第02講向量的運(yùn)算(分層訓(xùn)練)-2022年春季高一數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義（蘇教版2019必修第二冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

基礎(chǔ)組
一、選擇題(共6小題)
1．(2020秋?上饒期末)已知向量a→，b→的夾角為30°，|a→|=2，|b→|=3，則|2a→+b→|=( )
A．3；B．3；C．31；D．12
【答案】C．
【解析】∵向量a→與b→的夾角為30°，|a→|=2，|b→|=3，∴|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→?b→+b→2=4×22+4×2×3×32+(3)2=31．
2．(2020秋?商洛期末)已知向量a→，b→滿足|a→|=2|b→|=4，且a→?b→=-43，則向量a→，b→的夾角是( )
A．π6；B．5π6；C．π3；D．2π3
【答案】B．
【解析】由題意可得cs?a→，b→?=a→?b→|a→||b→|=-434×2=-32，由于向量的夾角的范圍為[0，π]，
則向量a→，b→的夾角是5π6．
3．(2020秋?房山區(qū)期末)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB=12，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)，則AC→?BE→=( )
A．﹣2；B．﹣1；C．1；D．2
【答案】C．
【解析】如圖，∵AD=1，AB=12，∠BAD=60°，
又AC→=AB→+AD→，BE→=BC→+CE→=AD→-12AB→，
∴AC→?BE→=(AB→+AD→)?(AD→-12AB→)=-12AB→2+AD→2+12AB→?AD→=-18+1+18=1．
4．(2020秋?丹東期末)設(shè)向量a→，b→不共線，向量a→+b→與2a→-kb→共線，則實(shí)數(shù)k＝( )
A．﹣2；B．﹣1；C．1；D．2
【答案】A．
【解析】向量a→，b→不共線，向量a→+b→與2a→-kb→共線，
則2a→-kb→=λ(a→+b→)，(2﹣λ)a→-(k+λ)b→=0→，2-λ=0k+λ=0，解得λ＝2，k＝﹣2．
5．(2020秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末)已知平面向量a→=(1，m)，b→=(-1，3)，且|a→-b→|=|a→+b→|，則m＝( )
A．233；B．33；C．3；D．33
【答案】B．
【解析】∵|a→-b→|=|a→+b→|，∴(a→-b→)2=(a→+b→)2，
即a→2+b→2-2a→?b→=a→2+b→2+2a→?b→，∴a→?b→=-1+3m=0，解得m=33．
6．(2021?九模擬)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)且DF＝2FC，則EF→=( )
A．712AB→-112AC→；B．-112AB→-712AC→；C．712AB→+112AC→；D．-112AB→+712AC→
【答案】D．
【解析】如圖所示：EF→=ED→+DF→=12AD→+23DC→
=12AD→+13BC→=12×12(AB→+AC→)+13(AC→-AB→)=-112AB→+712AC→．
二、多選題(共3小題)
7．(2020秋?大連期末)下列結(jié)論正確的是( )
A．一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；
B．若ae1→+be2→=ce1→+de2→，(a，b，c，d∈R，e1→，e2→是單位向量)，則a＝c，b＝d；
C．向量a→與b→共線?存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a→+λ2b→=0→；
D．已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若OP→=xOA→+yOB→，則x+y＝1
【答案】CD．
【解析】根據(jù)基底的概念可知，平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)e1→，e2→是共線向量時(shí)，結(jié)論不一定成立，故B錯(cuò)誤；
若a→與b→均為零向量，則顯然符合題意，且存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得λ1a→+λ2b→=0→；
若a→≠0→，則由兩向量共線知，存在λ，使得b→=λa→，即λa→-b→=0→，符合題意，故C正確；
由于A，B，P三點(diǎn)共線，所以AB→，AP→共線，由共線向量定理可知，存在實(shí)數(shù)λ使得AP→=λAB→，即OP→-OA→=λ(OB→-OA→)，所以O(shè)P→=(1﹣λ)OA→+λOB→，故x＝1﹣λ，y＝λ，所以x+y＝1，故D正確．
8．(2020秋?湖南月考)已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，|a→+b→|=3，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．a(chǎn)→?b→=-2；B．a(chǎn)→⊥(a→+b→)；C．|a→-b→|=7；D．a(chǎn)→與b→的夾角為π3
【答案】BC．
【解析】|a→+b→|2=a→2+2a→?b→+b→2=1+2a→?b→+4=3，∴a→?b→=-1，
∴a→?(a→+b→)=0，∴a→⊥(a→+b→)，|a→-b→|=a→2-2a→?b→+b→2=7，
cs＜a→，b→＞=a→?b→|a→||b→|=-12，∴a→與b→的夾角為2π3，故BC正確．
9．(2020秋?重慶月考)已知向量a→=(1，3)，b→=(﹣2，1)，c→=(3，﹣5)，則( )
A．(a→+2b→)∥c→；B．(a→+2b→)⊥c→；C．|a→+c→|=10+34；D．|a→+c→|=2|b→|
【答案】AD．
【解析】a→+2b→=(﹣3，5)，故A對(duì)B錯(cuò)；
|a→+c→|=(1+3)2+(3-5)2=25=2|b→|，故C錯(cuò)D對(duì)，綜上，AD正確．
三、填空題(共3小題)
10．(2020秋?新余期末)已知Rt△ABC，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，|AB→|＝63，|AC→|＝6，AE→=12ED→，則AE→?EB→等于______．
【答案】14．
【解析】依據(jù)題意作出如下圖象：因?yàn)锳E→=12ED→，所以A，E，D三點(diǎn)共線．AE→=13AD→=13×12(AB→+AC→)，EB→=-BE→=-(BA→+AE→)=-(-56AB→+16AC→)=56AB→-16AC→，
又AB→?AC→=0，所以AE→?EB→=16(AB→+AC→)?(56AB→-16AC→)=136(5AB→2-AC→2)=136(5×(63)2-62)=14．
11．(2020秋?威寧縣期末)已知單位向量a→和b→滿足|a→+b→|=5|a→-b→|，則a→與b→的夾角的余弦值為______．
【答案】23．
【解析】根據(jù)題意，設(shè)a→與b→的夾角為θ，若|a→+b→|=5|a→-b→|，則(a→+b→)2＝5(a→-b→)2，
變形可得2+2csθ＝5(2﹣2csθ)，解可得：csθ=23．
12．(2020秋?天津期末)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD=π3，點(diǎn)EF在CD上且滿足DE→=13DC→，DF→=23DC→，若M為AB的中點(diǎn)，且AF→?ME→=1，則AB的長為______．
【答案】94．
【解析】如圖，∵DE→=13DC→，DF→=23DC→，且DC→=AB→，MA→=-12AB→，
∴AF→=AD→+DF→=AD→+23AB→，ME→=MA→+AD→+DE→=-12AB→+AD→+13AB→=-16AB→+AD→，且AD=1，∠BAD=π3，AF→?ME→=1，∴(AD→+23AB→)?(-16AB→+AD→)=AD→2-19AB→+12AB→?AD→=1-19|AB→|2+14|AB→|=1，解得|AB→|=94或0(舍去)，∴AB=94．
四、解答題(共2小題)
13．(2020秋?上饒期末)已知向量a→=(1，3)，b→=(x，2)．
(1)若(2a→-b→)⊥b→時(shí)，求x的值；
(2)若向量a→與向量b→的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
【答案】(1)x＝﹣2或x＝4；(2){x|x＞-6，且x≠23}．
【解析】(1)∵向量a→=(1，3)，b→=(x，2)，∴2a→-b→=(2-x，4)，
∵(2a→-b→)⊥b→，∴(2a→-b→)?b→=0，∴x2﹣2x﹣8＝0，解得x＝﹣2或x＝4；
(2)∵向量a→與向量b→的夾角為銳角，∴a→?b→＞0，且向量a→與向量b→不共線，
∴x+6＞03x≠2，解得x＞﹣6，且x≠23，∴x的取值范圍為{x|x＞-6，且x≠23}．
14．(2020秋?威寧縣期末)已知向量a→與b→的夾角為120°，|a→|=2，|b→|=1．
(Ⅰ)若|a→-2b→|；
(Ⅱ)若(a→+tb→)⊥(2a→-b→)，求實(shí)數(shù)t的值．
【答案】(1)23；(2)3．
【解析】(Ⅰ)∵|a→|=2，|b→|=1，＜a→，b→＞=120°，
∴|a→-2b→|=(a→-2b→)2=a→2-4a→?b→+4b→2=4+4+4=23；
(Ⅱ)∵(a→+tb→)⊥(2a→-b→)，∴(a→+tb→)?(2a→-b→)=2a→2+(2t-1)a→?b→-tb→2=8﹣(2t﹣1)﹣t＝0，解得t＝3．
提高組
一、選擇題(共6小題)
1．(2020秋?大通縣期末)已知a→，b→為單位向量，且a→，b→的夾角為π3，則|2a→-b→|＝( )
A．1；B．2；C．3；D．2
【答案】C．
【解析】a→，b→為單位向量，且a→，b→的夾角為π3，所以|2a→-b→|=(2a→-b→)2=3．
2．(2020秋?湖北月考)已知平面上三個(gè)不同的點(diǎn)M，F(xiàn)，P，若MF→?MP→=|MP→|2，則( )
A．PM⊥PF；B．PM⊥MF；C．PM→?PF→＜0；D．PM→?PF→＞0
【答案】A．
【解析】因?yàn)镸F→=MP→+PF→，所以MF→?MP→=(MP→+PF→)?MP→=MP→2+PF→?MP→=MP→2，所以PF→?MP→=0，所以PM⊥PF．
3．(2020秋?三明期末)設(shè)非零向量a→，b→的夾角為θ．若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→-b→)，則θ等于( )
A．30°；B．60°；C．120°；D．150°
【答案】B．
【解析】∵非零向量a→，b→的夾角為θ，若|b→|=2|a→|，且(a→+2b→)⊥(3a→-b→)，∴(a→+2b→)?(3a→-b→)＝3a→2+5a→?b→-2b→2=3a→2+5|a→|?|2a→|csθ﹣8a→2=0，∴csθ=12，∴θ＝60°，
4．(2020秋?營口期末)已知圓C的半徑為3，AB是圓C的一條直徑，M，N為圓上動(dòng)點(diǎn)，且MN＝4，點(diǎn)E在線段MN上，則AE→?BE→的最小值為( )
A．﹣3；B．﹣4；C．﹣5；D．﹣6
【答案】B．
【解析】由題意得，AC→=-BC→，
AE→?DE→=(AC→+CE→)?(BC→+CE→)=AC→?BC→+AC→?CE→+BC→?CE→+CE→2，
=-AC→2+CE→?(AC→+BC→)+CE→2，=-AC→2+CE→2，
當(dāng)CE→⊥MN→時(shí)，|CE→|取最小值，此時(shí)|CE→|min=CM2-ME2=5．
故AE→?BE→的最小值為﹣9+5＝4．
5．(2021?五模擬)已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E為AB上的點(diǎn)，且BE→=2EA→，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則AF→?DE→=( )
A．﹣2；B．﹣5；C．﹣6；D．﹣8
【答案】B．
【解析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，距離如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，A(0，3)，D(4，3)，E(0，2)，F(xiàn)(2，0)，AF→=(2，﹣3)，DE→=(﹣4，﹣1)，則AF→?DE→=2×(﹣4)+(﹣3)×(﹣1)＝﹣5．
6．(2021?十模擬)在△ABC中，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AM上，并且3AN＝2NM，則BN→=( )
A．-45AB→+15AC→；B．45AB→-15AC→；C．45AB→+15AC→；D．-45AB→-15AC→
【答案】A．
【解析】如圖，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴AM→=AB→+AC→2，又3AN＝2NM，∴AN→=25AM→=AB→+AC→5，
∴BN→=AN→-AB→=-45AB→+15AC→．
二、多選題(共3小題)
7．(2019秋?文登區(qū)期末)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為a，則下列結(jié)論正確的是( )
A．AB→?A1C1→=-a2；B．BD→?BD1→=2a2；C．AC→?BA1→=-a2；D．AB→?AC1→=2a2
【答案】BC．
【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，以邊AB，AD，AA1所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：A(0，0，0)，B(a，0，0)，A1(0，0，a)，C1(a，a，a)，D(0，a，0)，D1(0，a，a)，C(a，a，0)，∴AB→=(a，0，0)，A1C1→=(a，a，0)，BD→=(-a，a，0)，BD1→=(-a，a，a)，AC→=(a，a，0)，BA1→=(-a，0，a)，AC1→=(a，a，a)，∴AB→?A1C1→=a2，BD→?BD1→=2a2，AC→?BA1→=-a2，AB→?AC1→=a2．
8．(2020秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)在平行四邊形ABCD中，|AB→|=2，|AD→|=1，DE→=2EC→，AE交BD于F且AE→?BD→=-2，則下列說法正確的有( )
A．AE→=13AC→+23AD→；B．DF→=25DB→；
C．＜AB→，AD→＞=π3；D．FB→?FC→=2725
【答案】BCD．
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：AE→=AD→+DE→=AD→+23DC→=AD→+23(AC→-AD→)=13AD→+23AC→，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：易證明△DEF∽△BFA，所以DFBF=DEAB=23，所以DF→=23FB→=25DB→，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：AE→?BD→=-2，即(AD→+23AB→)?(AD→-AB→)＝﹣2，所以AD→2-13AB→?AD→-23AB→2＝﹣2，所以1-13AB→?AD→-23×4＝﹣2，解得AB→?AD→=1，cs＜AB→，AD→＞=AB→?AD→|AB→|×|AD→|=12×1=12，因?yàn)椋糀B→，AD→＞=[0，π]，所以＜AB→，AD→＞=π3，故選項(xiàng)C正確．
對(duì)于選項(xiàng)D：FB→?FC→=35DB→?(FD→+DC→)=35(AB→-AD→)?(25BD→+AB→)，
=35(AB→-AD→)?[25(AD→-AB→)+AB→]=35(AB→-AD→)?(35AB→+25AD→)，
=925×AB→2-3AB→?AD→-625×AD→2=925×4-325-625=2725，故選項(xiàng)D正確．
9．(2020秋?鼎城區(qū)校級(jí)期中)已知向量a→=(m，3)，b→=(2，-4)，若(a→+b→)⊥a→，則( )
A．m＝1或m＝﹣3；B．m＝﹣1或m＝3；
C．|a→+b→|=2或|a→+b→|=10；D．|a→+b→|=2或|a→+b→|=26
【答案】AC．
【解析】根據(jù)題意，向量a→=(m，3)，b→=(2，-4)，則a→+b→=(m+2，﹣1)，
若(a→+b→)⊥a→，則有m(m+2)+(﹣1)×3＝m2+2m﹣3＝0，解可得：m＝1或﹣3，故A正確，B錯(cuò)誤；
當(dāng)m＝1時(shí)，a→+b→=(3，﹣1)，則|a→+b→|=9+1=10，當(dāng)m＝﹣3時(shí)，a→+b→=(﹣1，﹣1)，則|a→+b→|=1+1=2，故|a→+b→|=2或10，故C正確，D錯(cuò)誤．
三、填空題(共3小題)
10．(2020秋?南平期末)已知向量a→=(1，1，0)，b→=(-1，0，2)，若(a→+kb→)與(2a→+b→)互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值為______．
【答案】﹣1．
【解析】根據(jù)題意，向量a→=(1，1，0)，b→=(-1，0，2)，
則a→+kb→=(1﹣k，1，2k)，2a→+b→=(1，2，2)，
若(a→+kb→)與(2a→+b→)互相垂直，則(a→+kb→)?(2a→+b→)=1﹣k+2+4k＝0，解可得k＝﹣1．
11．(2020秋?永州期末)在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與D1B1的交點(diǎn)，設(shè)AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，則向量AM→______(用a→，b→，c→表示)．
【答案】12a→+12b→+c→．
【解析】如圖，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，則AM→=AA1→+A1M→=AA1→+12A1C1→=AA1→+12(A1B1→+A1D1→)=AA1→+12(AB→+AD→)=12a→+12b→+c→．
12．(2020秋?西湖區(qū)校級(jí)期末)若ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=π3，則AB→?AD→=______，|AB→-CB→|＝______．
【答案】2；23．
【解析】因?yàn)锳BCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=π3，所以AB→?AD→=|AB→||AD→|cs∠BAD=2×2×12=2；|AB→-CB→|=|AB→+BC→|=|AC→|，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，由余弦定理可得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cs120°=22+22-2×2×2×(-12)=12，所以AC=23，故|AB→-CB→|=23．
四、解答題(共2小題)
13．(2020秋?浦東新區(qū)期末)已知a→=(1，2)，b→=(2，﹣2)，c→=b→-λa→．
(1)求a→與b→的夾角θ的余弦值；
(2)若a→⊥c→，求實(shí)數(shù)λ的值和向量c→．
【答案】(1)-1010；(2)λ=-25，c→=(125，-65)．
【解析】(1)∵a→=(1，2)，b→=(2，﹣2)．∴a→與b→的夾角θ的余弦值為：
csθ=a→?b→|a→|?|b→|=2-45?8=-1010．
(2)∵a→=(1，2)，b→=(2，﹣2)，c→=b→-λa→．∴c→=(2，﹣2)﹣(λ，2λ)＝(2﹣λ，﹣2﹣2λ)，
∵a→⊥c→，∴a→?c→=1×(2﹣λ)+2×(﹣2﹣2λ)＝0，解得λ=-25，∴c→=(125，-65)．
14．(2020秋?遼陽期末)(1)設(shè)a→，b→是兩個(gè)不共線的向量，AB→=a→-2b→，BC→=a→+b→，CD→=a→-5b→，證明：A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)已知E，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且EF∥BC，AE=23AB．如果AE→=a→，AF→=b→，試用向量a→，b→表示BC→，CE→．
【答案】(1)略；(2)BC→=AC→-AB→=32(b→-a→)，CE→=AE→-AC→=a→-32b→．
【解答】證明：(1)：因?yàn)锳B→=a→-2b→，BC→=a→+b→，CD→=a→-5b→，
所以BD→=BC→+CD→=a→+b→+a→-5b→=2a→-4b→=2AB→，因?yàn)锽D→與AB→有公共點(diǎn)B，
所以A，B，D三點(diǎn)共線．
解：(2)因?yàn)镋F∥BC，AE=23AB，所以AB→=32AE→=32a→，AC→=32AF→=32b→，
所以BC→=AC→-AB→=32(b→-a→)，所以CE→=AE→-AC→=a→-32b→．
附：分層訓(xùn)練答案
基礎(chǔ)組
一、選擇題(共6小題)
1．C；2．B；3．C；4．A；5．B；6．D．
二、多選題(共3小題)
7．CD；8．BC；9．AD．
三、填空題(共3小題)
10．14；11．23；12．94．
四、解答題(共2小題)
13．(1)x＝﹣2或x＝4；(2){x|x＞-6，且x≠23}．
14．(1)23；(2)3．
提高組
一、選擇題(共6小題)
1．C；2．A；3．B；4．B；5．B；6．A．
二、多選題(共3小題)
7．BC；8．BCD；9．AC．
三、填空題(共3小題)
10．﹣1；11．12a→+12b→+c→；12．2；23．
四、解答題(共2小題)
13．(1)-1010；(2)λ=-25，c→=(125，-65)．
14．(1)略；(2)BC→=AC→-AB→=32(b→-a→)，CE→=AE→-AC→=a→-32b→．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多