|=83x，設(shè)A1(0，0)，如圖，
∵求|A1A5→|的最小值，則：A2(x，0)，A3(x，2x)，A4(-x2，2x)，A5(-x2，-23x)，
∴|A1A5→|2=(-x2)2+(-23x)2=x24+49x2≥23，當(dāng)且僅當(dāng)x24=49x2，即x=233時取等號，
∴|A1A5→|的最小值為63．
13．(2019?天津)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，則BD→?AE→=______．
【答案】﹣1．
【解析】∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，
又AB＝23，∴AE＝2，∴BE→=-25AD→，∵AE→=AB→+BE→，∴AE→=AB→-25AD→
又BD→=BA→+AD→=-AB→+AD→，
∴BD→?AE→=-AB→+AD→?AB→-25AD→=-AB→2+75AB→?AD→-25AD→2
=-AB→2+75|AB|→?|AD|→csA-25AD→2＝﹣12+75×5×23×32-25×25＝﹣1．
14．(2020秋?普陀區(qū)期末)如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC=π2，AB＝AD＝1，BC＝2，M為BD的中點，設(shè)P、Q分別為線段AB、CD上的動點，若P、M、Q三點共線，則AQ→?CP→的最大值為______．
【答案】-2．
【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．B(0，0)，C(2，0)，A(0，1)，D(1，1)，M(12，12).
設(shè)P(0，m)，m∈[0，1]．設(shè)CQ→=kCD→，則BQ→=BC→+kCD→=(2，0)+k(﹣1，1)＝(2﹣k，k)，k∈[0，1]．
∵P、M、Q三點共線，∴可以設(shè)BM→=λBQ→+(1﹣λ)BP→=(2λ﹣λk，λk+m﹣λm)＝(12，12)，
∴2λ﹣λk=12，λk+m﹣λm=12．消去λ可得：k=2-3m2m+2．
則AQ→?CP→=(2﹣k，k﹣1)?(﹣2，m)＝﹣4+2k+mk﹣m＝﹣4+(2+m)×2-3m2m+2-m=52[1m+1-(m+1)]﹣2．
令f(m)=52[1m+1-(m+1)]﹣2．m∈[0，1]．則f(m)在m∈[0，1]上單調(diào)遞減，
因此m＝0時，f(m)取得最大值f(0)＝﹣2．
15．(2020·鹽城三模)在銳角△ABC中，已知AH是BC邊上的高，且滿AH→=13AB→+23AC→，則ACAB的取值范圍是______．
【答案】22，1．
【解析】AH→=13AB→+23AC→，∴H分BC為BHCH=2．如圖，建系，設(shè)A0，h，Cm，0，B-2m，0，
m，h>0．則ACAB=m2+h24m2+h2=1+hm24+hm2=1-34+hm2．
依題意，AB→·AC→=h2-2m2>0，∴hm2>2，∴ACAB∈22，1．
16．(2020·泰州模擬)在銳角△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，若AB→=3AD→，AC→=λAF→，且BC→·ED→=2EF→·ED→=6，ED→=1，則實數(shù)λ的值為______．
【答案】.3．
【解析】如圖，建系．依題意，xF=3，xC-xB=6，1-xB=2xA-1，得
xC=6+xB，2xA=3-xB，∴xC+2xA=9=3xF，∴xF=13xC+23xA，
A，F(xiàn)，C共線，∴AFFC=12，∴λ=3．
附：分層訓(xùn)練答案
基礎(chǔ)組
一、選擇題(共8小題)
1．C；2．D；3．A；4．C；5．A；6．C；7．D；8．A．
二、填空題(共4小題)
9．BD；10．ABC；11．ABC；12．BD．
三、填空題(共4小題)
13．14；14．23；15．2；16．233．
提高組
一、選擇題(共8小題)
1．B；2．A；3．B；4．C；5．C；6．B；7．D；8．A．
二、填空題(共3小題)
9．ACD；10．BD；11．AD．
三、填空題(共5小題)
12．63；13．﹣1；14．-2；15．22，1；16．3．

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