?上海期末真題精選50題（大題基礎(chǔ)版）
一、解答題
1．（2019·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的定義域：
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：
（3）求函數(shù)了在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）.
（2）,.
（3）,.
【分析】（1）根據(jù)分母不等于求出函數(shù)的定義域.
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式,利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可.
（3）通過(guò)滿足求出相位的范圍,利用正弦函數(shù)的值域,求解函數(shù)的最大值和最小值.
【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ,即,
（2）



,
令且,
解得：,
即
所以的單調(diào)遞減區(qū)間：,.
（3）由,可得：,
當(dāng),即：時(shí),
當(dāng),即：時(shí),
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用,兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用考查計(jì)算能力.
2．（2018·上海高一期末）已知函數(shù)，．
求函數(shù)的最小正周期；
用五點(diǎn)法作出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象．
【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求解最小正周期；（2）列表，作圖即可．
【詳解】函數(shù)
函數(shù)的最小正周期；
由可知
五點(diǎn)列表，
x
?
?
?
?

?
0
?
?
?

?y
0

?0

?0

作圖：

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)畫(huà)三角函數(shù)的圖象的基本步驟畫(huà)出圖形，是基礎(chǔ)題．
3．（2019·上海市南洋模范中學(xué)高一期末）已知：（，為常數(shù)）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值與最小值之和為3，求的值．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求出最小正周期；
（2）根據(jù)在，上，求解內(nèi)層函數(shù)范圍，即可求解最值，由最大值與最小值之和為3，求的值．
【詳解】解：

，
（1）的最小正周期；
（2），，
當(dāng)時(shí)，即，取得最小值為，
當(dāng)時(shí)，即，取得最大值為，
最大值與最小值之和為3，，，
故的值為0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．（上海市南匯第一中學(xué)高一期末）若，其為銳角，求的值
【答案】
【分析】利用同角公式求出兩個(gè)角的余弦值，再根據(jù)兩角和的余弦公式可得答案.
【詳解】因?yàn)闉殇J角，且，
所以，，
所以
.
【點(diǎn)睛】本題考查了同角公式，考查了兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.
5．（上海曹楊二中高一期末）已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為定值,求其面積的最大值,并求此時(shí)圓心角的大小.
【答案】時(shí),扇形面積最大為.
【分析】設(shè)扇形面積為,半徑為,圓心角為,則扇形弧長(zhǎng)為,,,結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解最值即可.
【詳解】設(shè)扇形面積為,半徑為,圓心角為,則扇形弧長(zhǎng)為,
所以.
故當(dāng)且時(shí),扇形面積最大為.
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了扇形的面積公式、弧長(zhǎng)公式、二次函數(shù)的最值等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
6．（2019·上海市青浦區(qū)第一中學(xué)高二期末）已知平面內(nèi)三個(gè)向量：．．
（1）若∥，求實(shí)數(shù)；
（2）若⊥，求實(shí)數(shù)．
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）∥

（2）⊥

7．（2020·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期末）已知，且是第四象限角，求的值.
【答案】.
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)?，且是第四象限角?br /> 所以，因?yàn)?，解得?br /> 因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?br /> 所以
8．（2020·上海市川沙中學(xué)高一期末）
（1）求的遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)，時(shí)，求的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化函數(shù)為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求出時(shí)的取值范圍，從而得出的取值范圍，進(jìn)而可得的值域．
【詳解】函數(shù)，
（1）令，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
，
的值域?yàn)?
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、值域等性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.
9．（2020·上海市七寶中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的最大為2.
（1）求的值，并求的最小正周期；
（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（1），最小正周期為；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和.
【分析】（1）先根據(jù)二倍角公式和輔助角公式將原式化簡(jiǎn)整理，得到，根據(jù)函數(shù)最值，即可求出，再由正弦函數(shù)的周期，即可求出周期；
（2）先由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出不等式求解，得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再由給定區(qū)間，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）
，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的最大為2，所以，
解得；
所以，因此最小正周期為；
（2）由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
又，取，
得在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.
【點(diǎn)睛】本題主要考查由正弦型函數(shù)的最值求參數(shù)，考查求正弦型函數(shù)的最小正周期，以及正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及二倍角公式以及輔助角公式，屬于?？碱}型.
10．（2020·上海高一期末）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）由，求解在上的值，即可得到函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和．
【詳解】解：（1）由，
得，．
取，可得，
函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）由，
得，則或，．
又，，，，．
即函數(shù)在區(qū)間，上的所有零點(diǎn)是0，，
故零點(diǎn)之和為．
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，考查利用三角函數(shù)值求角，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2021·上海市川沙中學(xué)高一期末）已知，
求（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）將分子、分母同除以即可求解.
（2），再將分子、分母同除以即可求解.
【詳解】（1）；
（2）.
12．（2020·上海高一期末）已知，，求和的值.
【答案】；.
【分析】根據(jù)及角的范圍求出，結(jié)合兩角和與差的正弦余弦公式可求，或者利用誘導(dǎo)公式通過(guò)求解.
【詳解】由題意，，∴，
.
或者由誘導(dǎo)公式，可直接得到.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)給值求值問(wèn)題，根據(jù)平方關(guān)系求出另一個(gè)弦函數(shù)是解題關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
13．（2019·上海市文來(lái)中學(xué)高一期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且.
（1）求sinA．
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用正弦定理即可求解.
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用二倍角公式以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得
將代入上式可得，解得.
（2）在△ABC中，，且為鈍角，所以，
，，
所以
【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.
14．（上海市金山中學(xué)高一期末）已知，.求和的值.
【答案】，
【分析】把已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)，可得的值，同時(shí)由與的值可判斷出，，計(jì)算出的值，可得的值.
【詳解】解： ，兩邊同時(shí)平方可得：，
又，，∴
∴，
∴
【點(diǎn)睛】同時(shí)主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.
15．（上海市金山中學(xué)高一期末）對(duì)于函數(shù)和實(shí)數(shù)，若存在，使成立，則稱(chēng)為函數(shù)關(guān)于的一個(gè)“生長(zhǎng)點(diǎn)”.若為函數(shù)關(guān)于的一個(gè)“生長(zhǎng)點(diǎn)”，則______.
【答案】
【分析】由為函數(shù)關(guān)于的一個(gè)“生長(zhǎng)點(diǎn)”，得到
由誘導(dǎo)公式可得答案.
【詳解】解：為函數(shù)關(guān)于的一個(gè)“生長(zhǎng)點(diǎn)”，

，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，及函數(shù)的創(chuàng)新題型，屬于中檔題.
16．（上海市大同中學(xué)高一期末）已知，
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）3；（2）-4
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解；
（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)結(jié)合（1）的結(jié)論求值.
【詳解】（1）由題：，所以，；
（2）




【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵在于熟練掌握誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，構(gòu)造正切求值.
17．（2020·上海交大附中高一期末）高境鎮(zhèn)要修建一個(gè)扇形綠化區(qū)域，其周長(zhǎng)為，所在圓的半徑為，扇形的圓心角的弧度數(shù)為，.
（1）求綠化區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；
（2）所在圓的半徑為取何值時(shí)，才能使綠化區(qū)域的面積最大，并求出此最大值.
【答案】（1），（2）當(dāng)時(shí)，最大為
【分析】（1）表示出弧長(zhǎng),即可由扇形面積公式表示出.根據(jù)弧度定義,用弧長(zhǎng)和半徑表示出圓心角弧度數(shù),并結(jié)合即可求得半徑的取值范圍.
（2）由二次函數(shù)性質(zhì),即可求得面積的最大值,及此時(shí)的半徑.
【詳解】（1）當(dāng)半徑為,所以弧長(zhǎng)為
所以
由弧度定義可知,而
所以,解得
綜上可知,
（2）因?yàn)?br />
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,
當(dāng)時(shí),最大為
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)與面積公式應(yīng)用,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值,屬于基礎(chǔ)題.
18．（2017·上海華師大二附中高一期末）關(guān)于的不等式的解集為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由行列式的運(yùn)算法則，得原不等式即，而不等式的解集為，采用比較系數(shù)法，即可得到實(shí)數(shù)的值；
（2）把代入，求得，進(jìn)一步得到，再由兩角差的正切公式即可求解.
【詳解】（1）原不等式等價(jià)于，
由題意得不等式的解集為，故是方程的兩個(gè)根，
代入解得，所以實(shí)數(shù)的值為.
（2）由，得，即.
，

【點(diǎn)睛】本題考查了行列式的運(yùn)算法則、由一元二次不等式的解集求參數(shù)值、二倍角的正切公式以及兩角差的正切公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.
19．（2018·上海市進(jìn)才中學(xué)高一期末）已知、、是銳角中、、的對(duì)邊，是的面積，若，，．
（1）求；
（2）求邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角形的面積公式結(jié)合為銳角可求出的值；
（2）利用余弦定理可求出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，得.
為銳角，因此，；
（2）由余弦定理得，因此，.
【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形的面積公式求角，同時(shí)也考查了利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
20．（2018·上海市金山中學(xué)高一期末）（1）已知是第三象限角，且，求的值．
（2）已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，求．
【答案】（1），（2）當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．
【分析】（1）根據(jù) 以及，聯(lián)立即可求解．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】（1）
由 的，，又因?yàn)槭堑谌笙藿牵?br /> 所以，．
（2）由三角函數(shù)的定義可知
，，
當(dāng)時(shí)，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，所以
【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)的定義，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，否則得到的答案是片面的．
21．（2018·上海市川沙中學(xué)高一期末）已知：角終邊上一點(diǎn).
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）2 ；（2）.
【分析】（1）根據(jù)任意角的正切函數(shù)的定義，可直接得出結(jié)果；
（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，將所求式子化簡(jiǎn)，再由弦化切，結(jié)合（1）的結(jié)果，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由角終邊上一點(diǎn)，可得；
（2）
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，熟記任意角的三角函數(shù)的定義，以及誘導(dǎo)公式等即可，屬于?？碱}型.
22．（2019·上海市延安中學(xué)高一期末）解關(guān)于的方程：
【答案】
【分析】根據(jù)方程解出或，利用三角函數(shù)的定義解出，再根據(jù)終邊相同角的表示即可求出.
【詳解】由，得，
所以或，所以或，
所以的解集為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角方程的解法，終邊相同角的表示，反三角函數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
23．（2018·上海高一期末）某小區(qū)規(guī)劃時(shí)，計(jì)劃在周邊建造一片扇形綠地，如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米，圓心角從綠地的圓弧邊界上不同于A，B的一點(diǎn)P處出發(fā)鋪設(shè)兩條道路PO與均為直線段，其中PC平行于綠地的邊界記其中

當(dāng)時(shí)，求所需鋪設(shè)的道路長(zhǎng)：
若規(guī)劃中，綠地邊界的OC段也需鋪設(shè)道路，且道路的鋪設(shè)費(fèi)用均為每米100元，當(dāng)變化時(shí)，求鋪路所需費(fèi)用的最大值精確到1元．
【答案】（1）； （2）元.
【分析】（1）在△POC中，運(yùn)用正弦定理即可得到所求道路長(zhǎng)；
（2）在△POC中，運(yùn)用正弦定理求得PC，OC，由條件可得鋪路所需費(fèi)用為，運(yùn)用兩角和差正弦公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求最大值．
【詳解】解：在中，，，
則，
由正弦定理可得，可得，
所需鋪設(shè)的道路長(zhǎng)為.
在中，可得
，，
可得，，
則鋪路所需費(fèi)用為

，
當(dāng)，，取得最大值1，
則鋪路所需費(fèi)用的最大值為元．
【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及正弦函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
24．（2018·上海高一期末）已知，．
求的值；
化簡(jiǎn)并求的值．
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）化余切為正切，求解關(guān)于tanα的方程得答案；（2）利用誘導(dǎo)公式變形，化弦為切求解．
【詳解】解：由，得，
，
解得：或．
，；
．
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
25．（上海高一期末）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1)20，（2）
【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos和tan的值，進(jìn)而利用二倍角公式把sin2展開(kāi)，把sin和cos的值代入即可．
（2）先利用誘導(dǎo)公式使=tan（﹣），再利用正切的兩角和公式展開(kāi)后，把tanα的值代入即可求得答案．
【詳解】(1)由，得，所以
＝
（2）∵，∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題．要求學(xué)生能靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式．
26．（2017·上海高一期末）如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為n mile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°，求：

(1)A處與D處的距離；
(2)燈塔C與D處的距離．
【答案】（1）24；（2）8
【分析】（1）利用已知條件，利用正弦定理求得AD的長(zhǎng)．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【詳解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=．
所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為nmile．
【點(diǎn)睛】點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟
(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．
(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.
27．（2020·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期末）在中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，且滿足，.
（1）求的大?。?br /> （2）若，求的面積.
【答案】(1) (2)
試題分析：（1）先根據(jù)正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍求的大小；（2）先由余弦定理求，再根據(jù)三角形面積公式求面積
試題解析：解：（1）∵，
∴由正弦定理化簡(jiǎn)得：，
∵，∴，
∵，
∴為銳角，則.
（2）∵，，，
∴由余弦定理得：，即，
整理得：，
計(jì)算得出：（舍去）或，
則.
點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：
第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.
第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.
第三步：求結(jié)果.
28．（2019·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期末）在中，已知，是邊上的一點(diǎn)，,,.

（1）求的大?。?br /> （2）求的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）.
試題分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根據(jù)的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，從而代入數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算即可得到的長(zhǎng).
試題解析：（1）在中，，由余弦定理可得

又因?yàn)?，所?br /> （2）在中，
由正弦定理可得
所以.
考點(diǎn)：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形.
29．（上海高一期末）已知銳角滿足，，求．
【答案】
試題分析：首先利用同角間的三角函數(shù)關(guān)系由，的值求得的值，將所求的角用已知兩角來(lái)表示，借助于兩角差的余弦公式求解
試題解析：

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

考點(diǎn)：1．同角間的三角函數(shù)關(guān)系；2．兩角和差的正余弦公式
30．（上海高一期末）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值．
【答案】（I）；（II）取最大值為6，最小值為．
【解析】（I）
（II）
=
=,
因?yàn)椋?br /> 所以，當(dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值
31．（2020·上海高一期末）設(shè)，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中，任意兩個(gè)交點(diǎn)之間距離的最小值為_(kāi)_______.
【答案】
【分析】通過(guò)分析可知圖象與軸的交點(diǎn)中距離最小為周期的一半，求出函數(shù)的周期即可求出本題的答案.
【詳解】解：由函數(shù)的解析式可知，由正弦函數(shù)的圖象進(jìn)行了左右平移及伸縮變換，得到該函數(shù)，
未作上下方向的平移變換，所以圖象與軸的交點(diǎn)中距離最小為周期的一半，
函數(shù)的周期為，所以最小距離為.
故答案為: .
【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
32．（2019·上海市文來(lái)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的最大值為2，且圖像過(guò)點(diǎn)（1，1），相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2.
（1）求的解析式.
（2）求的單調(diào)增區(qū)間.
（3）計(jì)算的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）通過(guò)函數(shù)的最大值為2，求出，相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2，求出函數(shù)的周期，得出；圖像過(guò)點(diǎn)（1，1）以及的范圍。求出的值，得出函數(shù)解析式.
（2）由（1）的解析式，整體代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.
（3）利用（1）求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)和的值，然后求出的值即可.
【詳解】（1）由題意可得，
所以，解得，
又圖像過(guò)點(diǎn)（1，1），所以，即
又
解得，
所以.
（2）由，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
（3）由（1），
則
故.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式、整體代入法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
33．（上海高一期末）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若的內(nèi)角A滿足，求角A的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換,把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步求出函數(shù)的單調(diào)地增區(qū)間；
（2）利用（1）的函數(shù)關(guān)系式，可得，結(jié)合的取值范圍，即可求出的值.
【詳解】（1）函數(shù)
令，解得：.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.
（2）的內(nèi)角滿足，故，即.
∵
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．
34．（上海高一期末）已知函數(shù)和的定義域都是．

（1）請(qǐng)?jiān)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系上畫(huà)出函數(shù)和的圖象，并標(biāo)出兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的數(shù)值：（不要求寫(xiě)作法）
（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出滿足條件的x的取值范圍.（直接寫(xiě)出答案即可）
【答案】（1）圖象見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）用五點(diǎn)法作圖；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖像比余弦函數(shù)圖像高或者一樣高的部分,寫(xiě)出x的取值范圍
【詳解】
（1）
（2）
【點(diǎn)睛】本題考查五點(diǎn)法作函數(shù)的圖像，屬于中檔題.
35．（2015·上海曹楊二中高一期末）如圖，函數(shù)，的圖像與y軸交于點(diǎn)

（1）求的值；
（2）設(shè)P是圖像上的最高點(diǎn)，M，N是圖像與x軸的交點(diǎn)，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)把點(diǎn)代入函數(shù),再由的取值范圍求出的值.
(2)由(1)知 函數(shù),結(jié)合圖象可得點(diǎn) ，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得其值.
【詳解】(1)把點(diǎn)代入函數(shù)可得,,又，所以.
(2)由(1)知 函數(shù),結(jié)合圖象由得點(diǎn)由，得，所以，所以.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，正弦型函數(shù)的最值和零點(diǎn)，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
36．（2017·上海華師大二附中高一期末）已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求的值和函數(shù)的值域；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程.
【答案】（1），值域?yàn)?；?）單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)稱(chēng)軸方程為.
【分析】（1）利用二倍角公式降冪，然后化為的形式，由周期公式求出，同時(shí)求得值域；
（2）直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得增區(qū)間，再由求得對(duì)稱(chēng)軸方程.
【詳解】（1）
，
由，得，
，
則函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> （2）由，
解得，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
令，解得，
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為.
【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)才是解題的關(guān)鍵，考查了基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
37．（2018·上海市進(jìn)才中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等變換思想得出，利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期；
（2）解不等式，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】（1），
所以，函數(shù)的最小正周期為；
（2）令，可得，
因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期和單調(diào)區(qū)間的求解，解題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
38．（2018·上海華師大二附中高一期末）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（2）在中，若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先將函數(shù)化簡(jiǎn)整理，得到，根據(jù)，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；
（2）令，得到或，根據(jù)，，得出，，求出，根據(jù)正定理，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）

因?yàn)?，所以，因此?br /> 故函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（2）因?yàn)?，由?），令，
所以或，
解得：或，
因?yàn)?，所以，?br /> 因此，
由正弦定理可得：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求正弦型復(fù)合函數(shù)在給定區(qū)間的最值，以及正弦定理的應(yīng)用，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦定理即可，屬于?？碱}型.
39．（2019·上海市川沙中學(xué)高一期末）已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）的最大值為2，最小值為-1
【分析】（1）利用輔助角公式得：，將放入的單調(diào)遞增區(qū)間中，求出的范圍即可；（2）根據(jù)的范圍得的范圍，結(jié)合的圖象可求得最值.
【詳解】（1）
由得：
的單調(diào)增區(qū)間為
（2）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
的最大值為，最小值為
【點(diǎn)睛】本題考查的單調(diào)區(qū)間的求解、函數(shù)值域的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)整體對(duì)應(yīng)的方式，通過(guò)分析的圖象求得結(jié)果.
40．（2018·上海高一期末）已知.
若，且，求的值；
求函數(shù)的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】根據(jù)兩角和差的余弦公式進(jìn)行計(jì)算即可
利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】若，且，
則，則，
則．
函數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用兩角和差的余弦公式以及轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)求最值是解決本題的關(guān)鍵．
41．（2020·上海市控江中學(xué)期末）已知向量與是平面上的一組基向量.
（1）設(shè)向量，試用向量與表示；
（2）設(shè)是實(shí)數(shù)，向量，設(shè)與的夾角為，與的夾角為.若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立和的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出結(jié)果；
（2）由結(jié)合平面向量夾角余弦值的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，即可解出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）設(shè)，則，即，解得，
因此，；
（2）根據(jù)題意，，，
，，可得，解得.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，同時(shí)也考查了利用平面向量的夾角相等求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
42．（2020·上海期末）已知向量,.
（1）若向量，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若向量滿足，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）求出向量和向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求的值.
（2）由向量相等求出的值，根據(jù)求值即可.
【詳解】（1）,，
，.
，，
解得或.
（2），
，
即，解得.
.
【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理的坐標(biāo)表示和向量相等，用到方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.
43．（2020·上海期末）已知向量，其中是互相垂直的單位向量.
(1) 求向量在向量方向上的投影；
(2) 設(shè)向量，若，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)題中條件，結(jié)合向量投影的概念，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)，得到，得出，進(jìn)而求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋腔ハ啻怪钡膯挝幌蛄浚?br /> 所以，
，，
所以向量在向量方向上的投影為；
（2）因?yàn)?，?br /> 則，即，
即，解得.
【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的投影，以及由向量垂直求參數(shù)，熟記向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.
44．（2019·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)期末）在直角坐標(biāo)系中已知A(4,O)、B(0,2)、C(-1,0)、D(0,-2),點(diǎn)E在線段AB(不含端點(diǎn))上,點(diǎn)F在線段CD上,E、O、F三點(diǎn)共線.

(1)若F為線段CD的中點(diǎn),證明:；
(2)“若F為線段CD的中點(diǎn),則”的逆命題是否成立?說(shuō)明理由；
(3)設(shè),求的值．
【答案】（1）見(jiàn)詳解
（2）“若F為線段CD的中點(diǎn),則”逆命題成立；
（3）
【分析】（1）由條件求得，可得，再由可得；
（2）小題（1）的逆命題成立，設(shè)由得再得，由共線可得，解方程組，求得的坐標(biāo)，可得F為線段CD的中點(diǎn).
（3）設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，再根據(jù)三點(diǎn)共線，可得， ，化簡(jiǎn)可得的值.
【詳解】（1）

若F為線段CD的中點(diǎn)，則，
，


又
.
故
（2）小題（1）的逆命題成立，設(shè)，由，三點(diǎn)共線，可得，所以，
，
由共線，，，
所以，即
解方程組 ，求得 ，可得
故F為線段CD的中點(diǎn)
（3） ，設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得
，
設(shè)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得
，
三點(diǎn)共線，可得，
即
，化簡(jiǎn)可得
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.
45．（2019·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)期末）已知是兩個(gè)不平行的向量,.
(1)求證:；
(2)若求的值
【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）
【分析】（1）求出，再由向量數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件即可得證.
（2）運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和差公式即可得到所求值.
【詳解】（1）
，

，結(jié)論即可得證.
（2），



由

綜上所述，
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的性質(zhì)、兩角和差公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
46．（2019·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)期末）如圖,矩形中，為邊的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn),設(shè)

(1)試用和表示兩個(gè)向量
(2)求兩個(gè)向量的夾角的大小(用反三角函數(shù)值表示).
【答案】（1） ；
（2）
【分析】（1）分別是、的中點(diǎn)，，，再由向量加法的三角形法則即可求解.
（2）求出，，，根據(jù)向量的數(shù)量積求夾角即可求解.
【詳解】

（1）分別是、的中點(diǎn)，
，



綜上所述，，
（2），



設(shè)的夾角為
則
則
綜上所述，的夾角為
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量加法的三角形法則、利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.
47．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)期末）已知，，且.
（1）求的值；
（2）求與所成角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由即，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，計(jì)算可得。
（2）由夾角公式計(jì)算出夾角的余弦值，即可求出夾角。
【詳解】解：（1）

，

（2）由（1）知，，



【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，特殊角的三角函數(shù)值及夾角公式，屬于基礎(chǔ)題。
48．（2019·上海市控江中學(xué)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)滿足．
（1）若P在線段AB上，求P的坐標(biāo)．
（2）證明P總落在一個(gè)定圓上，并給出該定圓的方程．
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析；；
【分析】（1）根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解。
（2）設(shè)，由兩點(diǎn)間的距離公式直接列方程即可求解。
【詳解】（1）由題意，得，由定比分點(diǎn)公式，得，
類(lèi)似，，∴．
（2）設(shè)，由可得，
兩邊平方，并化簡(jiǎn)得，∴P落在以為圓心，半徑為的圓上．
【點(diǎn)睛】本題考查定比分點(diǎn)公式以及直接法求軌跡方程，屬于中檔題。
49．（2019·上海期末）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點(diǎn)，且，若與交于點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)。
（2）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算、，求出數(shù)量積。
【詳解】

建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則，，，，
由，所以，
設(shè)，則,
所以，解得，
所以
（2）根據(jù)題意可知，所以,
所以，從而，
。
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。
50．（2019·上海市吳淞中學(xué)期末）(1)已知求與的夾角
(2)設(shè)在上是否存在點(diǎn)M,使若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)；(2) 或
【分析】(1)將等式展開(kāi)得到，計(jì)算得到答案.
(2) 設(shè)，利用解得答案.
【詳解】(1)

(2)假設(shè)存在，設(shè)

即，解得或
故坐標(biāo)為：或
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.


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這是一份上海期末真題精選50題（小題提升版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末考試高分直通車(chē)（滬教版2020必修第二冊(cè)），文件包含上海期末真題精選50題小題提升版解析版docx、上海期末真題精選50題小題提升版原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共41頁(yè)， 歡迎下載使用。

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上海期末真題精選50題（小題基礎(chǔ)版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末考試高分直通車(chē)（滬教版2020必修第二冊(cè)）

上海期末真題精選50題（小題基礎(chǔ)版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末考試高分直通車(chē)（滬教版2020必修第二冊(cè)）
上海期末真題精選50題（大題壓軸版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末考試高分直通車(chē)（滬教版2020必修第二冊(cè)）

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上海期末全真模擬試卷（5）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末考試高分直通車(chē)（滬教版2020必修第二冊(cè)）

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